Google
This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to male the world's books discoverable online.
It has survived long enough for the copyright to c
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether e
are our gateways to the past, representing
Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this file -
publisher to a library and finally to you.
e that was never subject
'. Public domain books
a reminder of this book's long journey from the
Usage guidelines
prevent abuse by commercial parties' including placing technical restrictions on automated querying.
Wc also ask that you:
- Make non-commercial use of the files Wc designed Google Book Search for use by individuals, and we request (hat you u
personal, non-commercial purposes.
translation, optical character recognition or other areas where access
use of public domain materials for these purposes and may be able tc
- Maintain attribution The Google "watermark" you &
y sort to Google's system: If you arc conducting research on machine
3 a laigc amount of text is helpful, please contact us. Wc encourage the
:【 and helping them find
- Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you arc doing is legal. Do not assume thai just
because wc believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is sUll in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi o「 ihis book on the web
ai| ht tp : //books . google . com/|
Google
Informazioni su questo libro
Si trail a dell a copia digitale di un libro chc per gcncrazioni b slato conservata negli scaffali di una bibliotcca prima di csscrc digital izzato da Google
nclFambito del progetto volto a rendcrc disponibili online i libri di tutio il mondo.
Ha sopravvissuto abbastanza per non essere piti protetto dai diritti di copyright e diventare di pubblico dominio. Un libro di pubblico dominio b
un libro che non h mai stato protetto dal copyright o i cui termini legali di copyright sono scaduti. La classificazione di un libro come di pubblico
culturale e di conoscenza spesso difficile da scoprire.
Commenti, note e altre annotazioni a margine present! nel volume originalc compariranno in questo lilc. come tcstimoniani^a del lungo viaggio
pcrcorso dal libro, dall'cditorc originale alia bibliotcca, per giungcrc fino a tc.
Linee guide per I'uUlizzo
Google "t orgoglioso di essere il partner delle bibliolcchc per digitalizzarc i materiali di pubblico dominio e renderli universalmente disponibili.
I libri di pubblico dominio appartengono al pubblico c noi nc siamo solamcntc i custodi. "Rittavia questo lavoro "t oneroso, pertanto, per potcr
continuare ad offrire questo scrvizio abbiamo prcso alcunc initiative per imped ire I'utilizzo illccito da parte di soggctti commcrciali, comprcsa
I'imposizione di restrizioni suH'invio di query automatizzatc.
In ok re ti chiediamo di:
+ Non fare un uso commerciale di questifile Abbiamo concepito Google Riccrca Libri per I'usodapartcdci singoli utcnti privati c 【i chiediamo
di utilizzare questi file per uso person ale e non a flni commercial i.
+ Non inviare query auiomaiizzaie Non inviare a Google query automalizzale di alcun tipo. Se stai effettuando delle ricerche nel campo dclla
tradiizione aulomatica, del riconoscimento ottico dei caratteri (OCR) o in allri campi dove necessiti di utilizzare grandi quantity di tcsto. 【i
rormarcgli utcnti su questo progetto
- Conserva la filigrma La " fil
c aiutarli a trovare materiali aggiuntivi tramite Google Ricerca Libri. Non rimuoverla.
- Forme un uso legale Ind ipcndcntcmcntc dalFutilizzo che ne farai, ricordati che h tua responsabilit^ acceitati di fame un uso 1 绍 ale. Non
dare per sconlalo chc, poichd un libro b di pubblico dominio per gli ulenti degli Stati Uniti, si a di pubblico dominio anche per gli Ltcnti di
allri paesi. I criteri che stabiliscono se un libro k protetto da copyright variano da Paese a Paese e non possiamo offrire indicazioni sc un
determinato uso del libro h consentito. Non dare per scontato che poich^ un libro compare in Google Ricerca Libri cid significhi chc puo
Informazioni su Google Ricerca Libri
i lettori a scoprire i libri di tutto il mondo e con sen te ad autori ed editori
nell'intero testo di questo libro dalhttp: / /books . google . com|
raggiungerc u
fmibili. Google Ricerca Libri aiuta
' pill ampio. Puoi cffcttuarc una ricerca sul Web
⑨
M 3^
TEORIA MATEMATICA
SELLO
聊讓 10 DEI 醒 ELASTICl
ROBERTO MARCOLONGO
psoF, oBDiNAioo nellZ'b, uhivexbitI di MissnrA.
TJLRICO HOEPLI
BDITOBE-UBKAJO
MILANO
1904.
PROPRIETA LETTERARIA.
Milano, Tip, Bebeschini di Turati e C.
A
VALENTINO CERRUTI
CON AFFBTTO DI DISCEPOLO
DEDICO.
BEQUEST OJ^-
一, 732^
PREFAZIONE
Xii manuale, che per cura del solerte editore
Hoepli vede ora la luce, sviluppa un corso di le-
zioni di Fisica matematica dettate nella Univereita
di Messina; ma la trattazione e condotta in guisa
da essere accessibile, con poca fatica e senza un
corredo troppo esteso di cognizioni di Analisi, agli
studenti delle Scuole d'Applicazione ； ai quali ogni
giorno di piu sMmpone la conoscenza dei fonda-
menti della teoria matematica dell' Elasticita.
Percio ho credato opportune premettere un ca-
pitolo suUa teoria delle funzioni armoniche e po-
liarmoniche, in cui sviluppo quei lemmi di Ana-
lisi ohe piu frequentemente occorronp in tutto il
corso ； un altro suUa teoria fondamentale delle
fanzioni potenziali newtoniane e finalmente ua
terzo sui principii della Meccanica dei corpi con-
tinui; benche questa parte sia esposta, e con mag-
gior ampiezza, in quasi tutti i nostri corsi di Mec-
canica KazioDale.
VI
Prefazione
I limiti impost! al manuale hanno permesso sol-
tanto di sviluppare le questioui relative all'equili-
brio dei corpi elastic! a tre dimensioni, tralasciando
ancora quelle che richiedevano o sviluppi troppo
lunghi coQOscenze troppo elevate di Analisi.
Credo tuttavia aver accennatb, pur fugacemente,
le cose pill notevoli ； dai metodi classici d'integra-
zione di Betti-Cerruti, ai piu recenti lavori, spe-
cialmente italiani ； dalle ricerche di Navier, Cauchy
a quelle del prof. Voigt, cosi capital! e per la
teoria della costituzione della materia e per la
determinazione delle costanti elastiche dei cristalli.
II lettore desideroso di piu estesi particolari
dovra ricorrere ad altri e piu completi trattati e
specialmente a quelli del prof. Love e del prof. Ce-
saro, che mi riuscirono preziosi nella compilazione
del preseute manuale ； e alle memorie originali di
cui ho data un'ampia, se non completa, bibliografia.
Le poche note storiche del testo possono dare
appena un'idea dello sviluppo storico della teoria
matematica della Elasticity; del resto sarebbe
stata opportuna una maggior larghezza di parti-
colari dopo quanto scrisse il Love nella introdu-
zione del suo libro e dopo la particolareggiata
storia del Todhunter e Pearson *.
Mi auguro che gli studios! vofranno accogliere
con benevolenza queato mio tentative, per quanto
A History of the Theory of Elasticiti/. Cambridge, 1886.
Prefazione
VII
imperfetto; e il cui scopo e di facilitate la via a
studt piu completi, raostrando in una breve e ra-
pida esposizione cio che di piu importante e stato
prodotto in questa tra le piu notevoli teorie di
Fisica matematica.
Messina, novembre 1903.
ROBEBTO MaRCOLONGO.
励 ICE
CAPITOLO PRIMO.
Le funzioni armoniche e poliarmoniche ed i teoremi
di Green.
§ 1. Fanzioni armoniche e poliarmoniche . . . Pag. 1
§ 2. Eeempi di funzioni poliarmoniche . . . . „ .4
§ 3. Deriyata di direzione ,, 7
§ 4. Angolo yisuale di una curva plana o di una
saperficie „ 8
§ 5. Lemmi di Gauss ,, 11
§ 6. Lemmi di Green „ 15
§ 7. Teoremi di Green „ 18
§ 8. Condizioni che individuano le funzioni poli-
armoniche rt 23
§ 9, Fanzioni di Green. Problema dei valori al
contorno . . . . „ 26
§ 10. Determinazione delle funzioni di Green in
alcuni caai semplici « 30
§ 11. Risolazione del problema dei valori al con-
torno per il cerchio (flfera) „ 34
§ 12. Kisoluzione del problema dei valori al con-
torno pep un semipiano o Boraiepazio infinite „ 40
§ 13. Di una trasformazione in etessa della equa-
zione ^»«=0 „ 44
X
Indice
CAPITOLO SECONDO.
Le fuuzioni potenziali newtoniane.
§ 1. Funzione potenziale di una massa distribaita
in lino Bpazio a tre dimensioni, attraente
secondo la legge di Newton Pag. 55
§ 2. Propriety della funzione potenziale nello spa-
zio esterno alia materia agente . . . . „ 56
§ 3. Proprieta della funzione potenziale nello epa-
zio occupato dalla materia agente . . . „ 58
§ 4. Funzione potenziale di una sfera omogenea „ 61
§ 5. Derivate seconde della funzione potenziale.
Formula di Poisson „ 63
§ 6. Discontinuita delle derivate seconde . . . « 67
§ 7. Caratteristicbe della funzione potenziale. Teo-
rema di Dirichlet „ 70
§ 8. Funzione potenziale di un ellisBoide omogeneo „ 73
§ 9, Funzione potenziale di uno strato semplice „ 81
§ 10. Caratteristicbe della funzione potenziale di
strato semplice. Discontinuity delle deri-
vate prime „ 81
§ 11. Funzione potenziale di doppio strato . . . „ 85
§ 12. Identity di Gauss. Teorema di reciprocita . „ 90
§ 13. Teorema della media di Gauss „ 92
§ 14. Teoremi sulla funzione potenziale all'esierno
delle masse agenti „ 94
CAPITOLO TERZO.
Prindpii della meccanica dei corpi continui.
§ 1. Deformazione di una particella Pag.
§ 2. Deformazione infinitefiima „
§ 3. Coefficiente di dilatazione di una retta; ecor-
rimento mutuo di due rette. Componenti
di deformazione • • „
97
102
102
Indies
XI
4. Analisi della deformazione Pag. 108
5. Ricerca delle dilatazioni principali. Invar ianti
di deformazione . " 112
6. Relazioni fra le componenti di deformazione ， 117
7. Formnle di traeformazione ,, 119
8. Pressioni iuterne in an corpo continuo . . „ 122
9. Componenti speciali di presBione* Teorema
fondamentale di Cauchy „ 124
§ 10. Eqnazioni indefinite per 1 'equilibrio di un
corpo continuo „ 128
§ 11. Componente normale di pressione. EliiBsoide
di Lam^ e quadriche delle pressioni . . „ 130
§ 12. Elementi principali di pressione. Pressioni
principali „ 134
CAPITOLO QUARTO.
Le equazioni delF equilibrio e del moto
dei corpi elastic! isotropi.
§ 1. Propriety elaetiche della materia. Legge spe-
rimentale di Hooke Pag. 137
§ 2. Corpi isotropi ed anisotropi. Moduli di ela-
sticity " 138
§ 3. Relazioni tra pressioni e deformazione nei
corpi isotropi „ 142
§ 4. Potenziale di elasticitk „ 146
§ 5. Equazioni delPequilibrio „ 149
CAPITOLO QUINTO.
Le eqnazioni deirelastlcita per i corpi anisotropi.
§ 1. La teoria molecolare Pag. 157
§ 2. Teoria delle azioni immediate. Potenziale di
elasticity ， 163
§ 3. Proprieta del potenziale di elasticitu . . . „ 168
80 § § 80 «x §
xn
Indice
§ 1. EgpreBsioni degli spostamenti Pag. 205
§ 2. Dilatazione cubica e componenti delle ro-
tazioni , 214
§ 3. Espressioni degli Bpostamenti in fanzione delle
forze e degli spostamenti in 8upe)rficie . „ 215
§ 4. Risolazione del problema deU'equililbrio ela-
Btico, cogniti gli spostamenti in saperficie „ 220
§ 5. Risolazione del problema dell'eqnilibrio ela-
stico, cognite le trazioni saperficiali . . „ 224
§ 6. Risolazione del problema delPequilibrio in
altri casl ， 232
§ 7. Sulla eliminazione delle forze di massa . . y, 233
§ 8. Teorema del prof. Cerruti „ 236
§ 9. Riassnnto di alcane recenti ricerche suUe
equazioni deirelasticitk ， 237
CAPITOLO SETTIMO.
n problema di Boussinesq e Cerruti,
1. Posizione del problema Pag. 245
2. Risoluzione del primo problema „ 245
§
4.
Coefficienti e moduli di elasticitjt ....
Pag.
170
§
5.
m
173
§
6.
Cenno Bulla teoria molecolare del prof. Voigt
176
§
7.
Forme del potenziale di elasticity per i vari
182
§
8.
Conclusioni del prof. Voigt
193
9.
Equazioni di equilibrio ed univocit^ della
soluzione delle stesse
194
§ 10.
198
«
202
CAPITOLO SESTO.
Teoremi generali snlle equazioni delP eqnilibrio
del corpi isotropi.
Metodo d' integrazione del Betti.
§ 80
Indice
XIII
3. Risoluzione del secondo problema .... Pag. 253
4. Risoluzione del terzo problema ， 262
5. Altfa risoluzione dei problem! precedenti . ， 267
CAPITOLO OTTAVO.
La deformazione di nna sfera isotropa.
§ 1. Deformazione di una sfera isotropa per dati
spoBtamenti in euperficie Pag. 281
§ 2. Deformazione della sfera per date forze agenti
in Buperficie « 288
CAPITOLO mm.
11 problema di Saint-Venant
suUa deformazione delle aste cilindriclie.
§ 1. Posizione del problema • Pag. 293
§ 2. Ipoteei epeciale Bulle forze interne ； problema
di Saint-Venant ， 296
§ 3. Eqaazioni diff. per g\i spostainenti . . . . „ 299
§ 4. Ricerca degli spostamenti „ 300
§ 5. Analisi della deformazioue. Estensione sem-
plice n 313
§ 6. FlesBione uniforme „ 814
§ 7. Flessione non uniforme „ 317
8 8. Fleseione non uniforme di an cilindro ellittico „ 319
§ 9. Toreione „ 322
§ 10. Toreione di un cilindro ellittico 325
CAPITOLO DECIMO.
Deformazione delle piastre cilindriche
o problema complementare di Saint-Venant.
1. Posizione del problema Pag. 328
2. Ricerca degli spostamenti „ 329
§ § §
XIV
Indice.
3. Carattere generale della deform azione. Fles-
Bione fiferica Pag. 334
4. Flesfiione non uniforme „ 337
5. Deformazione corrispondente alle due fun-
zioni fp e y\ Estensione „ 339
CAPITOLO UNDECIMO.
I problem! del prof, Voigt e la determinazione
delle costanti elastiche dei cristalli.
1. Posizione del problem a Pag. 344
2. Ricerca di una deformazione costante lango
rasse del cilindro „ 345
3. Ricerca di una deformazione costante Ian go
rasse del cilindro e in cai le forze interne
Bono parallele airaese „ 348
4. Ricerca di una seconda deformazione . . . - 360
§
§ §
OS §
§
CAPITOLO PKIMO.
LB PUNZIONI AHMONIOHE B POLIAEMONICHB
ED I TEOBEMI DI GBEEN.
§ 1. Funzioni armoniche e poliarmoniche. 一
Sia u una funzione delle variabili indipendenti
a?, y、 0, . . . , che in un certo campo ammetta le
derivate prime, seconde, ecc. Poniamo :
si dice che sulla w si e eseguita r operazione A^*
II risultato di questa operazione e una nuova fun-
zione delle a?, . . . ; eseguiamo sa questa nuova-
mente Poperazione A2 e poniamo :
ciofe, simbolicamente:
Maboolonck).
2 Cap, L § 1. Funz. armoniche ecc.
II risultato di questa nuova operazioue e au-
cora una funzione di or, J/， … sulIa quale possiamo
eseguire I'operazione A?, ottenendo:
Ae w = ^2 ^4 w = A2 A2 u = \^^+ 2 + …
Accenniamo finalmente con ^2n il risultato della
operazione A2 eseguita n volte di seguito Bulla w,
cioe:
Se c ^ cos tan te ； w, v, ... funzioni di ar, y， ... si ha
^2*1 (cu) = C ^2n u ,
Ag (wt?) = WA2^^+t? A2W+2 — — + ― ― +..
Queste operazioni sono invariantive rispetto a
qualsivoglia trasformazione ortogonale. Pouiamo
infatti :
a^i = 5 + ai a? + 61 2^ + …
essendo *.
V + V +… =1
«1 a, + ^1 ^2 + • • * =0
ecc«
Cap: I. § 1, Funzioni armoniche^ ecc. 3
Poiche successivamente si ha
du d u , d u ，
(h + ― «a 4 . . . ,
dx a^i dVi
d'u d'u 2 丄 ,o d'u 丄
矿 W + ^"22- 卜 ."+ 2^"+""
risulta subito
e cosl di seguito.
Una funzione che in un campo e monodroma,
finita e continaa si dir^ brevemente regolare*
Una funzione regolare in un certo campo in-
sieme coUe sue derivate prime e inoltre tale che
il risultato dell' operazione e nullo, cioe che
soddisfa alia equazione:
dicesi armonica.
Se h regolare colle derivate fino airordine2n-l
e inoltre soddisfa I'equazione :
dices! poliarmonica o armonica di grado n.
Si hanno quiadi funzioni armoniche di primo
grado semplicemente armoniche ； di secondo
grado biarmoniche ； ecc. La considerazione di
queste funzioni e della niassima importanza in molte
4 Cap, 1, § 2, Esempii di funzioni poliarm.
ricerche di fisica matematica e specialmente nella
teoria dell'elasticitk.
§ 2. Esempii di funzioni poliarmoniche. 一 Sia
r la distanza tra due punti -Mi, rispettivamente
di coordinate x， y, y^, cioe:
= (0? — XiY + (y — ViY + (3 — ZiY-
Supponiamo M variabile, fisso Mi e quindi, ri-
guardiamo r come fanzione di a?, y, z, Poiche:
_ a? 一 Xi
dx r
si conclude cbe :
-r— ， ― , TT— ， rappresentano z cosem del vet-
tore Ml Mn
D'altra parte a?, y, z, si possono pensare a loro
volta come funzioni di r e dei coseni stessi e
poiche *
X 一 Xi = r cos (r, x) ,
risulta
•r— = -r— = COS (r, X)
ecc.
Notiamo di qui che, seue fanzione della sola r,
si ha
么 ^ ^ 一&么 一&么 一 &&，
onde:
2- =
dxdx d rdr'
della quale si fark uso frequente.
Cap. 1. § 2. Esempii di funzioni poliarm, 5
Consideriamo un catnpo piano limitato da una
curva 0" (contorno) ； scegliamo il panto fisso esterno
al campo, meatre il panto M vari entro ii campo
stesso. La distanza r tra quest! due punti e una
funzioae regolare di rr, y; ne potendo M venir
mai a coincidere con Jlfj, e sempre diversa da
zero.
La funzione log r e regolare colle sue derivate
di qualunque ordine nel campo; inoltre essendo :
lo^r 1 2 Or —
― — —
ecc, si ha
A2 (log r) = 0.
Dimque la fanzione log r e armonica.
Si ha ancora ：
(r* log r) = 4 (log r + 1)
A4 (r^ log r) =
onde la fanzione log r e biarmonica.
Consideriamo ora ud campo a tre dimensioni,
ferme restando le altre ipotesi. Se A: e una co-
stante, si trova:
= (k + l)kr^-^
A4 = (k 卜 l)kik — 1) (k ― 2)
^2n = (k + I) kik — 1) . . . (k — 2 n + 2) —2" •
Escludendo il caso di k = 0, si vede subito che
6 Cap, L § 2. Esempii di funzioni poliarm.
^ h armonica; r ed Bono biarmoniche e in ge-
nerale:
r
2»— 8 f2n—4
sono armoniche di grado n.
Sia u una funzione della sola r, e ricerchiamo
la forma piu generale di u armonica di grado n,
Indicando con accenti le derivazioni rispetto ad r,
otteniamo auzitatto
w = + 2 —，
r
■ M
2 I I 一
r
1 /1
― A2 u i u ^2
r
ma e
9 u r
d X d ^
"2 »
onde
[U\ u
A" — I = —
\r I r
Di qui si trae :
！ 1：) = ^(4) + 4^
r 7 r
e GOBI di seguito. In generale :
M(2h — 1)
u = ti(2") +2n 一 =
r
posto
Cap* I. § 5. Derivata di direzione.
7
avremo :
, 2n
V H V =
r
la quale, con una integrazione, ci da
c
v = -z-
e pero :
U = - + Ci — 2 + C2 1*2"—3 + ， . •
r
La u cosi determinata fe dunque una combina-
zione lineare delle soluzioni precedentemente tro-
vate.
Si conclude pure che in un campo a tre di'
meiisioni — e la sola funzione armonica dipen-
r
dente da r.
§ 3. Derivata di direzione. ― Ad un punto
M{x^ y、 z) si riferisca una certa direzione n; di，
ciamo dx, dy, dz gli accrescimenti infiniteaimi di
y 、 allorche M passa in Jf' sulla n e pon-
gasi M M' = dn, I coseni direttori di n sono
espresBi da ― , . Riguardiamo poi le
an an an
derivate di una funzione u come le componenti
di un vettore applicato in M.
La componente, secqndo n, di tale vettore e
espressa da:
S ti dx . d udv du dz du
8 Cap. J. § 4* Angola visuale^ ecc
in Gui du esprime il differenziale totale di u nel
passaggio di M in M'. Tale componente, espressa
dal quoziente dei due diflferenziali du e dn, chia-
masi derivata della u secondo la direzione n.
Possiaino, in modo analogo, definire la derivata
seconda; e sara
d^u d^uld ' , o d^u dy dz ,
e cosi via.
Si dimostra agevolmente che tutti i teoremi sulle
ordinarie derivate valgono anohe per le derivate
di direzione.
Se 2^ & fanzione della distanza r tra due punti,
si ha :
il secondo membro esprime per definizione la de-
rivata di u secondo la direzione r, la quale coin-
cide colla derivata parziale di u rispetto r.
§ 4. Angolo visuale di una curva plana o di
una superficie. 一 Sia c una curva piana riguar-
data come 'avente due bordi: uno positive, ne-
gative V altro; n la normale diretta dalla parte
del bordo positivo. In M coasidero un elemento
d'arco che proietto da un punto del piano.
L'angolo MO riguardato positivo o negative
a seconda die il lato M M\ base del triangolo
M M,, poggia Bill bordo positivo o negative del
contorno, dicesi angolo visuale delV elemento d <7
dal polo 0.
Cap. I. § 4, Jnc/olo vismle, ecc.
9
Centro iti desci'iviamo due archi di cerchio
d(^i e dw di raggi rispettivi r=zOM ed 1. Po-
tendo considerare come la proiezione ortogo-
nale di si ha
d = r d w = ― d <r cos (r, n) ,
poiche neir ipotesi che il triangolo OMM' abbia
il lato Jif M' sulla parte positiva del contorno Van-
golo di r con n e ottuso. Nel caso contrario si
tiene il segno piu. Di qui :
/ 、 1 . dlog-
, COB (r, n) , 1 a r - r ^
aw = ~~ da = — aa= ~~ - — a ^ .
r r an an
L'arco dto h I'angolo visuale dcU'elemento.
Diremo an golo visuale di un area dal polo
1， angolo formato dai raggi che vanno da agli
estremi dell' arco, riguardato positive o negative
secondo che giace dal la parte positiva o nega-
tiva dell'arco. Esso e anche misurato dall'arco di
cerchio di raggio uno che ha centro in ed e
intercetto dai raggi estremi.
Accennando con (<t) tale angolo avremo :
(1)
r integrazione essendo estesa all'arco a e la nor-
male rivolta dalla parte positiva dell'arco.
So quindi <r e una curva chiusa e si riguarda
positiva la parte interna —all'area da essa limitata,
si ha
(。) = 2 TT, TT,
10 Cap, L § 4. Angola vhmle、 eoc
seoondo ohe il polo e interne, sul contoFno in un
punto ordinario od esterno.
Oonsiderazioni analoghe valgono per le superficie.
Uangolo visuale di o" da un polo i Varea che
sulla superficie sferica di centra e raggio uno
h staccata dal com che proietta il contorno di
<y da 0,
Riguardiamo ^ come avente due facce: una po'
sitiva e l，altra negativa e riteniamo I'angolo vi-
suale positive negative secondo che il cono sud-
detto ha per base la parte positiva o negativa di 。.
Se dff e un elemento di <r; do) il suo angolo vi-
suale ； n la normale volta verso la parte positiva
di ff, si vede subito, come precedentemente, che
f \ d —
， cos (r, n) , r ,
a oj=5= d<J ；， ""- a Q
a n
e quindi:
Se <y e una superficie chiusa e si assume posi-
tiva la parte interna di <y, si ha
(a) = 化 2
secondo che e interne, sul contorno in un punto
ordinario, od esterno.
1
Dalla (I) si pasaa alia {!') cambiando log ―
V
in 丄 • 8e e un insieniQ di superficie coq vif\m
r
Cap. 1. § 5. Lemmi di Gams.
11
.tangente determinato, tagliate un numero finito di
volte da una retta qualunque, con un numero fi-
nito di puati oonici isolati e di linee singolari con
due piani tangenti deterininati, si ha piii in gene-
rale:
dove e il numero degli elementi d ff, corrispon-
denti a ^od, che volgono la faccia positiva ad
e p" il numero di quelli che volgono la faccia ne-
gativa.
II punto puo anche giacere in un punto di 。•
Indicando quindi con p un numero finito si ha :
§ 5. Lemmi di Gauss. 一 l,\Se in un campo S、
il cui contorno b ff, una funzione u ammette la
derivata prima rispetto ad x atta alia integra-
zione ed inoltre u k regolare eccetto in uno o un
numero discreto di punti in cui diventa infinita
come logr o come 一 , secondo che S h a due o a
r
ire dimensioni; si ha
n essendo la normale a o" positiva nelVinterno di S.
Nel Calcolo questo teorema e dimostrato nella
ipotesi di u sempre regolare e non ripeteremo qui
la dimostrazione. Supponiamo invecQ ehe, il campo
= 一力 do)
12 Cap. I. § 5. Lemmi di Gauss.
essendo a due dimension]', in an punto la w di-
venti infinita come log r, r essendo la dist;anza
da di un punto del campo. Sara dunque:
lim quant, fioita,
r=o log r
e in conseguenza
limr^ = quant, finita; lim r^^ = 0.
f=o ox r=0 0^
Centro in e con raggio r si descriva un
cerchio Sq di contorno 。。 tutto contenato in S;
escludiamo da S l，area Sq; all, area risultante e
applicabile il lemma essendo ivi la u sempre re-
golare. Quindi notando che la normale a (Tq coin-
cide con r (crescente) quando e volta verso S 一 So,
si ha
a
d
u -lofdu ^ f dx C dx
― dSr- 1 — a Do =- 1 u — d<s- I u-z—d (2 )
X J J dn ) d r
Assumendo per elemento d'area d Sq il settore
iafinitesimo di apertura w che ha vertice in 0、
si~ha:
d So = w ;
quindi
2;r
lim f 1^ 5o = lim {~7r^r^d w 二 0,
Cap, I, § 5, Lemmi di Gauss
13
Inoltre :
271
lim I u -z— d 。0 = lim | u t- rdM =
r=o Jar r=o J d r
C u dx ^ .
= lim I , ― r log r a 0)；
r=o J log rdr
e poiche u : log r ha uu limite finite : ― e sem-
d r
pre Gompreso tra -i- 1 e — 1; r log r; tende a zero,
cosi il limite precedente h nullo.
Ma allora dalla (2') facendo impiccolire indefi-
nitamente il raggio r si deduce precisameDte la (2).
La stessa dimostrazione si fara nel caso di un
campo a tre dimension], se in un punto di questo
Isi u e tale che:
lim ru = 0.
2.0 Se u i una fumione regolare e derivabile
ed r indica la distanza di un punto fisso da
un punto variabile del campo a due dimensioni,
si ha
d log 丄 f ；) 3 log 丄
se il campo b a tre dimensions sostituendo log 丄
14
Cap. L § 5. Lemmi di Gauss.
con 丄， si ha
r
d 丄 f;^ 3 丄
) ~-^dS = (^)u(0), (3')
d n
dr dr
Con u (0) iatendiamo il valore di u nel polo 0.
Infatti abbiamo suecessi vamente :
= 2 w
u
dn
8 log —
r
u
d X dn '
dx
r 8 r
supponiamo il punto esterno al campo,
― e sempre regolare; il lemma (2) e applicabila
V
e quindi :
c?log ―
dn
d <J
e poiche :
"1 lUy"aiog》L
d r dr
risulta dimostrata la (3) essondo (<j) = 0.
Oap, t. § 6. Lemmi di Green
15
Lo stesso pu6 ripetersi pel campo a tre dimen-
sioni perche in tal caso:
r
u
7^ d
e sempre regolare.
Se invece il polo h intertio, ― oppure di-
f T
ventano nel polo infinite come ― o come \
r T
lemma (2) non h piii applicable
Ma osserviamo che:
il
ii:i^M(0) + (0) + ,"
. J. u — u{0) , , (0)
e quindi : e sempre fimta ed z
diventa infinita come ― ； dunque la formula
r
du r
^ Q ~~ dS=0
h applicable alia funzione u — u (0). Sostituendo
in laogo di «, w — u(0) e tenendo presente la (I)
risalta agevolmente la (3).
§ 6. Lemmi di Green. 一 Sia v regolare in S
itisieme colle derivate prime, e la m， generalmente
regolare, in qualche punto di 8 poBsa diventare in-
finita come log — o come ― ， secotido che il campo
r r
h a due o a tre dimensioni.
16 Cap, L § 6, Lemmi di Green,
Abbiamo 1' identity :
dudv d
U-r—\ 一 U
Integriamo a tutto il campo S e notiamo che
alia u ― e applicabile il lemma (2) ； quindi :
— — a S = — I u - —— 「 da — u T— ^ a S*
Cambiando x in y e z e sommando le egua-
glianze ottenute, si ha
J c xc X J an J
questa eguaglianza esprime il prima lemma di
Green,
Se supponiamo invece che "， anziche possa
(liven tare infinita al modo solito, allora avremo
S fl^^dS+ {v^d< |"2"dS-0.(5)
J dxdx J an J
Se finalmente u e v sono regolari colle loro de-
rivate prime senza eocezioni, la (4) e (5) sassistono
contemporaueamente. Per sottrazione si ha
flw^- "~ ^ ^\d<t f f(wA2V—"A2«0<^S=0 (6)
J V » w an) J
la quale esprime il secondo lemma di Green.
Esso sussiste in condizioni per u e v piu restrit-
tive del prinio.
Cap* I, § 6. Lemmi di Green.
17
Generalizzianio questo lemma, e poniamo per
GOtnpendio: *
= w, U2 = A2 w , ^4 = A4 w, eoc. . . ,
|；0 = t?, t?2 = As V , Vi=^^iV^ ecc
e supponiamo le w^,..., "。, "，,... tutte re-
golari. Applichiarao successivamente il lemma (6)
alle coppie di fanzioni Uq , "2w-2; e poi %,
"2w*~4; ecc, … e fiaalinente alle W2m~2, "。• Som-
mando tutte le equazioni oosi ottenute otterremo :
V C( . d^th^^ . d ^2hu\
Zi 1 1 ^2h U . ^2kV ― —— +
zS) 八 an an /
in cui;
h'\-k = m 一 1.
La preeedente eguaglianza esprime il lemma di
Green in generale.
Notiamo alcune conseguenze. Nella (6) facciasi
v—\ \ risultera
+ {ti^udB = ^\ (8)
an J
e se piu iu particolare e •
A2 w = 0,
si ha il seguente teorema:
una funzione armonica in un campo soddisfa al
Mabcolongo. 2
18
Cap. I, § 1, Teoremi di Green,
contorno alia
du
dn
= 0.
(9)
§ 7. Teoremi di Green. 一 II campo sia a due
dimensioni; nella (5) facciasi v = log - , dove r
T
e la distanza di un punto interno, e a distanza
finita dal contorno , da un punto qualanque del
campo, non esoluso il contorno. Cio e evidentemente
legittimo.
Poich^ :
^ aiog-
d X
。 31og-
d u r
Vr dr
risulta
^ dlog-
u ^
r d r
dS +
1 1 du
log - — d <r +
r dn
T
Ricordando il lemma (3) si ha quindi
27tw(0) =
1
log
r
u
dn
, 1 du] , I , 1 ,^
log _ i^j — I log — A2 w aS.
ran/ J r
(10)
Se il campo e a tre dimensioni, facendo v = ~
r
Cap. I. § 7, Teoremi di Green.
19
nella (5) e procedendo come prima, si ha
Le (10) e (10') esprimono il teorema di Green
per Voperazione Ag.
Esso permette di asseguare, in un punto interne
di un campo, il valore di una funzione regolare
insieme colle derivate prime e che ammette le
derivate seconde, purchS sia noto:
1。 il valore del ti^u in un punto qualunque
interno;
2® i valori di e ^ in un punto qualunque
a n
del contorno.
La (10), come vedremo, e della massima im-
portanza. Puo dimostrarsi con procedimento piu
diretto cosi. Supponiamo, per maggior semplicita,
la u armonica nel campo. Centre in e con rag-
gio p descrivasi un cerchio 叮。 contenuto in S; la
funzione log ^ e armonica nello spazio compreso
tra <r e 。0; ivi dunque applioabile il secondo
lemma di Green (6); e si ha
r/ 1 \
20 Cap, 1. § 7, Teoremi di Green.
Ma in virtu della (9) si ha
， 1 d u , ， 1
log ― da* = log 一
P dp p
Inoltre :
dlog
1
u
P
dp
du
d p
2jt
essendo come al solito
d (7。 = p d
(0.
Detti M ei m il limite superiore ed inferiore
dei valori che u prende su % ， 1， ultimo integrale
e compreso tra 2 7ciM e 2?! m; e quindi al limite
per p = tende a ― 2 w (0) ; dunque
2 w (0) =
dlog
1
r
dn
， I du , ^
log 厂 -、 dc、
ran,
che e precisamente il teorema di Green per le
funzioni armoniche.
Questo procedimento e applicabile al caso di uu
carapo a tre dimensioni e alle operazioni A4, Ag, ecc.
II campo sia a tre dimensioni e in questo ti,
V siano regolari coUe loro 'derivate prime, se-
coade, ecc. II lemma (7) di Green ci dk
Cap. L § 7. Teoremi di Green. 21
(1 d V ，八 ,
+ 1^2«*"j t^—y —— \dQ t-
J \ an an )
产
Centre in un punto interno al campo e con
raggio p descriviamo una sfera Sq di siiperficie ^^。
contenuta in S; indichi r la distanza di un punto
qualunque del campo (la 0. Posto:
2
v = r. Ao V = —— ， Al = 0,
r
in tutto il campo S — Sq hi v e Agi^ sono rego-
lari, quindi il lemma e applicabile alia v —r nel
campo suddetto- Avremo dunque:
J(
d r d ti\ , .
A2 w r— -— ]d<s +
a n an
u ― Aq r 7 — |a<r — \r \Aud b +
an an* '
C[ dr ciAgtA 7 •
+ A2 " -J r— — I c« <?o +
J \ a Hq dfio I
CI d S^r du \ ^ C _ „ 八
+ 1 1 w ― Agr - ~~ I d ^0 + I r A4 wrt 5o=0.
J \ ariQ (inol j
Ma abbiamo :
d A2W , fc^As?, 7 f ^ d r -
drio J dfiQ J a Wo
， I du _ ^ fdu ^
' " d Wo J d no
22 Cap. L § 7, Teoremi di Green.
Quindi col tendere di p a zero questi integrali
tendono a zero. Lo stesso avviene dell' integrate
relative ad Sq. Infine :
r 4
u -—^ - — 2 1 u ― "~ d。o = 一 2 I M d CO
a Wo J dftQ J
ha, come nel caso precedente, per limite
- 8 7rw(0):
dunque otteniamo:
8t:u (0) = K u —z^ Aa r ~ <i +
J\ an an)
+ 1 1 ^2 w ^ — r — Ida — |r A4 w S.
Se invece il campo e a due dimensioni, ponendo:
V = log ―
r
e procedendo come prima si trova una formula
analoga alia precedente ma in cui r e sostituito da
log 丄
r
Queste formule esprimono il teorema di Green
per I'operazione A4 ； esso fa conoscere in un punto
qualunque interno al campo il valore di una fun-
zione regolare insieme colle derivate prime, se-
conde ecc, quando e noto :
Cap, L § 8. Condizioni che individtiano, ecc* 23
V il A4 u in ogni punto del campo;
A • ， • " d u d . ♦
2° 1 valori di w, ― , AgW, —3 —— m ogni
a n a n
punto del contorno *.
§ 8. Condizioni che individuano le funzioni po-
liarmoniche. — Abbiamo gia accennato alle condi-
zioni che fanno conoscere in un puuto di un campo
il valore di una funzione armonica biarmonica.
Ma esse non sono tutte necessarie; ci6 risulta dai
seguenti teoremi.
Una funzione regolare colle sue derivate pri-
me ecc, in un campo h detenninata se h nofo il u
in tutto il campo^ cioh se ivi soddisfa alia equa-
zione
e se sono noti i valori che u prende al contorno;
i determinata a meno di una cost ante se sono noti
i valori che -j^ prende al contorno, purcM que^
a n
sti soddisfacciano la (9).
Ammettendo che esista una tale funzione, sup-
poniamo, se e possibile, averne determinate due:
u\ u〃, Pongasi :
V = 一 "〃•
In ogni panto del campo sara
A2 = A2 — A2 w" = ;
• Mathieu, Journal d, MatMm,, 14; 1869.
La (11) e la analoga nello Bpazio a due dimension], come
pure le prime ricerche e propriety delle funzioni biarmoniche,
sono dovute al Mathieu.
24 Cap. L § 8. Oondizioni die individuaito, ece.
dunque la t? e armonica. In uno stesso punto del
contorno u\ v!\ oppure le loro derivate normali,
(lebbono a 顏 mere lo stesso valore e quindi sara :
v = \S\ oppure, -7— = U .
an
Facciamo ti - v nel lemma (4); risulta
J \d J dn J
II secondo e terzo integrals sono nulli in ogni
caso; h quindi nullo anche il primo, cioe:
dx dy
La e costatite ed e quindi sempre nulla se lo
e al contorno; se invece e nulla la derivata secondo
la normale, v resta costatite. Dunque ed ？,'
sono ideDtiche differiscono per una costante.
La esistenza di una siffatta funzione u, sotto
certe restrizioni assai generali relative al con-
torno, puo essere rigorosamente dimostrata *.
In particolare :
una funzione armonica in un campo h determi-
nata dai valori che essa assume al contorno.
Da quanto poi fu dimostrato sulla v risulta:
* Per le namerose recenti ricercho sulla qaestione delPefii*
Btenza della solttzione nel problema di Birichlet vedi la in-
teressante monografia di L. Silla : II prtncipio di Dirichlet
c il prohUma dei valori al contorno. Giornale di mat. di Bat-
taglini, 40 ； 1902.
Cap, L § 8. Condizioni che individuano^ ecc, 25
una funzione armonica in un campo^ nulla op'
pure costante al contorno^ i nulla o costante in
tutto il campo.
Dimostriamo quost'altro teorema:
una funzione regolare colle sue derivate prime^
secondtj ecc. in un campo i determinata se i nolo
il A4 u'in ogni punto del campo, cioi se ivi sod-
disfa la
e se Bono noti al contorno i valori di u e t^.
an
"Ne esistano infatti, se h possibile , due cice
ed w〃 e si faccia:
1； = w' 一 w';
sar^ V biarmonica in tutto il campo e al contorno
d V A
v — — = 0.
an
Applichiamo il lemma (6) alle due funzioni v e
A2 V : avrerao
d Aot? d v、、 ， ,
an a n
cioe:
quindi :
+ j — Asj " ") d S =0,
(A2 vy ds = 0,
A2 r = 0,
v = 0; = w".
26 Cap. L § 9. Funzioni di Green.
Abbiamo pure :
una funzione biarmonica in un campo, nulla al con-
torno insieme colla sua derivata normale^ d nulla
in tutto il campo ；
una funzione biarmonica in un campo ^ determinata
allorcM sono noti i valori che essa e la sua deri-
vata normale assumono al contorno.
E ora facile estendere quest! teoremi alle fun-
zioni poliarmoniche.
§ 9. Funzioni di Green. Problema del valori a 霞
contorno. 一 Vogliamo ora occuparci della deter-
minazione di quelle funzioni regolari determinate
dalle condizioni del § precedente.
Tale problema presenta una duplice difficolta
dipendente dalla forma del contorno e dai valori
dati Bu questo.
Esso dicesi problema dei valori al contorno o
problema di Dirichlet, Occorre evidentemente po-
ter eliminare dalle (10), (11) i valori
d u d Ao w
― y \oU, ~ z— , ecc.
a n an
Tale eliminazione e possibile colla ricerca delle
cosi dette funzioni di Green; cioe di certe fun-
zioni armoniche determinate da speciali condizioni
al contorno.
Dicesi funzione prima di Green, o di primo
grado, di un campo a due dimensioni quella fun-
zione armonica che al contorno assume valori
eguali a log ―, essendo r la distanza di un punto
arbitrario ma fisso Mi del campo da un altro
panto qualunque.
Cap. 1. § 9. Fnnzioni di Green
27
Se il campo i a tre dimensioni log ― va sosti-
' T
tuito con 丄.
r
Sia Gx il valore di tale funzione unica (e per
la cui determinazione, dipendente dalla sola forma
del contorno, non si possono assegnare regole ge-
nerali) in un punto generico M (diverso dal polo
Ml); allorchfe M e sal contorno avremo:
Gi = log — ; oppure, (？ i = - • (12)
d G
II valore che — r— ^ assume al contorno si puo
CP n
calcolare solamente dopo di aver determinata la Gi.
II lemma (6) e applicabile alle due fuuzioni u e
Gi e ci :
J \ an an) J
Sottraendo questa eguaglianza dalla (10) e tenuto
conto della prima delle (12) risalta pel valore di u
nel polo Ml :
f d (, 1 ^ \ , r/ 1 ^ \ j J (13)
I U—[\0g — - (rilrfff- I log Oi I W 5i. \
E cosi:
" "(0*1,2/1,20 二 \
d I 1 \ r( 1 \ [ (13')
an\r ) j\r J j
28 Cap, I. § 9. Funzioni di Green
le quali formule risolvono il problema dei valori
al contorno per I'operazione Ag.
Dicesi funzione seconda di Green, o di secondo
grado^ di un campo a due dimensioni quella fun-
zione biarmonica eke al contorno soddisfa alle
condizioni
^ 1 dG. +"og+)
6r2 = log 一 , • 、
r , dn dn '
se il campo i a tre dimensioni^^sostittiendo log 丄
r
con dovra soddisfare alle
2 , d n dn 、
La 6?2 e calcolata in un punto M diverse dal
polo Ml.
II lemma (7) e applicabile alle due funzioni w
e (?2； tenuto conto delle (14) esso ci dk:
一 I G^&^ud S=0.
+
7a
.04
2
2
A
7a
o
9
e2
n
2 »r/
A d
Cap, L § 9, Funzioni di Green.
29
Sottraeado questa equazione dalla (11), si ha
8 7c w yi) = '
\ r II 1
U ~~ z "2 log 6?«
a n \ r
du-
el Hi
W<r-) (li
log + 一 ffgl ^4 wc? S;
mentre pel campo a tre dimensioni:
8 w (a^i , , Zi) =
d (r 一 (？ a)
du
dn
— (r — G2) 3— \d<J 一
dn
(150
一 一
le quali risolvono il [problema dei valori al con-
torno per I'operazione A^.
II problema della dcterminazione di una fun-
zione regolare, allorche e noto il valore del in
ogni punto del campo e i valori della sua derivata
normale al contorno, pu6 risolversi determinando
una funzione armonica G tale che al contorno sod-
disfi alia
dG
d
1
d n
， + cost; oppure, = -— +'cost.
a n an an
Si puo sempre disporre infatti di questa oostante
in modo da rendere soddisfatta la (9) che nel
caso attuale diventa, per la (1)，
(d) + cost J d<i = n
30 Cap. I, § 10. Deter m, d. funz* di Green.
Se la superficie c e indefinita, la costante e
nulla.
ha, G e determinata a meno di una costante.
Procedendo come al solito si trova :
2 7C u (a?! , Pi) = )
= J ((？ -log ^]j^d<y +J((?^log W J (16)
Se lo spazio e a tre dimensioni si sostituira 2
. , 1 1
con 4tt e log —— con —— .
r r
Aumeatando G di ana costante il secondo mem-
bro verra aumentato di
\J an J I
che, per la (8), e nuUo; duQque il secondo membro
non varia.
§ 10. Determinazione delle funzioni di Green
in aicuni casi semplici. ― 1。. II campo sia lirai-
tato da un cerchio o da una sfera di raggio a;
sia Ml il polo, il centro, Mi = p: un punto Mi
posto su Ml e tale che:
dices! immagine di Mi rispetto al cerchio (sfera).
Ogni punto del campo, eccetto il centro, ha per
immagine un punto proprio; i punti del contorno
coincidouo con la loro immagine.
Gap, I, § 10. Determ, d. funz, di Green. 31
Sia M un altro puato interno al campo ； r ed r'
le sue distanze da ed M\. Poniamo:
p ,
ri = — r
a
essendo funzione delle coordinate di M, Allorche
questo cade sul contorno in M,, i due triangoli
Ml M\ M\ M' essendo simili si ha:
OM^iOM' ~MiM':M\
cioe:
P f
r=—r:
a
dunque sul contorno: .
r, = r.
La funzione ri e regolare nel campo e diversa
da zero non potendo M coincidere con M\ e pero
r' diversa da zero.
Di qui segue che log 丄 e armonica nel cerchio
1 一 nella sfera | ed al contorno assume il valore
log-^ ^oppure -^j dunque:
(?i = log — ; oppure, 6?1 = — . (17)
^1 尸 1
Se il polo M\ cade nel centre, la ricerca prece-
dents Don e piu valida ； ma si scorge subito che
32 Cap. 1. § 10. Determ, d. funz, di Green
la Gi e in tal caso:
log
oppure
Se rispetto all'origine sono . . . le coor-
dinate di Ml] X、 y、 … quelle di . . .
quelle di M\， si ha:
p p' = a^: 一 = -y ecc. : x\ = — 0?1 ; ecc.
P P p2
Q Hindi :
= -i + +•••) (^2 + y2 + •••) 一 2 2 a; 0：1 + aK
La fanzione di Green e dunque simmetrica ri'
spetto alle coordinate di ilf e di Mi.
Fassiamo alia seconda funzione ； e consideriamo
log ― regolare colle sue derivate prime, ecc.
Poiche:
A, = 4 , A2 log ri =
si ha:
A2 log ri) = 4 log + 4 2
d log r
d X
Cap. 7. § 10 Deter m. d. fun2, di Green. 33
e cii qui:
A4 (r^ log = 4 2 1 ^, {X - ri) ^ +
+ Or 一 X,) + 8 ^^ log r, =0. .
Cio posto consideriamo la:
u = ― 一 r^) + log -- •
Essa e biarmonica uel cerchio, e quando M cade
sul contorno assume il valore
log
1
r
Di piu:
d ti d r, d r - - 1 dr d r,
= ri ― r -z —— f 2 r loj? ：
d n 1 d n
e sul contorno:
d n
。 f\dn 1、 chi ,
d u o ， I dr d r
-y- = 2r log — -z r ―
a n ran (In
d I log
1
r
d n
dunque:
Per la sfera invece:
1 7'2 1
^2^^- + yn- (18')
Marcolongo. 3
1
4f
o
2
11
2
2
.1
I ； 2
I 一
34 Cap, I. § 11. RisoL prob. d, valori al cont,
Se il polo cade in basta sostitaire con a.
2.® CoDsideriamo ora il caso di uno spazio in-
definito limitato da una rotta o da un piano in-
definite.
Bastera supporre nelle formule precedenti che
il panto si allontani all' infinito, con che p ed a
tendono aU， infinito ed il loro rapporto ad 1 ；
quindi coincide con /, essendo / la distanza di
M dalla immagine M'l di Mi rispetto alia retta o
al piano limite ； e pero anche per questo caso si
conosceranno G^, (？ 2.
Se si assume la retta come asse a;, il piano
limite come piano x y、 avremo
^(x — rri)2 吻 + ecc.
Le fanzioni di Green sono dunque simmetriche
rispetto Jtf ed Jlfj *
§ 11. Risoluzione del problema del valori al
contorno per il cerchio (sfera). 一 Sia ii una fan-
zione armonica entro an cerchio e di cui conosciamo
i valori al contorno. II valore della u in un punto
* La prima fanzione di Green si sa determinare per aliri
campi: vedi Betti: Teorica delle forze Newtoniane, Pisa, 1879.
Quella di secondo grado per la efera h Btata assegnata dal
prof. Lauricella: Atti R. Acc, d. Sc. di, Torino, 31 ； 1896;
e pel campo limitato da due circonferenze concentriche dal
prof. d'ARCAis : Atti R. 1st. Ven,, 9， (7); 1898.
Per qaella di f^rado n vedi due mie note: Rend. Acc. Lincei,
20 semeetre 1901 e Rend, Circ. Matem, di Falermo, 16 ； 1902.
La Bimmetria di Gi riepetto alle coordinate d\ M q Mi
qualunque sia il contorno h stata dImoBtrata da Riemann:
Schwe)'€y EhktricHat u. s. w. e per le fanzioni di gr&do n
dal dott. BoGGio : Atti R, Acc. d. Sc. di Torino, 35； 1900.
Cap. L § 11, RisoL prob. d. valori al cont 35
interne e dato dalla (13); teniamo ora presento il
valore trovato per G〜 (17).
Occorre quindi calcolare al contorno
d L 1 ， 1 \ I dri I dr
log — — log — I =^
dn\ ^ r Ti I Vi dn r dn'^
ma:
d r X —— dx , {x — x^x + .
， — ， I • • • 一 . -—'
d n r
d "1
d n
d n a r
, xxi
= 1 ，
a r ar
1 p2 / \dx ,
o I ^ I h • • •
ri or \ f 2 ) dn
= 一 1-
a r a r
perche al contorno e = r; onde:
一 p2 C ud<^
2- w (刀 i，2/i)
a J
(19)
Se p ed a soao le coordinate polari di ri-
spetto al centro; a, quelle di an pun to qualun-
que del contorno, abbiamo
d'T = ad^; = + — 2 a p cos (0 — a) ；
donde:
yi) 二 -YtI a^+p3-2apcos(0~a) • )
36 Cap, I. § 11. RiBoL prob. d. mlori at cont
Naturalmente, ad integrazione compiuta, u (xi^yi)
risultera funzione di p ed a.
Per la sfera, con lo stesso procedimento, si trova
" w (^1, J/i, ^i) = — • (20)
A questa puo darsi una forma notevolissima.
Poniamo
1 f ud<T
"=i ~~ (21)
La t; e regolare in tutta la sfera insieme colle
derivate di qualsivoglia ordine e soddisfa la = 0，
perche tali proprieta souo godute da - ； essa rap-
presenta inoltre la funzione potenziale di una ma-
teria distribuita sulla superficie della sfera colla
densita : 4 7t a, (Vedi Cap. 2。).
Riguardiamo r e quindi v come funzione di p ；
poichfe
r^ = a^ + p^ -2Z^^u
con un breve calcolo si trova
丄 + = ""^ -"，
r d P ，
e quiudi
w (^1 » 2/i , ^-i) = 1? + 2 p - ；
09
(22)
Cap. L § IL Risol. prob. d, valori al cont. 37
la quale fa dipendere la costruzione della u da
quella della funzione potenziale v.
Per risol vere il problema del valori al contoriio
per le funzioai biarinoniche potremmo valerci delle
(15) e (150 dove pero e data da (18) o (18').
Seguiremo invece un metodo piu semplice.
Premettiamo il seguente utilissimo teorema.
Se il soddisfa la ^2 = 0； anche
d u ^d^ u
P 9
soddisfano la stessa Ag = 0.
E
Quindi
e poiche
+
d d X,
2
risulta
Ac
卜 2 一 0.
Osservando poscia che
38 Cap. I, § IL Riscl. prob. d. valori al cont
risulta pure
Ag |f2 -III = 0; ecc.
Se v! ed sono funzioni regolari insieme colle
loro derivate prime, ecc. in tutto il cerchio (sfera),
e soddisfano la A2 = 0, la funzione
u {x, ， y, , z,) = w' + (f 2 — a" ti" (23)
e biarmonica.
Infatti essa e regolare colle sue derivate e
inoltre
Supponiamo ora di conoscere al coiitorno i va-
lori di 1^ e della sua derivata normale. Per p = a,
u = u' Q poiche u e noto al contorno, applicando
la (19'), avremo
u
2tz J r2
La u' cosi determinata e regolare colle derivate
di qualsivoglia ordine.
Deriviamo ora la (23);
Cap. I, § 11. RisoL prob, d. valori al cont 39
Ma la fanzione
e regolare cou tutte le sue derivate, soddisfa la
^3 = e al contorno assume valori dati ed eguali
d u
a 一 —； quindi, sempre ia virtu della (19'), si ha:
d u
2 a u + — p =
a ？ 2
d n
r
2
do ,
la quale ci fara conoscere w"; cioe
27t
2n
.If
a^— \ dn
1
4 冗 a
4 7c
1(
D'altra parte
十 Pt"
r
,2
3p \ 1*2
2 (a2 - p2) . ,。 、i
J a|a— p cos (0— a)j,
r
dunque infine otteniamo
2/r
U
0*2 — 一 p COS (0 一 a)
2
^ a J
r
2/r
4
？ 《 十
(24)
, (a2 — p2)2 r 1 du ，A
40 Cap. §• 12, Proh, d, vaL al cont. p. un semip.
Tale inetodo si puo generalizzare per risolvere
il problema dei valori al contorno per le funzioni
poliarmoDiche nel cerchio (sfera), cogaiti al con-
torno i valori Hue della prima, secouda, ecc. |
deriyata norinale.
Basta porre
u^ii'-h (p2 - a") u" + (p2 - a^Y u'"
essendo m'， w", w'〃 . . . regolari con le loro deri-
vate e soddisfacenti alia Ao = 0.
Sussiste del resto il teorema generale :
una funzione regolare in uno spazio ove soddisfa
la ^2n = 0, si pud in generale rappresentare me-
diante n funzioni regolari che soddisfano la
= *.
§ 12. Risoluzione del problema dei valori al
contorno per un semipiano o semispazio infinito. ―
I ragionamenti fatti per stabilire le formule (10),
(10') ecc, suppongono finito il campo S in cui la
u e definita.
Nel caso che il campo sia indefinitamente esteso
e la sia armonica la (10) e ancora applicabile se:
1。 la u si annulla col tendere di Mi all' in-
finito:
* La formola (24) e dovuta al prof. Lauricella, Atti
H. Acc. d. Sc. di Torino, 31 ； 1896.
II metodo eeguito e quello indicate dal prof. Voltebra,
ibidem; ed h stato generalizzafco dal prof. Almansi, ibidem
e Annali di Matem.^ 2 (3) ； 1898， al quale h pure dovato il
notovole teoroma in fine del §.
Cap. I. § 12. Prob. d. ml. al cont. p. un semip, 41
2° si ha sempre
d u
d u
dy
<
dove M e una quantita iiuita, R la distanza di
un punto fisso dal punto Mi.
Queste condizioni diconsi brevemente " condi-
zioni di convergenza aWinfinito
Centro in un punto descriviamo con raggio R
un cerchio abbastanza grande e tale che con-
tenga c nel suo interne. Al campo corapreso tra
<r e possiamo applicare la (10) ed avremo
2 7： w , I/,) =
dlog
1
r
dn
， 1 d u ' ，
log — -r-/a<T
r ， 1 du , ，
-〜 T~Rl"i,
n essendo la nonnale volta verso 1， esterno del
carapo racchiuso da <j.
Ma
it d r
r
JR
2-T
42 Cap, L § 12. Prob. d, vol. al cent, p, un semip.
e poiche col tendere di R airinfioito R: r tende
ad 1 ed u a zero, cosi il limite dell，integrale pre-
codente h nallo.
Inoltre
du
d—R
du dx
d 'xd R
2
ma
' 1 du
lo 饤打产
2^
2M
了"^
R
log
r
r
• R
tende a zero col tendere di B (e quindi di r) ai-
rinfioito. Dunque anche questo integrale tende a
zero; e la (10) risulta quindi applicabile al campo
iafiaito esterno a 。• Lo stesso ragionamento si ap-
plica alia (10').
Consideriamo un semipiano limitato dall'asse x:
rasse z sia normale a questo e positivo nell'intenio
del campo. Si vuol determinare in Mi il valore
di una funzione armonica u die soddisfa alle con-
dizioni di convergenza aWinfinito, cogniti i valori
che essa prende al contorno cioi suWasse x, Do-
vremo applicare la (13): notiamo che
dlog —
r
d n
dG 、 ―
dn
d log r
dz
d log Vi
dz
z -一
~~ ^
8
Cap. 1, § 12. Ptoh, d. ml. al cont.p. un semip. 43
quindi al coatorno, cioe per z = 0^
d L 1 ^ 2 2'i r
log GA = = — 2
dn\ r I d 2^1
onde
+00
, 、 1 a r 1 1 J
u (^1, z^) = ~~ I ulog 一 aX.
^ ZiJ r
一 00
(25)
Per un semispazio limitato dal piano £y si ha
analogamente
, 、 1 d lud<T
2 7： 3 A r
(25')
II problema dei valori al contorno per le fun-
zioni biarmoniche si risolve poiiendo
(love u\ M" sono regolari colle derivate prime, ecc.
e soddisfano la u = 0. Poi si precede come
per la (23).
Per tali cam pi si pu6 facilmente risolvere il
problema della determinazione di una funzione
armonica allorchh sono dati al contorno i valori
della derivata normale.
Si puo infatti osservare che in tal caso la fun-
zione G che figura nella (16) e defidta, a mono
di una costante, da:
dG dlog+
44 Cap. I. § 13. Di una tmsfonnazionc, ecc
e si vede subito che e
G = — log 1
quindi la (16) ci da:
, 、 1 fdu . 1 ， ,M、
u {Xi, Zi) = —— -I V- log— (7. (26)
r. J an r
Nel caso di un semispazio abbiamo iavece:
(26)
§ 13. Di una trasformazione in se stessa della
equazione A2„ = 0. 一 AUe variabili a?, y, . • . che
figurano nella %i sostituiamone altre , J/i... , po-
nendo •
= 0? (iTi , J/i ， . . •) ； y=rj (r J , t/i , . . .) ； ecc.
Diciamo % la trasformata di u e poniamo
Per quali trasformazioni il u si trasforma in
Per brevita di scrittura supponiamo si tratti di
due variabili sole.
Nel piano oo^ le Xi ― cost ；， j/j = cost, indivi-
Cap. L § 13. Di una trasformazione ecc. 45
(luano UQ sistema di coordinate curvilinee che noi
supporremo ortogonali. Poiche
gar d ^
0； . ： ) (27)
1， elemento liaeare del piano y assumera la
forma :
dove:
^dx 8>T ^ dy dy
Dalle prime dae si ricava anoora
a? d^y dy
—5 十^ 1—2^， ^29)
dic s y
Moltiplicando rispettivamente le (27) per ― "~ ,~
0^1 d'Ti
2
2
1
2
十 +
2
2
1
ii
2
8 : 3
^.2
2
亀
1 51s
|j
3
1
46 Cap. 1. § IS. Di una trasformazione ecc
e sommando, tenendo presenti le (28), risulta
donde :
_ 1 ga? ^ 8a?i 一 1 dy •
Q?d^i' Jy^Q^d^i' 【, （30)
1 doc dVx ^ 1 dy {
d 丄:
Di qui:
2 IdQi doo, _^dQi dyi\ doc
十
仏 3 dec dVi docld^i'
cioe, in virtu delle (30),
82 《1 _ 1 / 1 dx —1— 82 忠
& = 》 丁" [2 ^2 ^ 十 》i; dVi dVi
― Q? \Q? dec, 十 》？ ^ f^J 8^
ed una espressione analoga cambiando x in y.
Dunque sommando e tenendo presenti le (28)
e (29) risulta
' 1 一仏 2 da^i 卞 Q2 d a?J (？, 3 a ^1 ，
Cap. L § 12. Di una trasformazione^ ece. 47
A2 3?i =
J_ 丄 f ^，
(31)
Qi Q%dxAQj
Notiamo poi che dalle (28) e (30) si ricava
y 1 '
y 丄、 2
—― y
n dx^ dlh dx^d Vx
\j ― 十
dx dx By dy
Ci6 poBto, avendosi :
= ^1^1)2+ 2 3"《 dx, dy, ,
d^^~d^^-d~^l • d^i dVi doc go?
卞 …卞 卞 •••
otteniamo :
e poiche nel caso geiierale di pifi variabili :
COSl
3
8
+
2
2
3
3
3 8
II
2 2
1
48 Cap. I. § 13, Di una trasformazione^ ecc.
che da la celebre trasformazioiie del A2 iu coordi-
nate curvilinee ortogonali di Lame.
Nel oaso di due variabili perche il A2 u si tra-
sformi nel A2 iii e necessaria e basta che
丄 f£2l- 丄 （iij-o
d ^'i \QiJ d fJi\Q2l ，
le quali ultime so no conseguonza delle prime. In
tal caso :
^2 w — A2 Wi ,
1
ds=Q dsi-
La trasformazione richiesta e una trasformazioue
conforme ； se qaindi la u e armonica in uii campo,
la Ui sark armonica nel campo trasformato. Dunque :
se sapremo risolvere il prohlema dei valori al con-
torno per un^area piana^ lo sapremo del pari ri-
solvere per tiitte le aree piane rappresentabili in
modo conforme sulla prima; e quindi per tutte le
aree che si sanno rappresentare in modo conforme
sii di un cerchio (0 sii di un semipiano),
Nello spazio a tre dimensioni posto :
risulta
2 - Q, Q, Q, \ Q, da^J •'•
e perche Ag u si trasformi in Aj Wj, e necessario
Cap. L § 13. Di una trasformazione ecc. 49
e basta cbe
Qi = Q2 = Q3 = Q
丄 iQs Qs\^ d IQsQi
Queste ultimo equivalgono a :
0.
cioe ^ = cost = c; quindi
ds- cdsi^
la trasformazione e una similitudiiie e non da
quindi nulla di nuovo.
Se fosse semplicemente :
Qi"^ Q^-^ Q^"^ Q
avremmo una trasformazione conforme dello spazio
e questa, per un noto teorema di Liouville *, e ne-
cessariamente il risuUato di una trasformazione
per raggi vettori reciproci e di trasformazioni U-
neari.
In tal caso, se r ed indieano le distanze'di
due punti corrispondenti daU'origine, si ha
d s : d Si 二, * : r*i ，
* Liouville nella Note VI des Applications de VAnalyse
h la G^omStrte de Monge^ segue an metodo direttoed analitico
fondato Bulla integrazione di an sistema analogo al (28). Tra
le molte dimosirazioni di questo teorema h. assai notovole
qaella del prof. Oafblli : Annali d, Matem., 14, (2) ； 1886.
Mabcolongo. 4
50 Cap, L § 13. Di una trasformazione ecc.
Bupposta eguale ad uqo la potenza dell' inver-
61 one.
Cio posto il Painleve * ha proposto e risoluto il
seguenie problema generale :
determinare tre funzioni a?!, y!, ^j, di x, y、 z ed una
funzione F di i4, ； v， y, z colla condizione che sosti-
tuendo Xi ecc. in y . nella u (che soddisfa la
△2 = 0) anche la F soddisfi la A2 = 0.
Si puo dimostrare che la trasformazione non
puo essere die una inversione e inoltre
ri
ritrovando cosi una nota proprieta scoperta da
Thomson (Lord Kelvin).
Per la verifica diretta di questa basta notare
che, per la (32),
Ma
, luA 1 , 2 ^du dn
A2 ― I ― 一 Ui 9 7. - —— ；
donde :
la quale esprime che se u soddisfa la A2 w= 0,
• Painleve : Travaux et Mem, d, FacuWs de Sc. de Lille,
1: 1889.
Cap, I. § IS. Di una trasformazione^ ecc. 51
la soddisfa la Mtessa equazione nello spazio
trasformato.
I risultati precedenti si estendono facilmente
al caso di w ^ 3 variabili. In tal caso si ha
A o„( d I 1 d n
+…，
cioe
inoltre :
Quindi
se dunque la tt armonica, nello spazio trasfor-
mato per inversione sara armonica la
Passiamo ora alle funzioni biarmoniche, e cou-
sideriamo nel piano una inversione (a potenza 1)
definita dalle:
x^=x: r\ y、=y ： ,
52 Cap. L § IS. Di una trasformazione, ecc
Quindi
3 一 W 一 、"•
Se poniamo
u
risultera successivamente
^2 十^ 2 — r 叭 7"2)，
Sviluppando il secondo membro si ha
e poscia :
A。 ！ "4 乂
= r' \ u + "2 + 2 2 1^ "f 4 M《
Cap. /• § 13. Di una trasformazione^ ecc, 53
e riflettendo che
si ha infine
doe:
se si combina una trasformazione per raggi vet-
tori reciproci in un campo a due dimensioni, col
camhiamento di funzione
I, equazione
e trasformata in stessa *.
Partendo quindi dal fatto ben noto che un'area
<7 compresa tra due circonferenze (0 due sfere) non
intersecantisi si pu6 con una inversione trasfor-
mare in una corona circolare, si riconduce il pro-
blems dei valori al contorno per c e per 1' equa-
zione 〜 = e = a quello della corona circo-
lare (0 sferica).
11 teorema precedente si puo geDeralizzare nel
seguente:
se u & una funzione di n variahili .Tj, 3：2, . . . Xn ,
armonica di grado m e si fa una inversione defi-
• Levi-Civita: Atti R, 1st. Veneto, 9 (7) ； 1897-98. Vedi
anche Boggio : ibidem, 69 ； 1900.
54 Cap. I. § 13. Di una trasformazione^ ecc,
nita dalle :
x'i = Xi : "2，
la funzione
u' = u: "2附一《
sara ancora armonica di grado m rispetto alle rr'*.
E possiamo proporci un prpblema analogo a
quello del Painleve; cioe determinare n funzioni
di a?2, . . . Xn che denotererao con x\ , (， • •• x'n
e una funzione F dAu (soddisfacente alia A2mw=0)
e delle a?i , . . . colla condizione che se si sosti-
tuisce Xi in luogo di la funzione
verifichi sempre I'equazione :
Aom tC' = 0.
Si puo dimostrare che, qualunque sia il numero
delle variabili, la trasformazione e quella per in-
versione e quindi deve ricadersi nella soluzione
precedente **.
• VoLTEREA : Sidle f unzioni poliarmomche, Atii R.
Voneto, 57 ； 1899.
** Vedi una nota del dott. Boggio: ibidem, 59 ； 1900, in
cui il problema e risoloto benche in una forma meno ge-
nerale.
CAPITOLO SECONDO.
FUNZIONI POTENZIALI NEWTONIANE.
§ t. Funzione potenziale di una massa distri-
buita in uno spazio a tre dimension!, attraente se-
condo la legge di Newton. 一 Una massa occupa
uno spazio S ed ha nel punto (a, b, c) generico la
densitk k ； essa attrae una massa unitaria posta
in P (a?, y, z) secondo 】a legge di Newton. Se in-
torno al puuto (a, i, c) consideriamo uq elemento
di volume d S、 la sua massa sark kdS e I'attra-
zione che esercita suU'unita di massa e espressa da
kdSir^
* Su qnesto capitolo si pOBSono cfr. oltre i libri modern ie-
simi del Korn, PoincarI: e il libro gik citato del Betti, i
Beguenti :
DiRiCHLET : Vot'Iesungen iiber die im umgel'ehrten Verhdl.
n. s. w. Leipzig, 1876.
Neumann: tlntermchungen Uher das logar, u, netvt. Poten-
tial. Leipziff, 1877.
Duhem: Lemons sur Vdleciricite et Je magnStisme. Paris, 1891,
T. T. Tl lettore desideroeo di riealire alle fonti origin ali tro-
verk 〗n queeto bel libro numerosiesimo citazioni e note eto-
riche.
56 Cop, II. § 1, Funz, pot, di massa ecc.
ed agisce secondo la congiungente il punto (a,6,c)
con P che dicesi punto potenziato. I coseni diret-
tori di questa congiungente essendo
a 一 X b — y c — z
r r r
le componenti dell' attrazione di tutta la massa
sono espresse dalle:
Ora mostreremo che:
le componenti delV attrazione sono le derivate^ ri-
spetto alle coordinate del piinto potenziato, di una
funzipne
V(x,y,z)= (^^, (2)
la quale dicesi funzione potenziale della massa
distribuita m S,
In F, nell'eseguire la Integra zione, dovremo ri-
guardare a?, y, z come parametri fissi; a, b, c come
variabili d'iategrazione. La densita k、 funzione dei
punti (a, b, c) di S, e, pel suo stesso significato,
sempre finita; atnmetteremo inoltre che sia integra-
bile lungo qualsivoglia retta uscente dal polo P.
§ 2. Proprieta della funzione potenziale nelio
spazio esterno alia materia agente. ― II punto
potenziato sia esterno alio spazio S occupato dalla
Cap, II, § 2. Prop, d* funz. pot, alVesterno, ecc, 57
massa; la funzione
l:r = 1: \l[x ― ay + {y- bf + {z — cf
non diventa mai infinita; notando quindi che
8 丄
r a 一 or
risulta
r-l^, z 二 (3)
dx dy d s
La F e monodroma, finita, continua insieme
coUe derivate di qualsivoglia ordine in tutto lo
spazio esterno.
Supponiamo che P si allontani all' infinite ； V e
le sue derivate si annuUano. Diciamo R la distanza
di P da UTi punto fisso p. e. I'origine; si ha:*
lim — = 1 ,
7^=30 r
quindi:
hm IiV=f/cdS = M
indicando con M la massa attraente.
Inoltre:
d J r \ r I
(4)
so quindi P si allontana aH'infinito nella dire-
58 Lap. If. § 5. Prop. d. fmz. pot. neUo spazio, ecc,
zione fissa definita dagli angoli «, S, 丫 si ha
lim B2 = 一 M cos a ecc. . • (5)
d ^
Notiamo in fine che
rfS = 0; (6)
dunque:
nello spazio esferno alia materia agente la fun-
zione potenziale e le sue dej'ivate di qualsivoglia or-
dine sono regolari: essapoi soddisfa Veqiiazione (6),
delta di Laplace ; col tendei^e del punto potenziato ah
. gF .
rinfinito, RV^R^— ~~ ■ , ecc. tendono verso limit i
ox
finiti.
§ 3. Proprieta della funzione potenziale nello
spazio occupato dalla materia agente. ― II punto
potenziato P faccia parte della massa: la fuuzione
— diventa infiaita in P, e le considerazioni del
r
§ precedente non sono piu valid e. Vediamo se
seguitano a sussistere le proprieta.
Escludiamo P, che puo giacere infinitamente vi-
cino od aiiche sul contorno, da S con uno spazio
Sq nel cui interno sia P; diciamo Si lo spazio re-
stante ； Vq , V\ rispettivamente il valore in P
della funzione potenziale dei due spazi Sq ed Si:
avremo
Cap. II. § Prop, d, funz. pot. nello spazio ecc. 59
F essendo ester no ad la Fj e regolare ； esa-
miniamo Vq,
Centre in P descrivo una sfera di raggio 1 ； su
questa assumo uq elemento d'area d w che proietto
da P; assumiamo quindi per elemento d Sq lo spa-
zio distaccato sul cono proiettante da due sfere di
raggi r e r + dv^ cioe
d SQ = r^ doydr;
quindi :
Vo=^ S doi f Jcr dr
e sempre finita e pero ancbe V e sempre finita.
Dico che e anche continua. Siano Jcq ed Vq rispetti-
vamente i limit! superiori di ^ ed r in SqI sara
Consideriamo un altro punto P' contenuto in 8。,
ma che potrebbe anche essere esterno ad S; avre-
mo pure
onde:
|Fo-Fol=^4:rioV
e perche Sq puo supporsi arbitrariairiente piccolo
avremo ancora che, scelto s piccolo ad arbitrio,
si ha
iFo - ni<s
dun que la fun zi one Vq e quindi F e continua in
tutto S ed anche attraverso la superficie limite.
60 Cap. 11. § 3. Prop. d. funz, pot, nello spazio ecc
Quanto alle derivate prime dico che esse sodo
ancora regolari e rappresentano sempre le com-
ponenti delPattrazione.
Decomponiamo infatti la X ad es. come 】a F;
cioe :
Sara intanto
dY、
dx
Per calcolare Jfo osservo che razione elemen-
tare di un elemento di Sq su Pessendo k d Soir^,
la sua componente secondo x e
Xq ― j ~~ -^— d So= j d 0) J k COS ot dr:
dunque Xq、 e in conseguenza X, e finita. Proce-
dendo come prima si ha
\Xq'—X'q \ ^ 8 7： ro
cioe Xq , e quindi X e continua in tutto Sq ed an-
che attra verso la superficie limite. Inoltre:
一 Ck(a-x)
^0— I «fi、o，
dunque
A = - : ecc.
d X
Cap. II, § 4. Funz. pot. d\ina sfera omog. 61
la funzione poteiiziale i finita e continua insieme
colle derivate prime in tutto lo spazio ed anche
attraverso la superficie limite ； le derivate prime
rappresentano sempre le componenti dell' attra-
zione.
Prima di passare alia considerazione delle deri-
vate seconde, premettiamo la ricerca della:
§ 4. Funzione potenziale di una sfera omogenea.
一 La densita costante sia a il raggio della sfera ；
P=p^ M= w, M esseudo il pun to variabile
neir interno della sfera. Scelgo un sistema di
coordinate polari con OP per asse polare ； sia
la colatitudine MO P e <p la longitudine.
L'elemento del raggio vottore e du\ I'elemento
del raeridiano k ud^; 1 'elemento del parallelo
infine e u sen $ d< quindi
d S=u^ sen 6 dud^ d^.
La distaDza variabile r tra P ed M e data da
— = + "一 2 ?6 p cos 0.
Quindi:
r
w2 sen Q du dO d 'f
sju^ + — 2 w p cosO
Le integrazioni rispetto a 9 e a si eseguiscono
facilmente e ci danno
a
V= (ti { U r p 一 \/ (w - p)2 j M，
p J
0^
f
-o
II
62 Cap, IL § 4. Funz* poL tVuna sfera omog
perclie:
.r.
sen
J V ^2 十 p2 一 2 M p cos
= —— (V ^ + p'* — 2wpcosO; -： _ LJ: I fJL
P II il p
Conviena distinguere due casi.
Se P e esterno alia sfera, p > a; quindi
V(w — P)2 = p — u
e
a
4:T^kC - _ 4 7c /^： «3
Ve ― \vr dxi^ 一" 一 " - ,
P J 3p
u
F^=^TuA:aM^' + 2/' + ^'ri. (7)
Se in tal caso supponessimo coucentrata nel cen-
tro della sfera tutta la sua massa, la funzione po-
tenziale sarebbe la stessa ； dunque :
Vaiirazione che una sfera omogenea esercita su
di tin punto esterno e la stessa di quella esercitata
da tutta la massa concentrata nel centra della
sfera,
Se P e iiiterno alia sfera, p <a; conviene spez-
zare Y integrale tra e p e tra p ed a, cioe:
Q
Vi = w + p — V(w 一 p)2} du +
a
+ U {w + p — \/(u 一 p)^J d U.
Cap. II, § 5. Der, seconde delict funz. pot, 63
II primo, esseiido \l、u — p)^ = p — w, ha per va-
4
lore — -n: A p2 ； nel secondo inyece - pY = u 一 p.
o
essendo u sempre maggiore di p; il suo valore e
quindi
("2 —
Duuque:
3 J
.(70
Coi valori (7) ed (7') e facile verificare che V
e finita e continua in tutto lo spazio insieme colie
sue derivate prime anche attraverso la superficie
della sfera. Le derivate seconde sono finite e con-
tinue sia airinterno che all' esterno della sfera ma
presentano una discontinuita attraverso la super-
ficie. Infatti:
82 K
e
4 , ,iSx'
1
a
3
a
5
a
3
mentre
82 Vi
2
\0
4 7
= 一孑
o
Notando poi che
si deduce
82 Vi 4 ,
-TT "~ T = — — 77 A:, ecc.
As = — 4 ^ L
(8)
§ 5. Derivate seconde della funzione pofenziale.
Formula di Poisson. 一 Supponiamo anzitutto lo
，
64 Cap. II. § 5, Der. seconde della fiinz. pot.
spazio S riempito di una materia omogenea di
densita keil punto potenziato sia interne alia massa.
Isoliamolo con una sfera Sq di raggio qualunque,
ma coiitenuta iu S; sara
Vi = Fo + F,
e poiche P e esterno alio spazio restante sara, per
la (6) e la (8) ,
A2 Fi = — 4 Ic.
Dunque la (8) e valida per qualunque spazio
neiripotesi della deasitk costante ed esistono in tal
caso le derivate seconde anche nei puuti interni.
Passiamo ora al caso generate.
Per le derivate prime, qualunque sia la posi-
zione del panto potenziato, si ha
So poi il punto e esterno:
32 丄
A o ― I k~jr~^ d S, ecc.
si puo cioe eseguire la derivazione sotto il segno
integrale.
Se il punto potenziato e interne cio non e piu
possibile ； ed h facile convincersene. Si ha
D Y a — x^r 1 3(a-a?)2 Scos^a-l
s ； ^二 1 ― 么； =_ 1
2 X 1*3 ， g ^ "3
I - - i
Cap. II: § 3. De'rivate seconde della funz" ecc. 65
Se quindi la formula precedente seguitasse a
^ussistere, dovremmo ayere
d^V 2 i、j CIcdr ,0、
r— ^ = I (3 COS* ot — Ijrto) I —— (9)
d J J r
oj
Ij， integrale rispetto ad r suppone sia fissato
Peleraento d w ed eseguita I'integrazione tra e un
certo valore di r fissato dal contorno. '
Questo integrale deve essere certamente finito:
dan que lim A=0, cioe non dovremmo ayer massa
r=:0
nel punto P e cio, in generale, non e.
Sia ko la densita in P ed ammettiamo, oUre
Pipotesi del § 1.**, la integrabiliia di su
r
ogni raggio uscente da P; percio e necessario che
k sia continua in P, senza pero che sia neces*
saria I'esistenza della derivata di h
Diciamo Vq la funzione potenziale di una ma-
teria che occupa lo spazio S con densita ^0；
avremo
Vo" 。卩
J r
Vi = Vo + ii^-^dS.
. J T ,
Derivando:
- 1
- ' dVi d Fo C.J J r
d X J , C a
Marcolokgo. 5
66 Cap, IL § 5. Derivate seconde della fiinz; ecc
Dico che 1' integrale ha una derirata determi-
nata e finita rispetto x. Riceva infatti op 1， incre-
raento h per cui r diventi ri ； il rapporto incre-
mentale di
r
x — a
da
r
3
e dato da
1 . ^t? 4- 7i — a / 1
7i +
1
3
r
3
oppure, notando che
丄
1
r
2^(3； — g) +
r Viix + Vi)
da
1 R[x + h — a) , 、,n
-; 3 二 , 、 {2(rc — a) + A),
dove:
R = ― +
2
1
r
2
Moltiplichiamo per k 一 Tcq ed integriamo alio
spazio S.
In virtii della ipotesi fatta i tre integral! sqdo
finiti qualunque sia h ； ad esempio, pel secondo,
basta riflettere che '
X — a X + k — a
r* 十 n
1*1
<li\R\<j(^,
1
Cap, II, § 6, Diseont. delle derivate seconde. 67
Passando poscia al limite per A - 0, la derivata
dell'integrale risulta eguale a
("0) i V 3 7 S-A{k-ko)^dS
e questa, per quanto h stato detto in principio, e
certamente finita. Dunque esiste la derivata se-
conda di F ed e data da
(1。)
per le altre derivate avremo formule analoghe.
Se la coadizione rispetto k e soddisfatta in
tutto S, le derivate sono quivi seinpre continue.
Somrnando la (10) e le equazioni analoghe, per
cio che fu dimostrato in principio del §， si otterra
AsFV-AsFo^ — 4 化 (11)
formula celebre di Poisson.
§ 6, Discontinuiti delle derivate seconde. 一
Le derivate seconde sono continue sia nello spazio
* Questo formule, lievemente modificate, sono del prof.
MoRBRA, Sulle derivate seconde delta funzione potenziale di
spazio. Rend. R. Ist. Lombardo, 20; 1887. Vedi anche Maogi,
Sulle propriety fondamentali dell a funzione potenziale, ecc.
Nmvo Cimento. 33 ; 1893.
68 Cap. II. § 6. Discdnt. delle derivate seconde
esterno che nello interno; ma i loro valori non si
continuano attraverso la superficie.
lafatti mentre airesterno la V soddisfa aU'equa-
zione di Laplace ； alPinterno soddisfa a quella di
Poisson. Vogliamo ora determinare queste discon-
tinuita.
In un punto P di <t esista la normale e sia po-
sitiva verso la spazio occupato da masse: su que-
sta assumiamo un segmento PPi = n e nella
direzione opposta un altro eguale e contrario
Accenniamo con u e con v una qualunque delle
variabili j/, z ; e rispettivamente con
i valori di una derivata seconda in Pj ed Pg.
Questi due punti mantenendosi rispettivamente su
n e — n, tendano verso P; dovremo trovare
Per la continuity delle derivate prime di V an-
che attraverso <r, reqaazione
in cui per semplicita di scrittura si e tolta la no-
tazione di lirn ， deve essere soddisfatta per ogni
punto di Poniamo in questa in luogo di x、 y, z
PP.
9w 8vJ-n
Cap. II, § 6. Discont, delle derivate seconde. 69
le coordinate aj + da ；，… di ua punto infinita
mente prossimo Bulla stessa <y; avremo
dud ^Jn \d U d^i-n
dx = 0,
che， in generale, non e identicamente soddisfatta.
Sia t Or, y、 0) = I'equazione di ； per lo stesso
spostamento sara pure
X
che deve sussistere insieme colla precedente. Se
queste due equazioni fossero distinte lo sposta-
mento noil sarebbe piu arbitrario; duuque sono
identiche ； cioe
s c;cos(w,:r)
e due equazioni analoghe; C/ e im fattore di pro-
porzionalita dipendente da tt,
II secondo membro non muta cambiando u con x;
se quindi diciamo X、 Y\ Z cio che rispettivamentc
diventa V quando si muti u in ar, y, z\ avremo
？ 7cos (w, x) = X cos (n, u)
cioe :
X V
cos (w, x) cos(w,iO
cioe il primo rapporfco non cambia se si sostituisee
X con una qualunque delle yariabili a?， y, 《； esso
70 Cap, IL § 7. CaratteristicJie della funz, potenz
e dunque una costante h ； e pero in generale:
(/ 32 F \ I V\ )
lim 11 - ~~ ― - - ~~ ― = h COS (n , u) cos (n, t^). ( 1 2)
Per determinare 】a costante h osserviamo che
in ogni punto interne, per la (11), si ha
lim (A3 V)ii = ― 4 7： A;
se e la density nel panto P. All'esterno invece,
per la (6)
lim (A2 F)—w = 0.
Pacciasi ora nella (12) u = v = OG、y, z e si som-
mino le equazioni ottenute ; per le relazioni pre-
cedent! risulta
h = — ^T^k;
dunque :
lim
(13)
= 一 47t4 cos (n, u) cos (n, v)
la quale deter mina le discontinuitd', attraverso
di tutte le derivate seconde *.
§ 7. Caratferistiche della funzione potenziale.
Teorema di Dirichlet. ― Kiassumendo dunque :
la funzione potenziale di una materia distribuita
in uno spazio a ire dimensionU e la cui densita
soddisfa alle condizioni enunciate^
* La formula e dovuta al sig. "Weingarten: Zur Theorie
des FlUchenpoten tials, Act(t Mathematical 10; 1887，
Cap, IL § 7. Caratteristiche delta funz, potenz* 71
1。 i iHomdroma, finita e co7itinua insieme
coUe sue derivate prime in tutto lo spazio ；
2^ le sue derivate seconde sono continue ah
V interna ed alVesterno delle masse attraenti^ ma
discontinue attraverso la super ficie;
3。 alVesterno soddisfa Vequazione di Laplace;
air interna quella di Poisson ；
4。 all， infinUo essa e le sue derivate tendono
a zerOj ma i limiti di
u
col tendere di R aU， infinito, sono finiti.
Qaeste proprieta sono caratteristiche per la fun-
zione F， e servono ad individuarla ； in altre pa-
role:
la funzione F, soddisfacente alle proprieta sud-
dette, pub essere sempre riguardata come la fun-
zione potenziale di una massa distribuita in S
colla densiti
4 7C
Imraaginiamo infatti in S una tale distribuzione
di masse ； e sia V la funzione potenziale la quale
certamente godr^ di tutte le enunciate proprieta.
Basta dunque dimostrare che essa non puo essere
di versa da F. Pongasi infatti
sara U monodroma finita e contioua insieme colle
sue derivate prime in tutto lo spazio, Inoltre sara
pure sempre
72 Cap, 11. § 7. Caratteristiche della funz, potenz
eccetto nei punti di <r, in cui non ha significato.
Racchiudiamo S entro una sfera Sq di raggio R
sufficientemente grande. Alio spazio Sq sarebbe
applicabile il primo lemma di Green (Cap. 1。，
form. 4) se il 〜 JJ avesse ia ogni punto un valore
determiaato ； i punti di c facendo eccezione, con-
verra racchiudere a entro due superficie
sufficientemente vicine a da risulta quindi
un nuovo spazio S' il cui contorno e costituito da
, (Tq (potendo le prime due comporsi anche di
piu pezzi) ， in cui il lemma suddetto, certamente
applicabile, ci dk :
dn' J dn"
Facciamo anzitutto tendere a' e 。" verso ex: su <r
la C7 e le sue derivate prime sono contiaue ed es-
sendo opposte le due direzioni n' ed n'\ al limite
abbiamo
dU dV ^
dn a 71
Dunque la somma dei due ultimi integral! tende
a zero. Del resto si e fatta tale considerazione per
maggior chiarezza; ma, a rigore, era superflua.
Di pill si ha.
4f"。：4J 鳳丑 2》
Cap. II. § 8. Funz. potenz. di un eUiss., ecc. 73
ma col tenders di B aIl，infinito , R U、 -
a K
hanno limiti finiti, cosi anche quell' integrale tende
a zero. Quindi:
riategrazione essendo estesa a tutto lo spazio. Si
deduce percio
V = cost.
e dovendo annullarsi all' infinito, sara sempre U=0
e qaindi
§ 8. Funzione potenziale di un ellissoide omo-
geneo. ― Le proprieta dei § precedenti permettono
di dare un altro metodo per la ricerca della fun-
zione potenziale di una sfera omogenea di densita
egaale ad 1. Notiamo che V espressione del \ in
coordinate sferiche, conforme alia trasformazione
di Lame [Cap. 1。； form. (32)], e:
y= 飞 —— ft I 二 P sen -一 +
p- sen ( g p \ g p
d ( . g Fi . a / 1 dv^
+ A. [sen 0^1+-^
d ^ I c ^ f d ^ I sen
DiRiCHLET ； lib. citato, p. 32.
74 Gap. II. § 8. fmz. potenz. di an eUiss" ecc
Nel caso attuale, V essendo fimzione della sola
distaoza p del puuto potenziato dal centre, abbiamo
Quindi per lo spazio esterno :
丄
、 ^
cioe:
p2 化 -、 一
P
4
e siccome per p == <», Ve=0; lim p Fe = —
cosi risulta
17 4 3 1
3 P
Nello spazio interno :
p2 dp IP dp I 〜
donde
ir,= 一?^ V + c'
3 p
Sara c ^ dovendo Vi essere finita anche per
p = 0. Di piii in superficie (? = a) Vi e Ve assu-
mendo lo stesso valore,
c' -= 2 w
e ritroviamo gli stessi risultati del § 4.
Cap. II. § 8. Fung, potenz, di un aUiss" ecc. 75
CoDsideriamo ora un ellissoide a tre assi disu-
gnali : siano a， b, c, in online decrescente, i suoi
semiassi. Indichiamo con rr, y、 z un punto esterno
e consideriamo Pequazione in X ：
、 ^^^+^- 1=0， （14)
cioe:
/(X)==(a2 + X) ( J2 + X) (c， + X) —
一 2>2(63 + x)(c2 + x) = 0,
Facendo successivamente X «= oo， 0， 一 b^, 一 c^,
尸 (X) presenta tutte yariazioni di segno e pero
r equazione precedente ha le radici reali, una po-
sitiva e due negative. Se il punto x, y、 z giace
suirellissoide, la radice positiva diventa nulla.
Deriyando la (14) rispetto x si ottiene:
2x1
一 + /7« . >\o +
e due analoghe; moltiplicandole quindi per "^ + ^
ecc, e sommando, otteniamo :
2^^x|^ = 2. (15)
Ci6 posto indicando con X la radice positiva
della (14), pongasi
00 oo
L = 2t, ah c -f^,A^2T^abc I t-^ ~ ^-vrv^ ecc.
76 Cap. II. § 8. Funs;, pofenz. di un dliss., ecc.
con ••
U = 十") lb' + u) (c' 十" ），
e :
CO 00
b
du
； -T^, ecc.
Queste grandezze (dipendenti da integral! ellit-
tici) sono ftmzioni di X e quindi di z q no-
tando che per w = oc, ^ diventa nulla di ordine
siiperiore al primo, si deduce che sono sempre
finite.
Detto A il valore di U per w = 〉、 e ricordando
la regola per la derivazione di uq integrale a li-
miti variabili , otteniamo
dL . , 1 ax
' -— =- —— ZT^ab c-~ ― ，
d A . , 1 8》
- -= —ZT^aoc , 9 . 、、 7~ - ~ , ecc.
Finalmente osserviamo una relazione importante.
00
^ , f dill 1 1 . 1
A*B^C^2nabc t「— + +
J U ^a^ \-u c^+Ui
X
Cap, IT. § 8, Fiinz. potenz. di un dliss., ecc. 77
perche
2^ = .J^+J^ + 1
Quindi
4:T^abc
A + B+ C =
A
e m coQsegueuza :
Cio premesso dico che la fanzione potenziale
deir ellissoide omogeneo per un punto iaterao ed
esterno ha le segaeDti espressioui * :
Vi = - (L。 -Aox'- Bo J/2 -- Co z'-)
！ (16)
Ve = {L-Acc^-By^-Cz'y
Queste due funzioni infatti sono regolari airin-
terno ed all, esterno deli' ellissoide e in superficie
(X = 0) assumono lo stesso valore.
* DiRiCHLET, 1. c, pag. 49 6 Beg. Qa^Bte formule sono state
dedotte in makiiere svariatissime; fra le piti eleganti e di-
rette h quella seguita dal Beltrami, Sulla teoria delVat-
trazione degli ellissoidi. JMem. Acc. Sc. d. Bologna, 1 ； 1880. Su
varie altre forme della V vedi le belle note del prof. Piz-
ZETTi, Rend. Acc. Lincei. 1894, pag. 200 e del prof. Mo-
RERA, ibidem, pag. 371.
78 Cap* II. § 8. Fwiz, potcns. di tin Miss., ecc
Quanto alle derivate si ha
dVe
= —— Ax —
一 " a &c4^ 1 1
A
e per la (14)
X
2
y
2
Z
2
a2 f X 62 十 I c^ + Xldx
e
~ "― ~" CD 9
Dunque le derivate sono continue dovunque e
anche attraverso la superficie limite.
Poscia :
AsFV- — （A + J?o+Co)- —"
che e 1， equazione di Poisson ；
A
s
X d ^
^2 Ve=0
in virtii della (15): e si ha Tequazione di Laplace.
Vediamo finalmente come si comporta Ve alPin-
finito.
Dividendo ambo i membri della (14) per
+ j/2 4- z^ = B^,
Cap. II. § 8. Funz. potenz. di un elliss., ecc. 79
si ha
2
X
2
1 +
a
2
X
(lunque
lim = 1.
Se diciamo tii un conveniente valore di ii com'
preso tra X ed oo, si ha
00
L =
3
"abc .
u &du = ―. 入
丄
"2
X
quindi ：
lim i2L = 47raic = 3M.
5=00
In modo analogo :
lim mA = lim R^B = lim b\(7=M.
AUora:
I
WmR Ve = -^\\imRL-\\mR^A.
1
X
2
=— J3M— M(co8^a V cos^P+cos^y) ( = M.
Alio steaso modo si prova che:
lim R2 = — M cos «, ecc.
go? ，
80 Cap. II: § 8,' Funz. potenz. di un elliss*^ ecc
Tutte le coadizioni volute dal teorema di Di-
richlet sono soddisfatte e la fuilziono V definita
dalle (16) e precisamente la ricbiesta. .
Si puo di qui dedurre un elegante e famoso
teorema di Maclaurin.
Siano E ed Ei due ellissoidi omofocali ； per il
secondo si abbia
e poichfe
a^^ = + p, ecc.
si deduce, dal confronto colla (14),
Ora:
00
f (I it
J(a^ + 9 -f w) V(« + P + w) • • •
e mutando p + w in w， »
. d u
义
e pero ；
A abc M 、 ， ，，
—- = "~ 1 —— = ip; e cosi per le altre.
Ai «! 6| Ci . Wi
* Ma A ed Ai sono proporzionali alle derivate
delle singole funzioui potenziali ； dunque:
Cap, 11. § 9. Funz. potenz, di uno stmto, ecc. 81
due ellissoidi omogenei omofocali esercitano sopra
uno stesso punto ^sterna attrazioni dirette secondo
la stessa retia e proporzionali alle masse.
§ 9. Funzione potenziale di uno strato sem-
plice. 一 Siano ^ e due superficie infinitamente
vicine, d<^ un elemento della prima dai cui puati
eleyinsi le normali a " sia s 】a lun^bezza di uno
dei pezzi di normale intercetta da <t'. II cilindro
avente per base dee per altezza s， ha per vo-
lume £ d ; diciamo S la densita della materia ohe
si suppone distribuita tra de La massa del vo-
lume e h da in cui A = s 3.
Facciamo ora tendere <j a <y' e supponiamo che
il prodotfco e S tenda, per ciascnn punto di ff， verso
un limite che diremo ancora h. Diciamo, iii tal caso,
di aver fatta sopra o" una distribuzione superficiale
(o di strato seinplice) con densita variabile h. La
funzione potenziale di questo strato, cioe quella
funzione le cui derivate dan no le compouenti del-
V attrazioue esercitata sul punto potenziato , e
espressa da
dove r iutegrazione e estesa alia superficie <r, ed r
indica la distanza variabile di un punto qualuuque
di 3" dal punto potenziato. Sulla densita h faremo
alcuue ipotesi che risulteranno dal § seguente.
§ 10. Caratteristiche della funzione potenziale
di strato semplrce. Discontinuita delle derivate
prime. ― Se il punto potenziato iion cade sulla
superficie <t, la funzione V k regolare, insieme coUe
Marcolongo. 6
82 Cap. II. § 10, Caratt, della funz. potenz" ecc.
derivate di qualsivoglia ordine; soddisfa I'equazione
di Laplace e airinfinito si comporta come una fan-
zione potenziale di spazio.
Sia Pq uq punto di ^ e circoscriviamolo con
un'area 。。： sia la ulteriore parte di i e decom-
poniamo al solito V in Vq e 7" la Fj e le sue
derivate saranno sempre regolari anclie quando il
punto potenziato P cadra in Pq, Bastera dunque
occuparci di Vq. Suppoaiamo di aver scelto (^q in
modo che in essa cadano soltanto punti ordinari di
0- e sufficientemeute piccola in guisa che la sua
proiezione Sq su di uuo qualunque dei piaui coordi-
nati corrisponda punto per punto con 。。； e l，asse
z scelto it! modo che per ogni punto di qI
cos (w, z) =1= 0.
】1 cilindro proiettante in Sq sia riempito di
una materia di densita k (per ora arbitraria) di
cui sia TFla funzione potenziale nel punto P; cioe:
a, b、 c soQO le coordinate di un punto qualuaque
di S.
Cap. II. §10. CuratL della funz, potenz. ecc. 83
Alia fuQzione ― che figura nel primo integrale
si applichi il lemma di Gauss (Cap. 1。, form. 2),
quindi:
dW Ck , , , , CdkdS
― ~ = I ― cos (w， z)ds + \ ，
cz J r Jeer
s essendo la superficie di S、 la quale si compone
di So, di 7。 e della superficie laterals del cilindro.
II primo integrale aduuque si spezza in altri tre;
Ilia sulla superficie laterale e cos (w, z) = e sopra
So, COS (w, z) = l e pero:
― ~~ = — cos (" z) a + \ — a f t •
J r J r J c r
Disponiamo ora di k in modo che per ogni punto
di ffo si abbia :
k oos {n^z) = h
la quale suppone h tale che k、 da essa determi-
natO; sia finite. Fisseremo la densita del cilindro
supponendo che k abbia un valore costaute lungo
ogni parallela alle generatrici del cilindro e pre-
cisameate lo stesso valore che ha in <Xo. Allora
se infine diciamo "。 la funzione potenziale di una
materia distribuita su Sq con densita k、 risulta
IT dW
84 Cap, II § 10, CaratL della funz, potenz" ecc
Ora quando P coincide con Pqi le TF, ― ~ e Vq
sono sempre finite e continue e lo stesso accadra
di Fq; dunque:
la funzione potenziale di una strata semplice e
mcmociroma, finita e continua ariche quando ilpunto
potenziato fa parte dello strata e Vattraversa,
Inoltre notando che le derivate di Vq sono con-
tinue in Poj si deduce
iim jl— ― ― =lim |— -
1. (/ d^W\ i d^W\
= lim j 1 — I 1
II valore di quest' ultima espressione si puo cal-
colare colla formola (13) e risulta eguale a
—— ^Tik GOB (w, z) cos (n, t4) = 一 4 h cos (w, ti)>
Dunque:
le derivate prime della funzione potenziale di tino
strata semplice sono discontinue attraverso la sw-
perficie.
Per I'esistenza di queste derivate, subordinata
a quella dclle derivate di PF, occorre fare su h
ipotesi tali che risultino verificate per Ic le condi-
zioni del § 5.
Le discontinuita sono determinate raediante la:
hm — ― ―
n=0i\O U'n 、 — n
一 A COS (n, w). * (18)
Weingabtbn, mem, cit.
Cap. 11. § li. Funz, potenz. di doppio strata 85
Si moltiplichi questa per cos (w, u) e poi si faccm
u = rc， y、 z, Sommando Ic eqaazioni otteimte e
poi ricordando clie
Jim ) - I cos (w ，义) + ••• =丁 - ,
si ottiene :
rdF\ 一 id V\
= —— 4 : A
Acceniamo con n' la direzione opposta ad n; la
precedents si potra quiadi trasformare in quest ；， al-
tra, generalmente usata,
Indicaodo invece con t una tangente in a 。,
e con t' la direzione opposta, si deduce :
dt 丁 （M' ,
le derivate prime secondo la tangente sono continue.
Le proprieta che abbiamo a mano a mano enun-
ciate sono caratteristiche per una funzione poteii-
ziale di strato semplice e la determinano comple-
tamente.
Basta ripetere la dimostrazione del § 7。.
§ 11. Funzione potenziale di doppio strato. 一
Sia <J una superficie aperta o chiusa ； fissiamo la
parte dalla quale si riguardano positive le normali
che prolunghererao di una quaatita « (variabile an-
che da punto a punto) ； gli estremi formeranno
4
II
d Id
86 Cap. II. § 11. Fan2, potenz, di doppio strato.
una nuova superficie Su c sia distribuito uii
semplice strato di deiisita h che attragga (secondo la
leg-ge di Newton) un punto P in cui risiede I'unita
di massa ； parimenti su sia distribuito un altro
strato semplice di densita h' il quale invece re-
spinga la stessa massa di P. Le masse di questi
due strati, negli elementi superficiali corrispon-
denti agli estremi di una stessa e, siano eguali
cioe:
h dh = h' (W.
La funzione potenziale dell'ajdone complessiva
esercitata dai due strati sul punto P e data da :
I 1
m hda \ Ji da \ - 7' r ，
K = I I —— -— = A e d 0" ,
' r J r J e
indicando con r ed r' le distanze di P da due
punti corrispondenti di e a'. Facciamo ora di-
minuire indefinitamente & in mo do pero che, au-
mentando h, il prodotto h e converga per ogui
punto di (5 ad un limite che diremo Al limite,
per e = 0, risultera
(20)
Abbiamo dunque due superficie infiuitamente
vicine, dai punti corrispondenti delle quali si eser-
citano forze attrattiye e ripulsive di eguale in-
tensita e costitueuti - un doppio strato di eui V
• RELMHOLTZ: Pocjffendorff's Amu 89; 1853. Wiss. Abhan.
[, p. 490.
Cap. TI. § IL Funr. potenz. di doppio strata. 87
e la funzione potenziale: ！人 e la densita o il mo-
mento del doppio strato.
Se «■ e costaute ii doppio strato e omogoneo e
per la (1') del Cap. 1。 si ha :
La funzione V gode alTesterno di c- dello so-
lite proprieta e soddisfa la = 0.
Per vedere che cosa accade quandoil puntopoten-
ziato si avvicina a <y, cominciamo a considerare il
caso particolare del doppio strato omogeneo e pre-
oisamente sia {a = 1. Sia U 】a funzione potenziale
corrispondente ； Pq un punto di c (che puo essere
anclie un punto conico o di una linea singolare) ；
Un e U-n rispettivamente il valore di U in due
punti Pj e Pz, discosti da <t, e situati il primo
dalla parte della faccia positiva e raltro dalla ne-
gativa. Se <r e aperta chiudiamola con una o un
sistema di superficie o- tali che Pj sia iiiterno ad
una sola superficie dell' insieme ed esterno a tutte
le altre e sia U la funzione potenziale del doppio
strato omogeneo unitario di <y; scegliendo in modo
opportune la faccia positiva di <j si ha:
Vn + Un = 4 TT, [7。 + 1^0 = w, U 一 n + U-n -
ossendo w 1， angolo yisuale di <s + <s da JPo ， indi-
pendente da ff.
Ma col tendero di Pi e a Pq (cio che ac-
cenneremo brevemente con lim w = 0) e poiche la
il e certamente continua in Pq, si ha:
' lim Un = 4 1： — w + Vq,
11=0
lim U - H " 一 w + Uq,
88 Cap, IL § 11, Funz. potenz, di doppio strata
Passiamo ora al caso generale. Ammettiamo che
la densita \t- sia finita e continua in Pq, in cui ha
il valore Kacchiudiamo Pq entro una porzione
di superficie di a talmente piccola che ivi si
abbia
ll^ 一 '"ol <s
con 6 piccolo a piacere. Poiche
d-~ r d —-
靈 r 1 V
V= y-o 1 ~~ + 1 ― f^o) ~~ "，
Jan J an
possiamo scrivere :
F=-=[ito U+ W
essendo W analoga alia F, ma relativa alia den-
sity {A 一 j^o.
Dico che W e continua in fV Sia infatti P un
punto di verso da Pq; la TFsi puo spezzare in due:
una relativa a ^\ I'altra a 一 a' ； quest^ ultima es-
sendo certamente continua in Pq, bastera consi-
derare la prima parte; per la quale (vedi pag. 11)
si ha
r
dn
questa essendo valida qualunque sia la posizione
del punto P, abbiamo
Cap, II, § 11, Funz. potenz, di doppio strato. 89
Cio posto si ha :
IimFn = fio(4^- ^+Uo)+W{Po),
limr — „ = iAo (— (0 十 C/o) 十^ (P。>;
cioe : V col tendere del punto verso <r tende a li-
miti determinati e finitl; di qui:
lim Vn 一 lim F-n = 4?： wq;
cioe : la funzione potenziale di doppio strato d di-
scontinua aitraverso la superficie *.
Ferme restando le stesse ipotesi su 卜 ha pure
luogo il teorema, che ci liinitiamo ad enunciare:
le derivate normali delta funzione potenziale di
doppio strata hanno un limite deter minato e finito
aliorcM si tende al punto Pq in una direzione
qualsiasi e i limiti che si hanno avvicinandosi
dalle due parti di 。 sono eguali **.
Valendoci della continuity di V si pu6 esten-
dere il risultato del § 10; cioe si possono calco-
lare i due limiti delle derivate normali di una
funzione potenziale di strato semplice <7, quaiido
col punto potenziato si teude ed un punto di c
movendosi sulla normale e dalle due parti di <y,
nella sola ipotesi che la densita sia contimia
in Pq ***.
• PoiNCARE : Th^orie du pot Newtonien. § 100. Lauri-
cella: Atti B, Acc. d. Torino, ； 35; 1900.
Lauricella ； mem. cit. Per ricerche piii generali : Lia-
POUNOFP : C. R,、 125, p. 694 ； 1897. Jour, de Mathim. 4, p. 421 ；
1898.
*•* Lauricella : mem. cit. ； vcdi anche una nota del pro-
fessor MoRERA : Bend. Ist. Lomb. 20， p 543 ； 1887.
90 Cap* IL § 12. Identita di Gfawss, ecc
Si notera ora che tutti gli iutegrali che figurano
nelle formule del Cap., 1.® hanno una delle tre
forme (2)， (17)， (20)， e pero possouo sempre in-
terpretarsi come funzioni potenziali ordinai'ie, di
strato semplice e di doppio strato.
§ 1 2. Identita di Gauss. Teorema di recipro-
cita. ― Nei punti P\ P \ . . . so no concentrate
le masse M\*M", ... Sia T,la funzione poteuziale :
sara
' — R' 十 B'' 十 •••
dove R', R", . . . indicano le distaiize del punto po-
tenziato da P', P"、 . . .
Consideriamo uq secoudo sistema di punti p\
p'\ •• . nei quali sono concentrate le masse m\ m 〃，： ；
sia V la loro funzione potenziale.
Diciamo V\ V'\ . .• i valori che la funzione po-
tenziale del primo sistema prende nei punti p\ p",...
del secondo; e v\ v'\ . . . i valori che quella del
secoudo prende nei punti P\ P'\ ... del primo ；
sicche :
Fp F p p 1) p F
T,〃— M' M" "― tn' m"
十 + . -jTT^, 十 jT^, 十…
ecc. Moltiplicando le e^uaglianze a destra rispet-
tivamente per m\ m'\ ecc. e sommandole per co-
lonne si ha
m' 厂' + m" V" + ... --J/' V' + itf" + ...
Caj). IT. § 12. Identita di Gauss, ecc. 91
o, in forma piu concisa,
2>r=2^" (21)
ill cui la sommatoria a primo membro e da esten-
dersi a tutti i punti del secondo sistoma e I'altra
a quelli del primo. .
La (21) esprime Videntita di Gauss. Vediamone
il significato meccanico.
Le masse del secondo sistema siano attratte da
quelle del primo colla legge di Newfcon. Siano
Xy y, z le coordinate di un punto qualunque del
primo ； x\ y\ quelle di un punto del secondo ；
considero l，azione totale del secondo sistema su
di UQ punto del primo, di componenti X、 F, Z
tali che:
X= M^- "~ ， ecc.
'2 dx
la sommatoria essendo estesa al secondo sistema.
Pacciamo lo stesso per tutti i punti del primo si-
stema; e quindi :
2{XdX'\- Ydy + Zdz) = dZ— •
1 I 】，'2 f*
Integriamo dalla posizione in cui il primo sistema
6 a distauza infinita dall，altro, alia posizione at-
tuale: Tintegrale del primo membro esprime
il lavoro compiuto dalle forze di attrazione del
secondo sul primo sistema nel passaggio dalV in-
finito alia posizione attitale.
94 Cap. II' § 14. Teoremi sulla funz. potenz., ecc.
§ 14. Teoremi sulla funzione potenziale a 卜
I'esterno delle masse agenti.
1.0 Se la funzione potenziale ha im valore
costante in una certa regione (lineartnente con-
nessa) die non racchiude masse^ essa h costante in
tutto lo spazio libero da masse,
Sia S 】a regione linearmente connessa in cui V
e costante (positiva) ； supponiamo che nello spazio
vuoto esterno ad S la F non si mantenga piii co-
stante ed eguale p. e. a C, ma varii : variera pero
con continuity; quiudi si potra determiDare uno
spazio Si contigiio ad S in cui V assuinera va-
lori tutti pill grandi di C, Ora centro in un punto
di S potremo, con raggio conveniente, descrivere
una sfera una parte del la quale, di superficie cr^,
sia interna ad S e Faltra <y, sia nello spazio S!.
Su <To G 7 二 C, mentre su cr^, F> C dunque:
la quale contradice la (21); pero la V all' esterno
di S e nello spazio vuoto non puo variare.
2.。 In un punto a distanza finita dalle masse
agenti il valore delta funzione potenziale non pud
essere massimo, nd minimo.
Sia in Mq^ se e possibile, la V massima; in-
toroo Mq potremo tracciare una regione che non
racchiuda masse e in cui V abbia un valore piu
piccolo che in Mq. Centro in Mq tracciamo una
sfera di raggio a e tutta contenuta in quella re-
gione; quindi:
Fo>/ Fader
la quale pure contradice la (21).
Cap. II. § li. Teoremi sulla funz. potenz.^ ecc. 95
3.0 Se si traccia una superficie c che non rac-
chiuda masse^ la funzione potenziale o h sempre
costante alVinlerno o e sempre com'presa tra il pin
grande ed il piu piccolo dei valori che essa prende
in superficie,
lafatti la V esseiido continua e fim'ta nell' in-
terne di c ammettera uq limite superiore L ed uno
inferiore I e dovra in qualche punto * assumere
il valore L ed /: ma tale punto non puo trovarsi
nella inter no che ivi allora la V ammetterebbe un
massirao o uq mini mo ； dunque e vero ecc.
In conseguenza:
4.0 Se la fimzione potenziale ha lo stesso va-
lore in tutti i pimti di una superficie chiusa o* che
non racchiude masse, avra lo stesso valore in ttitti
i punti interhi.
In tal caso infatti L = 1 = cost. Questo teorema
non e sostanzialmeute diverse da qaello del § 8
del cap. 1.0; ma la dimostrazione precedente, nulla
supponendo sulla derivata al contorno, e piu ge-
nerale.
Coneideriamo ora ana superficie o- che racchiuda
tutte le masse. Lo spazio vuoto csterno puo cou-
siderarsi compreso tra <r e una sfera di raggio in-
finitamente grande sulla quale V ha il valor zero.
Dunque:
5.0 Se ^ tma superficie che racchiude tutte
masse agenti i valori delta funzione potenziale
"Wester no di <y sono compresi tra il piu grmide e
* Yedi ViVANTi : Corso di Calc, In fin* Messina, 1899;
p. «51 e 72.
96 Cap, II, § 14, Teoremi sulla funz, potenz.^ ecc.
il piu piccolo dei tre numeri 0， I, L、 dove I ed L
sono il valore piil piccolo e piu grande che V as-
sume su <r. '
In coQseguenza:
6.0 Se V su <^ assume il valore zero^ i sempre
zero alVesterno; se prende un valor costante C, i
suoi valori alVesterno sono sempre compresi tra
e C*.
* I teoremi 1)， 2) soao di Gauss ； gli altri di Neumann
(libro citato).
CAPITOLO TERZO.
PBINCIPII BELLA MECCANICA DEI COBPI CONTINUI.
Diremo continuo un corpo non rigido cioe de-
formabile : p. e. una massa liquida o gassosa; un
corpo elastico, ecc-
Sotto I'azione di forze agenti in superficie e su
ogni elemento di massa, tali corpi si deformano ；
la distanza tra due punti varia di grandezza, ecc.
Considereremo sempre corpi continui a tre dimen-
sioni ； ne supporremo che una o due delle dimen-
sioni siano trascarabili di fronte alia terza; quindi
le lamine elastiche.di spessore infinitamente pic-
colo; le verghe, ecc. saranno escluse dalle nostre
cousiderazioni.
§ 1. Deformazione di una particella. 一 Vo-
gliamo anzitutto formatci un' idea della piu gene-
rale deformazione di un corpo continuo, prescin-
dendo dalle cause che hanno prodotto la defor-
mazione. Diciamo iniziale o natnrale lo stato del
corpo non deformato e in questo consideriamo
un punto M, Avvenuta la deformazione, M assu-
mera un' altra posizione il segmento MM'
dicesi lo spostamento del punto Jl/e le sue proie-
Mabcolongo. 7
93 Cap. IIL § 1, Deformaz, di una particella.
zioni su tre assi ortogonali a?, y、 z chiaraansi com-
ponenti di spostamento* Le accenneremo costan-
temente con w e saranno funzioai delle coor-
dinate X, y、 z di M, Se supponiamo che in quella
parte del corpo che si ccnsidera non av^engano
ne rotture, ne sovrapposizioni, le w， t?, w saranno
ivi regolari; ammetteremo iiioltre che esistano le
loro derivate prime.
Consideriamo un intorno del punto M e. in
questo un punto N di coordinate a? + 5, y +
+ C : siano cioe ；, >), C le coordinate di N ri-
spetto alia teroa condotta per M parallelamente
agli assi coordinati. Dopo la deformazione, N verra
in N'; il luogo dei punti N' costituisce un nuovo
intorno del punto M\ che diremo deformato del-
V intorno di M, Diremo l\ V, C le coordinate re-
lative di N\ Quelle assolute.di J/' sono:
00^^ X ^ u y、 z)\ ecc.
Da quelle di M passiamo a quelle di N aumen-
, tando X, y、 z di 5， 'n, Duaque
a? + ; ' = 0； + S (a? + t/ h >i, 21 + Q; ecc.
cioe
s, ， ， , Idu^ du ^du ^ \ ,
Potrerno sempre immaginare ui> intorno del
punto Mf tale che in esso i termini a partire
2
c、
1 12
+
Cap. III. § 1' Deformaz. di una particella. 99
dalla seconda parentesi siano trascurabili di fronte
ai pritni. A seconda poi della natura fisica del
corpo le dimensioni di questo intorno potranno es-
sere finite o infinitesirae. Quindi
doc> dy dz
r , , cv , dv dv^ \ ,,、
ill cui le i《， ... e le 】oro derivate si riferiscono al
punto M fisso deir intorno.
Duuque le coordinate relative di N， sono fun-
zioni lineari delle coordinate di N， •
In queste formule e contenuta la legge della
deformazione deir intorno di M\ risulta subito che,
potendosi in generate esprimere dalle (1) le ；, >i, C
linearmente per le ；', V， C,，
nella deformazione i piani si trasformano in piani
e le rette in rette.
Poiche a valori infinitamente grandi di . . • cor-
rispondono pure valori infinitamente grandi di
；', . . . , si ha pure :
piani e rette parallele si mantengono parallele,
Potremo quindi avere un'idea ben netta della
deformazione dell' intorno di M, se conosceremo in
qual modo si deformera un parallelepipedo col
vertice in Me cogli spigoli lungo gli assi; il quale/ -.
si manterra, dopo la deformazione, ancora paral-^
(r
J，
(VJ 0^
一一
100 Cap. Ill, § 1. Deformaz. di una particella
lelepipedo senza esser piii, in generale, rettangolo.
Bastera dunque saper assegnare la posizione del
punto M,, la orientazione e la luDghezza del nuovi
spjgoli. La posizione del nuoYO parallelepipedo
nello spazio dipende, da un trasporto di corpo ri-
gido. In quanto alle nuove luoghezze bastera co-
noscere di quanto ciascuno spigolo si e allungato
accorciato ris petto alia lunghezza primitiva. Cioe
per uno spigolo MA converra conoscere il rap-
porto Jf ' A' — MA: MA.
Esso e positive o negative secondo che si tratta
di un allungamento o accorciamento e dicesi
coefficiente di dilatazione lineare nella direzione
MA.
Dovremo dunque conoscere i tre coefBcienti di
dilatazione lineare nelle tre direzioni degli spi-
goli MA, MB, MC,
Per conoscere infine le orientazioni mutue degli
spigoli del nuovo parallelepipedo, bastera cono-
scere di quanto Pangolo B' M' C differira da un
angolo retto ； la diflferenza tra questi due angoli
dicesi lo scorrimento mutuo delle due direzioni
MB, M C; dunque dovremo conoscere gli scorri-
menti mutui delle tre direzioni MA, MB^ M C
due a due. Vediamo ora come questi eleinenti, che
in sostanza definiscono la deformazione della par-
ticella intorno del punto il/, dipendano dalle com-
ponenti di spostamento, coordinate del punto, ecc.
Le formule
- X -\- yi=y + V, z -\- it\
riferiscono lo spazio ； r!, yi、 alio spazio ； r, y, z
_ ： ： \ :punto per puuto. L'elemento del primo spazio e
Cap, III. § L Deformaz. di una particella. 101
definito da
ds^^'-dx^^ + ...-^Ador^ + , , . + 2 D dy d z + ：. .
Se
sara
二 C = l, D = E= F=0、
dsi^ = d s^.
La deformazione e quindi connessa con le sei
funzioni
~2~
ecc.
dw dv
十 I ~ ―" " r 7： ~"~ ~ r
dyd z dydz dy d
ecc.
Se esse infatti sono nuUe in tutto il corpo, si
puo dimostrare che la trasformazione corrisponde
ad un moto di corpo rigido accompagnato, se oc-
corre, con una trasformazione per simmetria. Se
sono costanti, le a?!, y、、 Zi sono funzioni lineari in-
ters di X, y、 2f,.e la deformazione dicesi omogenea.
Ma i limiti impostici non ci permettono di ulte-
riormente sviluppare questa teoria ； dobbiamo
quindi limitarci a considerare un caso speckle,
particolarmente interessante nelle applicazioni *.
• Tale teoria risale a Cauchy : Am, Exer. 1827 Oeuvres.,
f, (2) p. 82 ； che ha appunto definito le , ... 7i ， ... Essa 6
102 Cap* III, § 2, Deformazione mfinitesima.
§ 2. Deformazione infinitesima. 一 Supponiamo
le w, "， 10 e le loro derivate prime assai piccole.
Non solo quindi 3f' sara assai prossimo ad M,
ma ogni altro punto del suo intorno sara molto
vicino al suo corrispondente ； la deformazione cioe
e infinitamente piocola.
Ponendo
d$ dy oz '
d X dy d z I
E facilissimo dimostrare che due deformazioni
infinitesime sono invertibili.
§ 3. Coefficiente di dilaiazione di una retta ；
scorrimento mutuo di due rette. Component! di
deformazione. 一 Per M traccio un raggio ad ar-
Btata Bviluppata dal Saint- Venant e sopratutto da Lord
Kelvin : Treatise on Natural Philosophy. Part, la, Kinematics
1896.
Vedi in proposito : Lovfe : A treatise on the Mathematical
Theory of Elasticiti/. Cambridge, 1892: 1; Cap. 1。； la bella
monografia di E. et F. Cossebat : Sur la theorie de I'elasti-
cite. Annales d. la Fac. d. Sc. d. Toulouse, 10 ； 1897; ed una
mia nota : Les comp. de dd formation d,"n milieu contim"
Jorn.de Scienciae Mathematicas, 13； 1899.
risultera
8
11
+
X;
Cap. HI, § 3, Coefficiente at dilataz,^ ecc. 103
bitrio, di coseni a, p， y, Dopo 】a deformazione esso
si trasformera in un altro raggio uscente da il/';
siano a + Sa，p + Sp， 丫 + i suoi coseni. Sul
primo cousidero un punto N infinitamente pros-
si mo ad M; sia il suo corrispondente sul se-
coudo ed e il coefficiente di dilatazione : di guisa che
M'N'-=MN(l + £),
ed inoltre
(a + a) (1 + &) = a + — a + — p + — Y.
* OX dy z
Traseurando a primo inembro il prodotto s",
essendp £ dell' ordine delle derivate di w, . . . , si ha
8a=- — ga + ― a+:p+;^ 丫
c X (j y c z
SP = — sp+ :?+«^丫 （3)
X c y z
Tracciamo per Mun altro raggio di coseni Y,
che formi col prime un angolo 6： a questo, nella
deformazione, verra a corrispondere un altro raggio
uscente da M\ che forma coU'altro un augolo ― 【；
sia s' il coefficiente di dilatazione lineare relative
a questa nuoYa direzione. Come per le (3) avremo
X -- —— s 》. + - _ a + - -一 .b + — Y ecc. (4)
c X c y ( z
104 Cap, III. § 3. Coefficiente di dtlataz. ecc.
Ora
cos 9 = a a' -f- p + 丫 了',
COS (9 — i) = (oc 4- 8 a) (x' + 8 a') + . . .
Trascurando nel secondo membro di questa i
prodotti "Sot', ecc, ponendo cos t = 1, sen t = t
si ha
t sen 6 = a 8 a' -f a' 8 a + . . .
Moltiplichiamo quindi le (3) per a'， p/ 7', ie (4)
per a, p 丫 e poi sommiamo ； otterremo
【seii<) 二一 （s + Oco8 + 2(aaat'+6pp'+c 丫/) +)
, , 、 (5)
+ 尸 (！^ / + P' + Z + 7' a) + (a p' + a' p) ; )
dove si sono fatte le posizioni fondamentali
du , dv d w
" Q '一 一 - ' ■ ，
. d^o dv du dw dv , du
z dy dz'^ dz dx dy'
e questi valori si riferiscono al punto M, Queste
sei combiDazioni delle nove deriyate delle compo-
nenti di, spostamento sono della massima impor-
tanza: esse diconsi (ne vedremo la ragione) com-
ponenti di deformazione nel punto M,
Consideriamo due casi notevoli della (5): sup-
poniamo dapprima coincidenti le direzioni «, fJ, y
ed a', p〜 了'； quindi = 0, e = £' e pero
s = cia2 + + c 了 2 + 了 + y 丫 ot + A<xp; (7)
il coefficiente di dilatazione lineare di un elemento
uscente da M e una funzione lineare ed omogenea
Cap, III, § 3. Coefficiente di dilataz" ecc, 105
i
delle sei componenti di deformazione relative ad M
ed una funzione quadratica ed omogenea dei co-
seni direttori delVelemento,
Sapponiamo in secondo luogo 6 = 90** cioe orto-
gonali i due elementi: i esprime 】o scorrimento
mutuo dei due elementi ed e dato da
+ ^7 Or a' + "T' a) + A (a + a' 戸 ） =
8" 丄 丄 》s' '^丄 丄 fd^
•■ a ~ . + p 一 ， + 丫 —— , = a f- p ~ - + Y —— ：
(8)
lo scorrimento mutuo di due rette ortogonali d una
funzione lineare delle sei componenti di deforma-
zione e bilineare dei coseni direttori dei due ele-
menti *.
Dunque la conoscenza delle sei componenti di
deformazione relative ad M fark assegnare il coef-
ficiente di dilatazione lineare di qualsivoglia ele-
mento e lo scorrimento mutuo di rette ortogonali
uscenti da M; sapremo quindi assegnare la de-
formazione di an elemento parallelepipedo e quindi
ancora la deformazione dell，iiitorno di M. Gib
giustifica il noine di componenti di deformazione
dato alle sei grandezze a、 b, c • • • h. II seguente
teorema ne chiarira meglio il significato.
Se per qualsivoglia punto di un corpo continuo
sono nulle le componenti di deformazione^ il corpo
i rigido.
* Qaesto metodo cosl diretto ed elegante per ottenere al
tempo stesso « e i .e dovnto al prof. Cesaro, Introduzione
alia teoria matematica delV elasiicitd. Torino, 1894, pag. 6-8.
106 Cap. III. § 3. Coefficiente di dilataz" ecc.
Sapponiamo infatti che per qualunqae valore
di y, 0, in un certo campo S， si abbia
Denvaado le tre ultime rispetto ar, y、 z, si ha
+ ;r-^ = 0,;^.4.-^ =0
d 冗 dy、 dzdx ' dz dy dxdy •
dz dx dy cz
quindi si conclude che :
7—^ = 0, ecc.
(^y cz
ma dalla prima delle (9) risulta
cxdy ' dxdz
cioe tutte le derivate miste di u soiio nulle. Deri-
vando la seconda delle (9) rispetto la sesta ri-
spetto y、 si trae
r 9
==0, ecc
e cosi si prova che aono nulle tutte le derivate
seconde, terze, ... di v, u\
o
，
o
II
，
o
II
(^
o
+
o,
，
o
11
+
Cap* III. § 3. Coefficiente di ditataz., ecc. 107
Dunque sara
ii = Uo + ax + by + c v = Vo + a' x]^ b' y + c'z,
tv = iCq + a' X b" y + c'' 2? ,
una forma possibile per la solazione del sistema (9).
Sostituendo in qaesto, si ha:
a = b' = c" = 0，
b" + c' = 0, c + a" = 0, a' + 6 = 0.
Posto quindi
b" = ― c' = p , c = 一 a'' = g, a' = — 6 = r,
(p, q、 r costanti in tutto S) risulta
w = Wo + g 刀一， • y, v = VQ + rx —p
to = ICq + py _ q X,
Je quali spettano precisamente alio spostamento
di un corpo rigido.
Dunque rannullarsi delle (i,h、 … h, porta con se
la mancanza di una vera e propria deformazione.
Si puo ora dimostrare pure che:
due deformazioni aventi le stesse componenti non
differiscono che per tin moto di corpo rigido.
Dette infatti u\ v\ w'; u'\ v", tv" le compo-
nenti di spostamento della prima e della seconda,
si ha
广， r- ff
c u c n
a ― 7 — 二 ；- ― ： ecc.
C X c X
lOS Cap. III. § 4. Analisi delta deformazione.
e se qaindi poniamo u = u' 一 "〃, ecc. si vede su-
bito che le u soddisfanno al sistema (9): onde e
vero ecc.
tj finalmente assai facile determinare il signi-
ficato delle compouenti di deformazione, Consi-
deriamo infatti un elemento parallelo alPasse x;
sia sx il coefficiente di dilatazione : dalla (7), es-
seado in tal caso a = 1, p = y = 0, risulta
Zx = a; e cosi = b, &z—c]
a, b, c sono i coefficienti di dilatazione lineare di
elementi paralleli agli assi coordinati. •
Sia tpz lo scorrimento mutuo delle rette con-
dotte per M parallelamente ad p e z; la (8), es-
sendo a = 丫 = ， P = 1 ; a' = p' = 0, / = 1, ci da
【y« = f; Q cosi lJ^x = g, ^xy = A;
g, h, sono gli scorrimenti mutui di rette paral-
lele agli assi.
Qaeste componenti dunque dipendonoe dal punto
e dalla orientazione degli assi.
§ 4. Analisi della deformazione. 一 Poniamo
2 = ^ 一? J! o _w g
产 W 一&, 《-& 一"^ ,
. . I m
o o V d u
2 f = — 一 — •
d X d y
Colle (10) e le (6) potremo esprimere le nove
derivate delle componenti di spostamento me-
diante le a, 6， ... h, p， q、 r, Infatti si ha subito
d u du 1 , du 1 ,
d X dy 2 dz 2
Cap, HI. § 4. Analisi della deformazione, 109
Sostituendo questi valori nelle ;2) e ponendo
si ha
Analizziamo queste formule. Potremo decom-
porre le componenti suddette dello spostainento
(li un punio dell' into rno di Jf, in altri due sposta-
menti di componenti rispettive
; = w + a C — r >i : ecc.
e
； ecc.
II prima spostamento e quelle dovuto ad un
moto di corpo rigido ； m, t?, tv rappresentano le
componenti della traslazione ； p, q, r quelle della
rotazione della particella supposta rigida ; la quale
durante tale spostamento muta la sua orientazione
senza deformarsi.
Le componenti del secoudo spostamento sono le
(lerivate parziali della funzione ； si dice che
fjuesto spostamento arnmette un potemiale.
3
II
1
6-
d
C,
«M、
d
C
+
r
+
+
+
8
，；
II
+
5
110 Gap. III. § 4' Analisi della deformazione
Consideriamo le quadriche , che diremo di de-
formazione,
2^-~= cost.
e tra queste quella passante per N、 il quale per
effetto dello spostamento Sj si portera in N\; 】a
N Ni e normale alia quadrica. Questo secondo
spostamento corrisponde adunque effettivamente
ad una vera deformazione deU'eleraento. Ad essa
non corrisponde piu ne traslazione, ne rotazione.
Infatti il punto M (centre della quadrica) nella
deformazione resta fisso e, come si vede su-
bito, e il solo che resti fisso; pero il secondo
spostamento corrisponde al vero moto intestino
della particella, e la deformazione^ priva di ro-
tazione e traslazione, dicesi pur a.
Le quadriche considerate hanno il centre in
M; lo spostamento dei punti che stanno sugli assi,
dovendo avvenire normalmente alia quadrica, av-
verra lungo gli assi stessi ； cioe:
esiste una terna di rette ortogonali che restano
ortogonali dopo la deformazione^ ciob i cui scor-
rimenti mutui sono nulli. •
Queste si dicono rette principali della deforma-
zione relative ad M.
Assumiamole come assi coordinati; allora
2^ = ao 52 + 60 -I' + Coi'
e quindi
un punto qualunque si sposta parellaraente agli
assi di qaantita proporzionali alle sue coordinate;
Cap. III. § 4. Analisi'della deformazione. Ill
precisamente si puo dire che subisce una esten-
sione semplice secondo x misurata da ofo, ecc.
La deformazione pura consta adunque di ire
estensioni setnplici parallelamente a tre rette or-
togonalu
Riepilogando dunque :
la deformazione infinitesima piu generale di una
particella consta di un moto di corpo rigido e di
tre» estensioni semplici secondo tre rette ortogonali.
Le tre grandezze a©, ^>o， diconsi dilatazioni
principali.
Se soQO tutte e tre dello stesso segno, la qua-
drioa <I> e un ellissoide i cui diametri subiranno
tutti una dilatazione o una contrazione.
La quadrica puo anche essere uq iperboloide ad
una a due falde: per deciderlo consideriamone
il cono assiatotico definifco da
a 52 + & + c ^2 + /• 7) C -t- p C ; + A ; VI = 0.
Per la (7) si vede che gli elementi diretti se-
condo le gene rat rici di questo cono hanno e == 0;
abbiamo cioe il cono delle dilatazioni nuUe. Se e
immaginario, la quadrica ^ e un ellissoide; se e
reale, esso divide lo spazio io due regioni in una
delle quali gli elementi saranno dilatati e neH'al-
tra contratti. In una regione la quadrica ^ e un
iperboloide a una e nell，altra regione e uq iper-
boloide a due falde.
Le quadriche di deformazione sono simili e si-
milmeate poste alle quadriche di dilatazione, che
si ottengono riportando sui vari elementi usceuti
da M segmenti eguali a V i s.
112 Cap. Ill, § 5. Ricerca delle dilat, princ.^ ecc.
Consideriamo una sfera <f ed un ellissoide e， che
nella deformazione si mutino rispettivamente in
ua ellissoide ed in una sfera •
Gli assi di e， per note proprieta delta trasforma-
zione omografica^ si trasformano negli assi di ei ；
cib che costituisce un^elegante proprieta delle retfe
principali,
Se la deformazione e pura, questi assi sono gli
assi delle quadriche di deformazione ； se no, il mpto
rigido defiaito da w, v, p, g, r portera la terna
di e sopra quella di Cx .
Assumendo per assi coordiaati le rette princi-
palis i semi-assi del la quadrica di dilatazione sono
V 土 flo, ecc; quelli di e sono 1: Oq + 1, ecc. ; e
quelli di ei sono Gq + 1, ecc. *.
§ 5. Ricerca delle ditatazioni principali. Inva-
riant! di deformazione. 一 Per un punto posto su
uno degli assi della quadrica O alia distanza 1
da M、 deve aversi
e esseiido il coefficiente di dilatazione lineare re-
lative a quell'asse ； dunque sussisterauno le tre se-
* La quadrica delle dilatazioni ； la considerazione delle
rette principali ^ dovuta a Cauchy, 1. c. in nota del § 1-
La coneiderazione dolPellisBoide e， specialmente importante
nel caso della deformazione omogenea finita, e dovata a
Lord Kelvin 1. c. II ieorema generale Bulla decomposizione
della deformazione e in sostanza dovuto a Helmholtz nella
niemoria classica salP idrodinamica : Crelle's Journal , 55 i
1808 e Wissen. Abhand" i， p. 106, 136 e seg.
8
Cap. III. § 5. Ricerca delle dilat. prmc, ecc. 113
guenti equazioni Imeari ed omogenee
e QOQ potendo le C essere contemporanea
mente nulle, eara
Abbiamo cioe ana equazione di 3 grado in s， le
cui radici sono tutte e tre reali e daano i valori
delle dilatazioni principal! ao, bo, Cq. Sostituendo
nelle (13) al posto di e successivamente Uq, Jqi fo,
troveremo i rapporti >i : e quindi i coseni diret-
tori degli assi.
La (14) si puo sviluppare agevolmente e con
note regole ； che i coefficienti delle varie potenze
di 2 sono le somme dei aiioori principal! di primo,
secondo e terzo ordine del determinante (14) in cui
si e fatto s = 0.
Marcolongo. 8
"+ 一+一 = 。 .j
十 （&一 sM^/^C-O 、 (13)
1 \
o
II
1 12
1 -2
i
1 12
a
s
1 -2
■2
1 12
3, 1-2 1-2
114 Cap. IIL § 5, Ricerca delle dilat. princ" ecc
Abbiamo poi le note relazioni
"0 + 60 + Co = a + 6 + c
+ Co ao + «o*o= 1 (b e 一 ^ r) 、 (15)
"。& oCo =abc-^^fgh-^ J,afK
I secondi membri di queste eguaglianze non di-
pendono adunque dalla orientazione degli assi coor-
dinati. Essi diconsi invarianti fondamentali di de-
formazione e， rispettivamente, invariante lineare,
quadratico e cubico.
L'invariante lineare ha una semplice ed impor-
tante interpretazione. Consideriamo infatti un pa-
rallelepipedo di spigoli w, n, p situati lungo le
rette principali e sia V= mnp il suo volume.
Dopo la deformazione il parallelep. sara ancora
rettangolo; ma lo spigolo m sara diventato m (1 ♦ Oq);
ecc . . . quindi il volume V si sara trasformato in
un altro •
Diciamo coefficiente di dilatazione cubica il rap-
porfco tra raccrescimento di volume e il volume
primitivo e accenniamolo con sark
(a = 7 = (1 + ao) (1 + bo) (1 + c。） - 1
e quindi, nei soliti limiti di approssimazione,
^ ho + Cq = a f 6 + c,
Cap. til. § 5. Ricerca delte dilat, princ, ecc. 115
cioe :
dx dy dz、 、乂
I, invariante lineare di deformazione, cioi la somma
dei coefficienti di dilatazione lineare secondo ire
rette ortogonali^ esprime il coefficiente di dilatazione
ciibica mil, intorno del punto M.
Si puo mostrare che qualsiasi invariante di de-
formazione e una funzione degli iuvarianti fonda-
nientali e in particolare qualsiasi invariante razio-
nale ed intero delle sei componenti di deforma-
zione deve essere una funzione razioDale intera dei
tre fondamentali.
Se il sistema ruota intorno ad un asse, p. e. z,
c e un inyariante e quindi anche a + J ; di guisa
che:
c (a + J) , (a + by,
sono tre invarianti quadratici di rotazione.
L' invariante quadratioo e cubico potendo scri-
versi
c(a + h) + ab-j{r+g' + h')
c|a6 -"^ + ,4 f g - > f2 - i b ;
dal secondo si conclude che ab — \-h^ e un inva-
4
riante e dal prirno,"che lo e pure + Abbiamo
dunque altri due invarianti
116 Cap. 111. § 5, Ricerca delle dilat. priwc., ecc.
ed in tutto cinque (e solo cinque) invarianti qua-
dratici di rotazione. E anche inyariante
(a + 6)2 一 4 (a b - ^h^ = {a 一 6)2 + *.
Un altro invariante, non di deformazione, e, pel
suo stesso significato,
.to2 = p2 + ^2 + — ;
esso chiamasi un poUnomio isotropo di 2.。 grade,
cioe un polinomio di 2.。 grado rispetto alle nove
derivate di m, t?, w, che dod cambia per un cam-
biamento d，assi.
Naturalmente anche
(a + b + xibc-^h^)
sono polinomi isotropi di 2.® grado, come pure
qualunque loro combinazione. Due tra queste sono
notevoli ； combinando infatti 1' invariante quadra-
tico ed w2， si trova il polinomio isotropo
e combinando questo con o)^e col quadrato dell' in-
variante lineare si trova I'altro polinomio isotropo
'd uY , /duV ， /duY , fdvY ，
' I 十 I ，十 I I 十 I I 十 . . . .
、d \S y) \d zj \dxj
* Beltrami : Note fisico-matematuhe, Rend. Circ. Mat. Pa-
lermo, 3 ； 1889. SoMiGLiANA : Sul potenziale elastico. Ann.
(1. Matem. 7; 1902.
Cap. Ill, § 6. Relaz. fra le comp. di deform. 117
Si puo inoltre dimostrare che non esistono altri
polinomi isotropi di 2.。 grado linearmerite indi-
pendenti dai priini tre. *
§ 6. Relazioni fra le component! di deformazione.
—— Date ad arbitrio sei funzioni a, 6, ... A di y,
po3sono queste assumersi come coraponenti di de-
formazione di UQ corpo contiauo ？
la generale no; perche tra le componenti deb-
bono sassistere delle relazioni. Infatti a quelle deve
corrispondere uno spostameDto possibile; devono
cioe esistere le u, i?, w. Ora:
, du
an =— aaj -h . =
ox
= adx + ^yA — rjd2/ + i- g^dz
e perche il secondo membro sia un difFerenziale
esatto, cioe affinch^ esista la u, e uecessario e
basta che
d [1 J \ 8 n 丄
― I —— fl 一 r I = I — (/-ho
d f 1 , \ da da d ( I .
dx\2^^) dz、 dy dxX^l
le quali, notando che :
&十^ + 兰二 0,
d y d z
• PoiNCARE : Lecons sur la Th, d, Vilasticiti. Paris, 1892,
pag. 20.
118 Cap, III. § 6. Relaz. fra le comp. di deform.
81 possono scnvere cosi:
r\ 广 7
c p eg c h
2
— f-: 2
c g
一 ^
d X d y a z ' d x c ^ d ?
,yd r da ？ A
2 — = 一 2 1 •
iasieme colle quali varranno pure le
h
z
d 丄
df
一 ― ； ecc.
― z
le quali assicurano V esistenza Ai v e u\ Ma le
derivate di p ci danno il mezzo di conoscere dp
e per la esistenza di p e necessario e basta siano
soddisfatte le
夕
2
广 I ^
+
To
广 p
2
8
广 c
(p
f/
2
&一
, 一- y
+
To
2
「6;
11 II
2
2
2
5y
2
2
o
n
c
u
d
•1
R
2
2
+
8
= I II
To
2
2
广。
?>一 ws-
2
+
To
2
11
9
2
2
2
8
To »
2
=
2
Gap. Ill, §7. Formule di trasformazione. 119
Con permutazioni circolari da queste ne otter-
remo altre sei che, come subito si vede, non sono
tutte distiate ； sicche le relazioni cui si giunge sono,
in definitiva,
Queste relazioni, dovute al Saint- Venant *, sono
necessarie e sufficienti per I'esisteDza delle v, w.
§ 7. Formule di trasformazione. ― Dalla teroa
qrtogonale x, y、 z si passi all，a】tra， pure ortogo*
nale x\ y， z\ fissata rispetto alia prima dai nove
* La dimostrazione qui riportata h del Beltbami ； nota in
fine alia mem. SulVinterp. mecc. d, form. d. Maxwell. Mem.
Ace, Bologna, 7 ； 1886. Vedi pure le citate Note fisico-mat.
Comp. Bend.y 108， p. 502, 1889 ； e la citata monogr. dei
Bignori Cossbrat, p. 35-36.
SuUe varie decompoeizioni di cui Bono suscettibili le u、 v, w,
c suUe quali non abbiamo creduto dover insistere, non occor-
rendo al nostro eoopo, vedi Cesaro : 1. c.， Cap. x, p. 88.
+
dy
2
f . a^c £^
dVdz ' ^2 十^ 2
^2 十^ 2 =
dzdx
2
2
2
dydz
d
^ + ^ 一
dx\d z dy
dy\dx d z
d Idg . of
十
d X,
，
dh、
dxdy dz\dy d x d
(17)
2 5*
120 Cap. IIL § 7. Formule di trasformazione
coseni :
cos (x y) = aj , cos (y x') = Pi ， cos {z x^) = 丫 i ， ecc.
Diciamo a\ b\ -., h' le componenti di deforma-
zione relative alia seconda terna ； vogliamo espri-
merle mediante le a, i . . . A e i nove coseni di-
rettori.
Poiche :
risulta :
a' = cci^a + Pi^ b + ^i^c + Pi Ti / + Yi *i i?' + Pi h
e cosi per V e c'. Inoltre :
= 2 a ， 2 P, .83 6 + 2 丫 3 c + (a,P3 + H p2),+ …
ecc.
Scambiando tra loro le due terne si esprime-
rebbero agevolmente le a, J ... A per le a' . . . h- , Di-
ciamo Yr« gli elementi del determinante formato
coi coeflScienti delle a, i ... A. II determinante, che
diremo F , gode di due notevoli propriety che
vogliamo notare. Moltiplicando la 4*, 5*, 6* co-
lonna per \/ 2 e dividendo al tempo stesso la 4*,
5% 6* linea per \/ 2 , r uon si altera e le sue linee
1
w 一 ^
+
op
8
+
a
iv
8
8
II
a
+
a
丫
8
+
1
op
2
+
1
8
Cap, III. §7. For mule di trasformazione. 121
hanno per elementi
, , ， ^2 n ， \/2 丫 1 ai , \/2 'xi Pi，， ecc...
V 2 «2 ag , \/2 ？ 2 Ps, \l~2 了 2 丫 3 , ^2 h + H P2 , ecc. • • '
Ma allora e chiaro che :
il quadrato di ciasctma linea e eguale ad iino,
Infatti
+ 6^4 + 丫 ,4 + 2 丫 i2 + 2 丫, 2042 + 2ai2pi2 =
2 ocgS + 2 %^ + 2 Ta^Ya' + (、 h + H + •• •
+ («2 《3 + ?2 ?3 + T2 丫 3)2= 1 ；
C0S1 facilraente si prova che ：
il prodotto di due lime k eguale a zero.
II determinante e dunque ortogonale ； quindi
r2 = 1 .
Inoltre F ^ per note proprieta dei determi-
nanti ortogonali, e eguale all' elemento aggiunto
di 0^2; cioe ad un determinante le cui linee sono
, 了 i2， \/2 Pi , \/2 n «i , V2 a, , ecc. • • •
V2 p2 ？ 3 ， \/2 h 78 ， 《a P3 + *3 P2, ecc. • • •
e se moltiplichiamo 3', 4*, 5* colonna e dividiamo
3 翁, 4*, 5* linea per \l 2, risalta : .
^ Yii = 「11
122 Cap. Ill, § 8. Press, interne in un corpo conf.
essendo Fj, 1， elemeuto aggiuiito in F ； lo
stesso dicasi natural mente per ogni altro eleraento.
Dunque :
il determinante 「 gode delle due proprieta fonda-
mentali dei determinanti ortogonali *.
§ 8. Pressioni interne in un corpo continue. 一
Un corpo continue soggetto a forze che soUecitano
ogni elemento di massa e a forze distribuite in
superficie (pressioni, trazioni continue o no) sia in
equilibrio. Nel suo interno si svilupperanno altre
forze che reagiranno a quelle tendenti a defor-
mare il corpo. Queste uuove forze diconsi pressioni
interne, Cerchiamo anzitutto, sempre prescindeiido
dalla speciale natura fisica del corpo, di assegnare
qualche loro carattere generale. Ci fonderemo co-
stantemente su di uu postulato.
Supponiamo tagliato il corpo, dopo che e stato
deformato ed equilibrate, con una superficie qua-
lunque, p. es. un piauo, in due parti A e B e che
sia rimossa una delle due parti.
Ammetteremo che Veguilibrio possa essere rista-
bilito, distribuendo sul piano di separazione delle
forze imivocamente determinate punto per punto,
Sia M un punto della superficie di separazione
un elemento d' area di questa intorno ad M.
La forza da applicare in M, imivocamente deter-
minata, e dello stesso ordine dell' area d<r e ii-
pendera dalla posizione deirelemento e dalla sua
orientazione. La orientazione sara defiuita dalla
•* YoiGT, Allg, Formeln f, die Bestimmitng u. s. w, Wie-
demann's Ann., 16, 1882， p. 273; 398.
Cap* III. § 8. Press* interne in un corpo cont, 乂 23
normals n all' elemento, assanta come direzione
positiva quella diretta verso rinterno della parte
del corpo che si considera.
Accenneremo con Fn tale forza, volendo con
cio indicare che essa e dello stesso ordine delPe-
lemento la cui uorraale e w; e cosi accenneremo con
Xn d(T, Yn dff, Zn
le componenti di questa forza.
La Fn si chiama pressione interna nel punto M
suU'eleraento d ff e le Xn , Yn ， Zn , una qualunque
delle quali accenneremo con Un , diconsi compo-
nenti ortogonali di pressione.
La componente normale di Fn cioe la compo-
nente secondo la normale n, sara acceunata con
Nn e secondo che essa e positiva, negativa o nulla
si dice che I'elemento h soggetto ad una pres-
sione, trazione o ad una forza tangenziale. Si am-
inette poi, come un dato fisico, che queste pres-
sioni varino con continuita, generalrnente, nelPin-
terno del corpo.
Ha luogo il seguente teorema
Le pressioni interne in un corpo continuo sod-
disfano alia legge delVazione eguale e contraria
alia reazione.
Gioh la forza da applicare a ch quando e tolta
la parte A, e eguale e contraria a quella che oc-
corre applicare sopra lo stesso elemento quando
invece si toglie J?, conservando A.
Infatti isoliamo nel corpo un cilindro di cui
siano ff, ^r' le basi; cr" la superficie laterals; n, w"
le rispettive normali volte verso 1' interne del ci-
124 Cap. III. § 9. Componenti spec, di press,, ecc.
lindro. L'equilibrio sara ristabilito se distribuiremo
in ogni punto di <y, <s\ delle forze Fn ， Fn' , Fn".
Sotto razibiie di queste forze distribuite in su-
perficie e delle forze di massa, il cilindro, come
il corpo, e in equilibrio e questo, a fortiori, sussi-
stera ancora suppouendo il cilindro irrigidito. Sia
[7 una qualunque delle forze di massa (riferita al-
1， uniti di massa) ； c? t un elemeuto di volume e
p la densita. EsprimeDdo dunque che k nulla la
somma delle componenti di tutte le forze secondo
uno qualunque degli assi, sara
SUftd<f + S Un^dG^ + f Un" d。" + feUch = 0.
Ma e lo Btesso di 。'； passando quindi al li-
mite facendo avvicinare indefinitamente a e e
notando che i due ultimi integrali tendono a zero
si ha
SiUn + Un')" = 0; •
questa deve aver luogo qualunque sia <y; onde deve
essere
Un +? 7n' =
e poiobe w' = — n possiamo dire che :
Fn + i^-n = 0. (18)
§ 9. Componenti special! di pressione. Teorema
fondamentale di Cauchy. 一 Nel punto M conside-
riamo un elemeuto d parallelo al piano y z. Le
componenti della pressione di questo elemento
piano la cui normale e 1， asse x positive si indi-
cheranno con
Xx ， Yx ， Zx •
Cap. Ill, § 9, Componenti spec, di press. ^ ecc, 125
Parimenti accenneremo con
Xy , Yy ， Zy
le componenti della pressione su di un elemento
d<5y parallelo al piano zx e la cui normale e Fasse
y positivo e finalmente con
quelle della pressione su di un elemeuto ch- pa-
rellelo al piano xy la cui normale e I'asse z po-
sitivo. Le nove grandezze cosl definite, evidente-
mente fanzioni delle sole coordinate del punto i¥,
diconsi le componenti speciali di pressione relative
alia terna uscente da M.
Le componenti di pressione relative ad un altro
elemento qualunque p 謹 ante per M dipendono,
in general e, e dalla posizione del punto e dai co-
seni direttori deU'elemento ； ma mentre non si sa
assegnare la legge della loro dipendenza da a?, y、 Zy
si puo invece asseguare il modo con cui dipen-
dono dai coseni direttori.
Infatti ha luogo il seguente teorema generale
di Cauchy :
le componenti di pressione su di un elemento piano
di mi corpo continuo in equilibrio sono funzioni
lineari ed omogenee dei coseni direttori della nor-
male alV elemento e delle componenti speciali di pres-
sione.
Si tagli il triedro che in M forraano le paral-
lel e agli assi con uq piano qualunque e siano -4,
B, C i punti d' incontro coi tre assi a:, y, 0; iso-
126 Cap. III. §9. Componenti spec, di press. j ec6.
liamo dal corpo questo tetraedro, distribuendo, su
tutte le sue facce, forze opportune onde ristabilire
Pequilibrio. AB C assumo un elemento d，area
da', la cui normale volta verso IMnterno del te-
traedro sia n e sia U，n una delle relative compo-
nenti di pressione ； proiettiamo d^^ in dox- sul
piano y z; una qualunque delle componenti di
pressione relativa a dax sar^ accennata con U'x
se A cade suUe x positive oppure con IP—x [eguale
ad — TTx in virtu della (18)] nel caso contrario.
Nel primo caso 1' aDgolo (n^ x) essendo ottuso
si ha
d ffflj = — d ff' cos (n, x) ；
nel secondo e acuto e quindi
dcx = d^' cos (w, x).
In ambo i casi il prodotto delle componenti U
per relemento d'area e espresso da
一 TJ'x cos (w, x) d ff'.
Lo stesso dicasi per le altre due facce ； tenendo
poscia conto delle forze di massa, una delle con-
dizioni dell' ■equilibrio del tetraedro, supposto ri-
gido, e
/ ? r/rf T + / j ITn 一 U'x COS ':w ，： r) 一 • • • 1 rfd' = 0.
Acceiiniarao con U i valori delle U， relativi ad
elementi contigui al punto M ed orientati rispet-
tivamente come il piano AB C q \ piani coordi-
Cap. HI. § 9», Componenti spec- di press., ecc. 127
nati; e si ponga in generale
' U'n = Vn+ B Un.
Le U che si riferiscono al puoto M fisso sono
indipendenti dalla integrazione relativa a ab-
biamo dunque
[Un — ZZr COs(w,a;)— Uy COS(W，J/) 一 Uz COS (W,;?)]
+ f{^Un — ^ ？ 7a:C08(/?.，:r) — ".ld<T'+ /p C7dT=0.
Dividiamo per <r' e notiamo ehe il volume t del
tetraedro e espresso {h essendo l，altezza) da ― ha' ;
facciamo poi avvicinare indefinitamente il piano
ABC al punto M mantenendolo parallelo a se
stesso ； <x' e T tendono a zero insieme con h. II terzo
termine dell' equazione precedents, divisa per cr',
e il prodotto di ^ k per f p Ud r ： z,
o 處
II quoziente dell'integrale pfr t, esprimendo il
valor medio di p ?7 nel volume t, e finite e col
tendere di % a zero il prodotto precedente tende
a zero.
Lo stesso ha luogo pel secondo termine, a causa
della continuita delle pressioni : dunque al limite
otteniamo
Un = Ux cos (n, iv)-hUy cos (m, y) + Uz cos (w, 2\ (19)
che esprime appunto il teorema di Cauchy.
Se, per compendio, diciamo a, p, 丫 i coseni di-
rettori delta normale all'elemento piano passante
per M e diretta come si e convenuto, la '19) equi-
128 Cap. III. § 10. Equaz. indef. per VequiL, ecc.
vale alle altre tre
\
i (20)
Quindi se in ogai punto M conoBciamo le com-
ponenti speciali di pressione, data la orientazione
di un elemento e uota la pressione di quell'ele-
mento e reciprocamente. Di guisa die la cono-
Bcenza delle pressioni deirintorno ii M h ca-
ratterizzata da quella delle sole componenti spe-
ciali. •
§ 10. Equazioni indefinite per l，equilibrio di
un corpo continuo. 一 Da un corpo continuo iso-
liamo una porzione qualunque con una superficie
<t; la porzione cosi staccata (deformata ed equili-
brata) e in equilibrio per le forze Fn in superficie
e per le forze di massa. Applicando adunque la
solita considerazione si ha
/P UdT + f Uftd 。- Q.
Ma per la (19):
/ Und(5 = S {UxQO^{nx) -\- . . .) d a =
=-/(
per la trasformazione di Gauss. Danque
ox d y dz I
Cap. III. § 10. Equaz. indef. per Vequil" ecc, 129
ed il volume t essendo affatto arbitrario, risultera
P (7 = — ~ + -r ~ ― ~ , (21)
^ dx dy dz 、"乂
in cui U= X、 r, Z. Le (21)， che valgono per qua-
lunque punto interne al corpo, diconsi equazioni
indefinite per Vequilibrio*
Per I'equilibrio della porzione racchiusa da ^
supposta rigida, debbono essere verificate altre tre
equazioni, cio^ quelle dei momenti : duoque sara,
ad esempio,
E quindi, alio stesso modo con cui fu dedotta la
(21), si ha
^ / ry x^、 ^d{y Zx 一 zYx)
p{yZ-zY) = l ^ ~~ ；
sviluppando e teueudo presenti le (21), si rica-
vano le
Yz ― Zy ， Zx = ， Xy = Yx ) (22)
cioe le componenti speciali di pressione si ridu-
com, in generale^ a sei distinte,
Le equazioni fondamentali (19) e (21) non ba-
staoo a determinare le sei componenti speciali :
esse quindi sono solamente necessarie per l，equi-
librio di un qualunque corpo continuo.
Le equazioni suddette, supponendo il corpo gia
deformato eJ equilibrate, debbono inoltre inten-
dersi nel senso che p, a?, y, z、 Z, ... si riferi-
Mabcolonqo. 9
130 Cap. III. § 11. Comp. norm, di pi'ess" ecc.
Bcano alia posizione deformata del corpo ； e se
facciarao Fipotesi che tale deformazione sia infini-
tesima, esse possono riferirsi indifferentemente- alia
posizione non deformata , come si vede con un
senipliee sviluppo in serie.
Nel caso che la deformazione sia finita, assai
importante per alcune teorie di fisica matematica,
si possono trasformare le suddette equazioni ia
altre relative alle coordinate del corpo Don de-
formato *.
§ 11. Componente normale di pressione. Ellis-
soide di Lam6 e quadriche delle pressioni. ― La
teoria delle pressioni interne riceve una forma
assai elegante ricorrendo, come nella teoria della
deformazione, ad alcune rappresentazioni geome-
triche.
La Nn cioh la componente, sulla normale all'e-
lemento, della pressione esercitata su d<r e data da
Nn = y^Xn+PYn + rZn. (23)
Sostituendo in questa i valori (20), tenuto conto
delle (22), otteniamo :
+ 2 V a + 2 a 3 Xy ；
la componente normale di pressione d una fun-
* Su questa trasformazione, dovata al Boussinesq e Bril-
LOUiN, vedasi la citata mem. dei signori Cosserat, p. 40.
Circa poi la maniera piii generale di soddisfare alle (19),
(21) vedasi : Moreba : Soltiz, gener. d. equaz indef* delVequili-
brio di un corpo cont. Rend. Acc, Line. 1， 1892, p. 137; 233,
Cap. Ill, § 11, Camp, norm, di press., ecc. 131
zione quadratica omogenea dei cosem direttori
delVelemento,
Ma dalla (23) e dalle (20) eliminando «, y ot-
teniamo pure
Nn Xn Yji
Xn Xx • • •
=0
onde
Nn- — \
Xn Zn
Xn Xx • • •
(25)
essendo a il determinante (in generale diverse da
zero) formato colle componenti speciali ； quilidi :
la componente normale di pressione h una fun-
zione quadratica omogenea delle componenti orto-
gonali di pressione..
Derivando la (24) rispetto ad «, p， 丫 si deduce
subito che
Notando poscia che
=2> 仏 + 2 、
^ 丫
1 -2
2
II
_-2
4*
132 Cap- III. § 11* Comp, norm, di press" ecc.
in virtu delle (26); e che quindi
dNn-Z<^d Xn + ]rdNn,
2
risultera
1 dNn A 1 dNn 1 dNn 嶋
a = 8 = Y = ― (27 J
2 9 Xn . 2 3 Yfi 2 S
cioe
le componenti ortogonali ( o i coseni direttori) della
pressione sono le semiderivate della componente
normale rispetto ai coseni direttori (o alle compo-
nenti ortogonali),
Ci5 premesso veniamo alia rappresentazione
geometrica.
A partire da M si costruisca il vettore Fn re-
lative ad un qualunque elemento piano passaate
per Jtf, di normale n\ rispetto agli assi passanti
per M siano >i, C le coordinate dell' estremo di
Fn ； quindi
、 = Xn , ^ = Yn ， C = Zn
e per la (25) risultera Nn una funzione quadratica
ed omogenea delle ；, vj, s. Diciamola 2 <p; ciofe po-
niamo
i^,, = 2";, "， g. (28)
Le (27) diventano
9
SI
11
a
Cap. IIL § 11. Comp, norm, di press., ecc. 133
e colla eliminazione di a， p, 丫 otteniamo
、2 /3cp\2
一 1=0 (29)
Dunque il luogo degli estremi di Fn e an ellis-
soide 2 '{^ = 0， i cui semidiametri danno le grandezze
delle pressioai esercitate su element! piani pas-
santi pel ceatro delP ellissoide. Esso dices! ellis-
soide di LamS, Considerianio ancora le quadriche
cp 二 cost
che diconsi quadriche di pressione; e tra queste
quella passante pel punto 5, r;, ；； la normale in
quel punto avendo coseni direttori proporzionali
alle derivate di 9, e parallela alia direzione a， p， 丫.
Dunque relemento piano eu cui si esercita la pres-
sione Fn e coningato alia Fn stessa rispetto alle
quadriche © = cost. ,
Data un piano passante per M, il sua diametro
coniugato rispetto alle quadriche di 'pressione da
la direzione della pressione e la porzione che su
questa taglia I, ellissoide di Lame dd la grandezza
della pressione che si esercita sul piano.
Reciprocamente data la direzione della pres-
sione si puo trovare il piano su cui essa si esercita.
L， ellissoide di Lami e le quadriche di pressione
hanno lo stesso centra e le stesse direzioni degli
assi,
II centro comune e infatti il punto M; supposto
poi riferite le quadriche 9 ai loro assi, ridotta cioe
© alia forma
si yede subito che la stessa forma spetta alia
a-
sis
2
？ 11;
中
2
134 Cap, 111, § 12, Elementi princ. di press., ecc.
Se infine sulla direzione n riportiamo un seg-
mento eguale alia reciproca di Sj ± Nn\ la sua
estremita, al variare di n, descrivera la quadrica
Xa:X^ + ... + 2 Yzyz + ,.. = dtl (30)
simile e similmente posta rispetto alle quadriche
di preseione, e che fa perfetto riscontro alia qua-
drica delle dilatazioni.
§ 12. Elementi principal! di pressione. Pres-
sioni principali. 一 Siano vj, C, gli assi delle ^
e cp : il diametro coniugato con y] ^ essendo I'asse 5,
questo da la direzione della pressione che si eser-
cita su 7) C; onde:
per ogni punto dl un corpo contimio esistono in
generate tre elementi piani tra lore ortogonali e
soggetti a sole pressioni normali.
Essi diconsi elementi principali di pressione ； e
le pressioni relative (semiassi dell' ellissoide di
Lam6) diconsi pressioni principali
Se le quadriche cp sono sfere, anche | e una sfera :
su ogni elemento piano per M si esercita una pres-
sione normale che e sempre la stessa. Tale e il
caso dei fluidi.
Diciamo Pj, Pg, Pg le tre pressioni principali.
L'equazione dell'ellissoide di Lame e
Rispetto alia terna degli elementi principali e
= Yy = -P2, Zz =^ -P3
Cap, III. § 12. Elementi princ. di press.\ ecc, 135
e tutte le altre componenti special! sodo nulle
quindi
cioe
见 f2? = 衬十; ^ +
dunque Feqiiazione delle quadriche di pressione e
p- + p- TT cost.
II CODO assintotico di queste quadriche e tale clie
per i suoi elementi piani tangenti la iVn = : cioe
questi elementi subiscono una pressione tangeu-
ziale.
La ricerca delle pressioni principali e degli in-
varianti di pressione si fa in modo del tutto iden-
tico a quello del § 5.
Infatti se P e una pressione principals si ha
Xn = Pa = a Xx + P + 丫 X? ; ecc.
e quindi
a ( Xo: — P) + P A y + T == 0, ecc.
II determinaute dei coefficienti di queste tre
equazioni e nullo e conduce alia ben nota equa-
zione cubica in P a radici reali, ecc.
L'espressione • ，
Xa: '\ Yy + = Pi + + A
136 Cap. III. § 12, Elementi princ. di press" ecc
e un invariante lineare di pressione e cosi avremo
un invariante quadratico e cubico *.
* Il'teorein^ (18); la coneiderazione delle component] gpe-
ciali di preesione e delle pressioni principal! ； 1， impiego del
tetraedrQ elemeniare e dell a quadrica (30) sono dovuti a
Cauchy, che ha quindi fondato 1' analisi delle pressioni.
Anc. Exerc,, 1827, Oeuvr. 7 (2), p. 60：
La coneiderazione delle altre quadriche h dovuta a Lame :
Mem. sur Viquilibre int, des corps solides homog. par Lame
et Clapeyron. M^m. presentee p. div. say. k FAc. d. Scien-
ces, 4, 1833.
\
CAPITOLO QUARTO.
LE EQUAZIONI DELL'eQUILIBRIO
E DEL MOTO DEI CORPI BLASTICI ISOTROPI
§ 1. Propriety elastiche della materia. Legge
sperimentale di Hooke. 一 Quando un corpo solido h
soggetto all'azione di un sistema di forze in equi-
librio, si osservano certi fenomeni dipendenti dalla
natura e dalla grandezza della forza applicata ad
ogni singolo elemento : come p. es. il cambiamento
di temperatura, la deformazione, ecc.
Se ogni nuova configurazione del corpo non e
in equilibrio senza r aggiunta di miove forze, il
corpo dicesi elastico : in un corpo siffatto occorre
una coatinua applicazioae di forze per maatenere
ogni alterazione di forma o di volume.
La deformazione puramente elastica e quella che
cessa, tolto il carico che la produceva : ogni altra
deformazione dicesi permanente. II principio fon-
damentale e puramente sperimentale su cui poggia
la teoria matematica delPelasticita e costituito dalla
legge di Hooke (1660) :
138 Cap, IV. § 1, Propr> elasL delta mat., ecc.
la deformazione prodotta d proporzibnale al carico
che la produce (ut tensio sic vis) :
in altre parole :
le componenti di pressione sono fun z ion i lineari
ed omogenee delle componenti di deformazione.
Questa legge e stata speriraentalmente ricono-
sciuta vera (almeno entro limiti assai vasti) per
tutti i corpi ； sembra in difetto pel ferro gettato
e per altri metalli pure gettati.
§ 2. Corpi isotropi ed anisotropi. Moduli di
elasticity. 一 Se un corpo nou presenta differenze
nelle qualita elastiche dipendenti da direzione di-
ces! isotropo ； altri men ti e anisotropo,
Sono isotropi i metalli ； i cristalli, invece, il le-
gno, sono anisotropi. Lo stesso sistem?i di pressioni
applicato a due cubi o a due sfere eguali tagliate
in modo qualunque da uq corpo isotropo, produce
la stessa deformazione ； che e invece diversa se il
corpo e anisotropo.
Un' asta isotropa sotto razione di un peso che
】a distende, si aliunga e nello stesso tempo si con-
trae; se invece e anisotropa si contorce.
Sotto una pressione P (per unita d'area) un'asta
isotropa, come si e detto, si aliunga; dica&i e il
coefBciente di dilatazione lineare ； 1， esperienza
ha dimostrato (legge di Hooke) che esBO e pro-
porzionale a P; e che la contrazione o meglio il
coefficiente di contrazione vj e pure proporzionale
a P e quindi ad £.
Cosi per il iiichel il prof. Cantone trovo che per
un aumento di kg. 1,093; 1,075; 0,813 la corri-
spondente dilatazione, in una certa scala, era mi-
surata da 7,00; 6,90; 5,26;： in questi casi il rap-
Cap, IV. § 2. Corpi isotropi ed anisotropic ecc. 139
porto risulta rispettivamente eguale a 6,40; 6,42;
6,47 *
Duuque possiamo porre:
P^Et\ = (1)
I due coefficient! E q ^ soao sempre gli stessi
per UDO stesso corpo isotropo a teniperatura co-
stante e variano da corpo a corpo **.
II primo dicesi modulo di Young ed in generale
e assai grande; i valori maggiori si hanno per I'ac-
ciaio, in cui varia, secondo le diverse specie, da
2100 a 1804. Quest! moduli (come sempre in se-
jruito) sono espressi in gram mi per cm^, a meno
del fattore 10^
La costante x. (rapporto tra la contrazione e
1， allangamento) dicesi rapporto di Poisson. E e
* I numerosi lavori del prof. Cantoue sono pabblicati nei
'Bend. Accad, Lincei; vedi Bpecialmente gli anni 1888， 1889.
Vedi pure : Brill ouin, Les hearts apparents de la loi de
Hooke, Annales de Chimie et de Physique, 13 ； 1898, et The-
orie des (^formations permanentes des metaux indmtrieh;
ibidem.
** La leg-ge di Hooke, dopo gli esperimenti classici di Wer-
theim, Morin, Edlund, Miller, e stata oggetto an die di altre
delicatissime eBperienze da parte del Big- J. 0. Thompson,
Wiedmann's Annales, 44, p. 555, 1891. Dalle sue ricerche
risulterebbo che anche per minimi pesi la legge suddetta 6
Ycrificata appena approBsimatiyamente. Furono quindi pro-
poBte varie altre leggi tra le quali h da citare la legge delle
potenze '
P = -- Es***
in cui m e E sono coBtanti per uno stesso materiale ma cho
non hanno lo steeso valore secondo si tratta di pressiono o
140 Cap, IV, § 2, Carpi isofropi ed anisotropic ecc,
poi genericamente diconsi costanti isotermiche
moduli di elasticHa> Se x diventa negative in-
vece di una contrazione abbiamo un rigonfiamento ；
come accade p. e. nel caucciu e in alcuni corpi
anisotropi. Come sara dimostrato al § 3 si ha la
seguente limitazione :
—1 <x<l-. (2)
Precisamente e: x — ^ , se il corpo e incom-
pressibile; per la qualita rossa del caucciu vulca-
nizzato x varia poco e si mantiene vicino a — — .
Navier, Poisson, (vedi Capitolo seguente) rite-
nevano che per ogni corpo isotropo fosse :
一 1
4
di trazione ； p. e. m ^ compreso tra -f 1 e 2 per il rarae e i
corpi in cemento, mentre per i metalli si avvicina assai ad
1 conforme alia antica legge di Hooke.
Vedi a tal proposUo: Mehmke: Znm Gesetz der elastischen
Dehnungen, Zeitschrift f. Ma them. u. Physik. 44, pag. 327
1897, in cai oltre ad una nameroBa bibliografia trovasi uno
studio comparativo tra la formula della potenza e ie altre.
Le esperienze del eig'. Thompson sembrano quindi aver
resa necessaria una estensione della teoria classica dell'ela-
8ticitk.« Becondo la quale si dovrebbero introdurre neirespres*
sione del potenziale termini di terzo grado nelle componenti
di deformazione. Biguardo a questa teoria pei corpi isotropi
si yegga: Voigt, Nachrichten v, d K6n, d, Wiss, zu GdtUngm^
1893, p. 584 e 1894, p. 33.
Cap, IV. § 2. Corpi isotropi ed anisotropic ecc. 141
. Lame, Green ritenevano invece >t yariabile da
corpo a corpo ； e noi ci conformeremo a qaesta
idea. La questione e difficile ad essere risoluta
speriihentalmente a causa della difficoM di pro-
curarsi materiale perfettamente isotropo. Cio spiega
perche varii speriraentatori non si siano trovati di
accordo.
Wertheim (1848) esperimentando il vetro ed il
rame trov5 y- piu vicino ad che ad i 人. Kirchhoflf
(1859) per l，acciaio trovo >t = 0,294.
Araagat (1889) pel vetro trovo circa j, pel
piombo 0,428. Pariinenti per ogni sorta di vetro
il Cornu ed il prof. Cantone trovarono circa 1/4.
Pinalinente le ultiaie esperienze del prof. Cardan i
hanno dato per il rame x = 0,374 ； per 1， ottone
0,374; per il ferro 0,321 *.
In luogo delle due costanti e x il Lame ne
adopera altre due definite dalle :
、 一 E 人 ― E (o\
A = (l+x)(l — 2>0; ^ = 2(1 +,)• (3)
La costante {a, per una ragione che vedremo
Del § 5, e detta da Lord Kelvin modulo di ri-
ffiditA, Dalle (3) inversamente si deduce :
2(X + {.)' 必一 X 十 • (4)
* P. Cardani. Determinazione diretta del mpporto di Pois-
son nei fili metallici. II Nuovo Cimento, 5， pag. 73, 1903.
142 Cap, 1 V. § 3. Relaz. tra press, e deform.^ ecc
Intanto dalla seconda delle (3) risulta posi-
tive; mentre X ha lo stesso segno di x; e quindi
X -f {A e 3 X + 2 (A saranno positivi.
Abbiamo dunque :
[A 〉 , 3 X 十 2> > (5)
dalle quali poi segue :
> + t/.>0.
Cosi, ad esempio, per 1， alluminio, la cui den-
sita e 2,68, si ha in grammi e per cnif,
X == 302, (A = 249;
per il ferro, la cui densita e 7,19, si ha:
X = 450, fA = 495 ；
e pel nichel, di densita 8,80 :
X=1160, u z= 750.
In qiiesti valori di X e come al solito, si e tra-
scurato il fattore 10^. *
§ 3. Relazioni tra pressioni e deformazione nei
corpi isotropi. 一 Bagioni di simmetria conducono
a ritenere che in ogni punto di un corpo isotropo
le rette principali di deformazione coincidano
con quelle delle pressioni principali. Ma senza
ammettere nulla, noi definiremo in altra maniera
un corpo isotropo; diremo cioe isotropo un corpo
* Per pih ampii risultati, variabili del rosto secondo gli epe-
rimentatori, vedi Part, di Kelvin : Elasticity in Ency. Brit.
1876, oppure : Math. &. Phye. Pap. 3. p, 31 e eeg.
Cap, TV, § 3. Relaz. tra press, e deform., ecc. 143
in ogni punto del quale le direzioni delle pres-
sioni e delle dilatazioni princlpali sono identiche
ed elasticamente permutabilu
Mostreremo (Cap. 5。， § 4) 1， identity di questa
definizione con quella gia data al § 2.
In un corpo siffatto siano dunque •/)， 《 le di-
rezioni principali; x, y, z UQ'altra tenia qualunque
ortogonale uscente da M\ siano ao, ^>o， le dila-
tazioni principali (componenti di deformazione re-
lative alia prima terna) ； a、b、 c ..,h le componenti
di deformazione relative alia seconda. Detti «1, P! ，丫 】,
i coseni direttori dell'asse x ； a?. , P^, 丫 2, quelli di 2/,
ecc, rispetto ；, /i, C, le formule di trasformazione
stabilite al § 7, ci danno subito
a^«o + K 「V + Co 丫 i2， ecc. ) (^)
广- 2 ("。 «3 f &o h h + Co 丫 2 丫 3), ecc. ；
Le componenti speciali di pressione relative a
y}, Z sono le componenti principali Pj, Pg, Pg ；
quelle relative a cc, ？/, z sono le JCx , ... Z*.
Consideriamo un elemento piano secondo y:?; la
pressione che si esercita su questo, in virtu delle
formule di Cauchy, ha per componenti secondo
？, C le,
i>i， Fsn.
Quindi la componente secondo co, cioe Xx e
espressa da:
X. = P, y-t' i- P, + A r^^ (7)
144 Cap, IV. § 3. Eelaz. tra press, e deform., ecc.
e parimentiis
Y, = P,
Ora noi espriraeremo le «。， 6。， Cq linearmente
ed omogeneameute per Pj, Pg, Ps; e allora risul-
teranno anche le a, b, c … • h iineari ed oraogenee
nelle Xc , ... Yx.
Kitagliamo nel corpo (intorno ad M) un paral-
lelepipedo cogli spigoli diretti secondo ：, ^, sulla
faccia M B C, Dormale a e sulla sua opposta, si
eserciti la pressione Pj per unitk d'area in modo
uniforme. Lo spigolo MA si accorcia; il suo coef-
ciente di dilatazione e — Pi :E; gli altri due spi-
goli MB, M (7, elasticamente permutabili, si dila-
tano ed il loro coefficiente di dilatazione e Pii E.
Per effetto delle P2 e P3, distribuite come Pj suUe
altre facce del parallelepipedo, Passe I si dilatera
ed il suo coefficiente di dilatazione e rispettiva-
mente y- P2: E e x P3 ： E, E poiche in totale esso
e espresso da ofo, cosi avremo:
P=P,+ P2+ P3 = Xa;+ Y^+Zz; (9)
P e 1， invariants lineare di pressione. Risultera:
xf>— (1 十; c)
E
xP-(l-hx)Pg
(10)
E
xP— (1+ >c)Pj
Cap, IV. § 3. Relaz, tra pr^Bs. e defotnu^ e6c. 145
La dilatazione cubica ^ . (inyariante lineare di
(ieformazione) e espressa dalla somnaa di 0。, b。, CqI
onde:
Sostituendo poscia i Talori di "。, ^o? 。。， rispetti-
vamente nelle (6) e tenendo presenti le (7) e (8)
risulta :
xP- (l + x)Xr - 2(1 ^^)Ys
« = ^ ； eccw ； ,e ^ —— ； ecc,
e ricavando di qui inversamente le Xx " . . otte-
niamo :
— Zz = '^^ + 2\».c [ (12)
— = /*； —Zx = \^g\ — « j
che danno le componenti speciali di pressione
espresse Unearmente ed omogeneamente per le com-
ponenti di deformazione.
Se Pi = Pg, cioe se il parallelepipedo e
sottoposto ad una pressione uniforme, I'esperienza
mostra che esso subisce una compressione, per cui
deve risultare negative. Quindi:
1 -2x>0.
Inoltre ad una pressione tangenziale (p. e. Yz < 0)
corrisponde un vero decremeiito dell'angolo di due
Marcolokgo. 10
146 Cap. IV, § 4, Potenziale di elasticita
rette (quindi f h positive) dunque:
1 + x>0.
Resta quindi giostificata la disuguaglianza (2).
II rapporto di ® alia pressione uniforme cioe
dicesi : coefficiente di compressibiliia cubica.
§ 4. Potenziale di elasticity — Dimostreremo
nel Cap. seguente che il laVoro di deforniazioDe
compiuto dalle forze interne , in uno spostamento
infinitesimo del corpo che occupa uno spazio S， e
dato da :
8L==/(Zr8a + ... + Yz^f+.,.)dS.
+ 2[X "2 + 62 + 02+4^,2+ 全浐+ 二— /,2
in virtu delle (12) risulta :
Xx^a + ,.. + Yz^f + = - 80；
dunque :
essendo S invariabile. II lavoro compiuto dalle
forze esterne e quindi espresso da:
3(1 — 2x)
3X + 2{iL
Posto :
3 / 11 d S.
Cap. IV. § 4. Potenziale di elasticita. 147
Esiste dunque pei corpi isotropi una funzione
dipendente dallo stato attuale della deformazione
e tale che il siio decremento esprime il lavoro ele-
mentare compiuto dalle forze interne, e il suo in-
cremento esprime il lavoro delle forze esterne.
Qaesta funzioae :
fUdS
dicesi potenziale di elasticita. II limite a cui tende
il suo rapporto al volume S coirimpiccolire inde-
finitamente di S, doe n， dicesi potenziale specifico
unitario relativo ad tin data jmnto, o, semplice-
mente, potenziale.
La (13) puo scriversi ancora :
2 n = (X + 2{A)02 +
+ |/. (/^ — 4 6 c + — 4 c a + — 4 a 6).
(14)
Valendosi invece delle espressioni delle a, . . .
mediante le Xx ... si ha :
e quindi: '
2 n = 一金 P2 + 卞 ： + ••• r2r| + •••) (15)
dunque: il potenziale i una combinazione linear e
del quadrato dell， invariante linear e e deWinva-
riante qmdratico di deformazione (o di pressione)
e perl) anche esso ^ (come doveva essere pel suo
stesso siguificato fisico) im invariante.
n :o:f'TJ3iIf <■ fL"m:*r»* zncnsds Mt-r-« -
:v. jiT-r:rr :4'」4 ^rcia- cjcfru* <■ znaaez /Djf :S>0
SI
、 I'
'鲁,
^ 、一
- , 、■ 〜-,
• 、？一 7 u'-l K^l"
'c'， 一 51 ？: Tsscock ri-
、
Cap. IV. § 5. Equazioni deirequilibrio. 149
Occorre che:
— = 3a2 -2a
2^1.
oade :
"=1 土小 +
3X
2 u.
Quindi : ，
n= [^}(a-ae)2 + ... + i/'2...),
e questa deve essere positiva per qualunque va-
lore di a, &, . . . h; in parfcicolare dunque per:
a=z J = c = 0,
e cio esige che
[A>0;
e per a = & = c ed f= g = h ==0; cio esige che
1 + ^ >0 •
2 i*/
cioe:
3 X + 2 >
che sono precisamente le (5), Ammesse recipro-
camente le (5)， a risulta reale e quindi n essendo
il prodotto di un numero positive per una somma
di quadrati di quantity reali e essenzialmente po-
sitive.
§ 5, Equazioni [deirequilibrio. ― Si possono
agevolmente dedurre dalle equazioni general!
del Cap. preeedente, sostituendo alle Xx , . . . le
loro espressioni (12) in funzione delle componenti
150 Cap, IV, § 5. Equazioni delV equilibrio
di deformazione. Si ha anzitutto:
»乂 ' ' 3y 1 u
oppure, sostituendo i valori delle a, b, c.,,h in
funzione delle componenti di spostamento :
y 丄 1 30 丄。 ,
X d a?
dy\dy dx)^^ dzXdz^dx) "
cioe:
P
、
W + !《
^
P F + (X 4- u.) ― —— I- u Ao t?
dy ^
=0
二
p ^ + (X +■ {x) ~ « h {X A ?o =
(17)
？ a? dy dz ' ；'
che sono una prima forma delle equazioni indefi-
nite dell'equilibrio elastico. In esse figurano © e
gli spostamenti e sono equazioni alle derivate par-
ziali del secondo ordine lineari.
Si posaoQo porre sotto altra forma. Diciamo
2\， To, Tg i doppi delle componeuti della rota-
Cap. IV. § 5. Equazioni delVequilibrio. 151
zione della particella ； cioe poniamo :
du d w
r d y dz' ，
d z doc
3
0J
fx
d u
dy
(formule 10 del Cap. precedente) e teniamo pre-
sente che:
dT, 丄 dTs 丄 dTs
十 ― h
dy .
+
dz
2©
厶 2 ecc.
dz dy dx
Sara facile trasformare le (17) nelle :
dx
dy
pZ+ (X + 2{a)^ + {x
8I2
dy
d Ti
d X
dz
d Ti
d T,
dy
=0
= (18)
=0，
nelle (][aali figurano Je rotazioni e la dilatazione
cubica.
Le equazioni del teorema di Cauchy ci forni-
ranno poscia le equazioni ai litniti. Diciamo in-
fatti L, N le components (per unita d'area)
delle trazioni che si esercitano in superficie. SarJi
anzitutto
152 Cap. IV. § 5. Equazioni delV equilibria
dove il secondo membro e caloolato per la super-
ficie del corpo.
Sostituendo ad &,… i valori (12) si ha :
dn
d X dn
Id V du\dy (d u d^\d z
+ {A 1 I -—^ + [A I —— + I ——
\d ^ dy) dn \dz d ocl dn
e questa puo essere scritta cosi :
d n
d xdn dy dn d ti
I id V d u\dy ,
d X dyi dn
UL
d u dw\d z
十
cioe :
d n
d n
3
I
d n
d z
d z
d n
dn
dx\
, 、 ^dz - dw
2
d n
d X
dn
(19)
0.
dn dn
Quella stessa equazione puo anche scriversi cosi :
八 T I ^n^^ ， Idudx ' dudy • d ud z\ ,
dn 、 xdn dy dn d zdn
, ,dudx d V dy dwd z
+ [A I — — + - —— ― 4-
Cap. IV, § 5. Equazioni delVequilibrio, 153
aggiuQgiamo e togliamo il triuomio :
[du dx d V dx dx\ '、da)
[X I + j- = |Jt.
\doo dn dy dn d z dnl d n
ed otterremo :
o=L + (x + u)e^+a^-^ +
an dn
idv dy avd x\ (d d z d d a?、
+ JJL I + tX I ―
^dx dn dy dnf ' \d x dn d z d n
dn a n 、
7 . (20)
idw a z dto dy\ (du dx d u dy^
+UL I + I ~
、 \d y dn d ^ dn' \dy dn dx dn
0=N+ (X + a)0 — + — +
dn dn
u dx du d z\ Id V dy d v d z\
1 4- [X I . — • I • ；
d z dn dni ^ d zdn d y dn! /
In queste equazioni i valori di B u, iO,^\ ecc.
dn
sono da riferirsi alia superficie limite del corpo *•
• Le equazioni (17),... (20), farono dedotie coir ipotesi
molecolare (vedi Cap. eegnente) e quindi per x = — ： da
Navier nel 1821 Mem. Ac. d. Sciences, 7; 1827) ； da Lame
(mem. citata a pag. 136) con procedimento diretto ma non
rigoroso e da Poisson (Mem. Ac, d. Sciences, 8 ； 1828) chc
deduce anzitatto le (12); infine da Cauchy, senza nessana
ipotesi molecolare, ammettendo la propriety del § 3, da noi
assunta come definizione, e poi le espresBioni delle P me-
diante "。 . • • {Anc Exerc, 1828 ； Oeuvres Comp. 8 (2), p. 204j.
154 Cap, 1 V. § 5. Equazioni delV equilibrio
In alcuni recenti lavori suUa teoria deU'elasti-
cita (in ispecie in quelli del prof. Cerruti) invece
delle due costanti di Lame \ ^ sono introdotte
altre due costanti i^, w che hanno un importante
siguificato iisico. Esse sono definite dalle :
Q2-_Z__^ 0)2 = 二. (21)
P P 乂
In virtu delle (5) queste due costanti sono reali
e inoltre :
Q2>a,2; 3 ― 2 (o2 > 0.
Si dimostra poi che in un corpo isotropo si pos-
sono propagare due sorta di oride piane; le une
hanno una velocita e ad esse corrisponde una
dilatazione senza rotazione (onde longitudinali) : le
altre si propagano con velocita w cui corrisponde
una rotazione senza dilatazione (onde trasversali) *.
Con queste due nuove costanti le (17) assumono la
forma :
— 1^4-0)2 A2W = 0, ecc; (22)
mentre le equazioni ai liniiti diventano
p an
2 co2 ^ + w2( ^一 72^) = 0， ecc. • • • (23)
a 71 \ an a nl
* Vedi, in particolare, Lame, Legons sur la theorie mathe-
matique de Vilasticite des corps solides. Paris, 1852， ll™c
• Legon.
Cap. IV. § 5. Equazioni delVequilibrio. 165
Derivando le equazioni (17) ris petto y、 z e
poi sommando, si ha
P(|f + lf + |f) + 。 + 2 屮 20 = 0. (24,
Derivando invece la terza rispetto y\ la seconda
rispetto z e sottraendo, otteniamo
IdZ dY\^ 、 7， 。
pi o T J + 2\ = 0, ecc.
Nel caso in cui il corpo non i soggetto a forze
di massa (che per quanto vedrerao nel Cap. 6° e
specialnieBte notevole) si ha
e = Ag = . . . =
cioe le fimzioni O, . . , sono armoniche. Ma
dalla prima delle (17) segue pure
(>. + ！^) A, ^ -i- ^^^u = 0,
X
quindi
w = 厶4 1? = w =
eioe le funzioni Uy v, cioe le componenti di spo-
stamento^ sono biarmoniche.
Se {A = le (17) e (19) assumono la forma delle
equazioni dell'equilibrio di una massa fluida ； cioe
di un corpo la cui rigidita e nulla. II coefficiente
\»' sta a rappresentare la rigidita del corpo : di
qui il Home di modulo di rigiditd dato a
156 Cap. JF. § 5. Eguazioni delVequilibrio,
Coasidereremo, in ua prossimo capitolo, piu dav-
vicino le equazioni trovate e mostreremo come
esse siano ancora sufficienti per requilibrio di ua
corpo elastico isotropo.
Dalle equazioni di equilibrio poi, col principio
di d'Alembert, si passa agevolmente a quelle del
moto. Infatti le componenti deiraccelerazione di
una particella (riferite alFunita di massa) sono
onde le equazioni del moto sono:
X — ^ + (Q2 — to2) |_ + u>2 M - 0, ecc.
Ma come gia fu detto, escluderemo dalle nostre
considerazioni le questioni relative al moto dei
corpi elastici. *
* Su qaesto capitolo cfr.il libro gia citato del prof. Ce-
SARO, § rv e Maggi, Principii delta teoria matem, del mov,
dei corpi. Milano, 1896, pag. 428.
CAPITOLO QUINTO.
[jE equ azioni dell'elasticita
per i corpi anisotropi.
§ 1. La teoria molecolare. 一 Abbiamo gia
detto che i cristalli sono auisotropi. Infatti gia gli
antichi esperimenti di Savart (1821) avevano messo
in evidenza che per rispetto aW elasticita i cri-
stalli si distinguono in modo sensibilissimo dai
corpi isotropL
Eccitando infatti una piastra circolare ritagliata
in un cristallo di rocca parallelamente alFasse ot-
tico, essa presenta figure nodali diverse secondo
che viene eccitata in punti diversi del contorno.
Anche i fenomeni della doppia rifrazione dei
cristalli ci assicurano della loro natura non iso-
tropa. Dobbiamo dunque costruire una nuova teoria
per questi corpi *.
• lu alcani § di questo capitolo abbiamo seguito quasi
testualmente la bella comunicazione del prof. Voigt : Uetat
actuel de nos connaissances sur Velasticiti des cristrmx. Rap-
ports presentee au Congres International de Physique. Paris.
1900, ler Volume.
158 Cap. V. § 1. La teoria molecolare.
Come la capillarita, teoria dell' attrazione, e le
vecchie teorie elettriche, anche I'elasticita fa in
origine fondata da Navier sulla teoria molecolare
delle azioni a distanza.
Id qaesta teoria i corpi si suppoagono costituiti
da masse elementari distinte, cioe di tante mole-
cole soggette ad azioni mutue dirette secondo le
congiungenti i centri delle molecole e variabili con
una legge qualnnque funzione della sola distanza,
trascurabili per distanze superiori ad tin certo li-
mit e (raggio della sfera di attivita molecolare).
In un cristallo omogeneo o in un corpo isotropo
non deformato, si ammette che le molecole siano
identiche, orientate alio stesso modo e distribuite
regolarmente in modo che ogni molecola sia cir-
condata dalle altre alio stesso modo.
Le distanze alle quali si esercitano queste azioni
mutue sono considerate come grandissime ris petto
alia distanza delle molecole vicine e le deforma-
zioni sono considerate variabili con una lentezza
tale che, anche nel corpo deformato, la ripartizione
delle molecole possa ritenersi come regolare entro
la sfera di attivita molecolare.
Questa teoria fa dipendere le proprieta elastiche
dei corpi isotropi da un solo coefficiente*
Infatti sia una molecola: M una delle circon-
vicine di coordinate relative (cioe rispetto 0) ；,
La forza che si esercita da M verso sia espressa da
9 (p) 3 p,
essendo 5 p la variazione subita da p = M per
effetto della deformazione. Le sue componenti
Cap. V, § 1. La teoria molecolare. 159
sono :
-? (p)^P, 」 ？(p)Sp,
p p
Consideriamo la risultante delle azioni di tutte
le raolecole che cadono entro la sfera di attivita
molecolare di 0. Essa ha per componenti
2 — cp (p) 8 p, ecc.
P
in cui la somma puo essere estesa anche a tutto
il corpo. Se diciamo X, Y, Z le componenti delle
forze esterne, riferite airunita di massa; k la den-
sita, avremo intanto le seguenti equazioni indefinite
per requilibrio
X + 2 - ? (p) ^ p = , ecc/*.
P
Ma:
2 = 52 + .^2 + r2
quindi possiamo anche scrivere
A: X + 2 ?i ( P ) I ? ' 5 r + $ yj 5 •/； + U S ^ i = 0, ecc. ；
in cui
？ (p) = f 2 (p).
Se le coordinate assolute di sono .r, y、
quelle di M saranno a; + ?, ecc. ； dette ic, v, iv le
componenti di spostamento di avremo (vedi
Cap. 3。， § 2)
p
s
01
VL- I p
+
+
p
CI
160 Cap. V. § 1. La teoria molecolare.
cioe
+ 1—
丁 2
; = ^- ； + — "1 十 「 C +
dx dy d z
d 化 2 dy dz J
Supponiamo che in ogni raolecola del ccrpo esi-
stano tre piani di simrnetria (piani coordinati); mu-
tando quindi I in —— ；, oppure vj in 一 ri, K in ~ C
nulla deve mutare nelle equazioni di equilibrio,
dalle quali, percif), devono scomparire i termini
contenenti le potenze dispari di ；, >), Risulta
dunque
(P)
+ TT-Z V ； 2 +
+ 〃_^ (2 ;2 + 2 」- - ：2^2_|_2 O W ； 2 ^2 =
d d X d y )
e due equazioni analoghe. In queste compariscono
i sei seguenti coefficient, poiche le derivate delle
w, V, w essendo da riferirsi al punto soiio in-
(lipendenti dalla sommatoria :
2 h (p) I ？ 1 (p) -, A 2 h (p) ：〜
2："):"2, z ？ 1 (p)
Supponiamo ancora che i tre piani di simrnetria
siano tra loro elasticamerite permutabili : allora i
primi coefficienti sono eguali tra loro, come pure
i secondi. Sia 2 If il valore coinune dei primi; 2
quelle dei secondi. Nel caso poi della isotropia
Cap, VI § 1, La teoria moCecolare. 161
tutti i piani condotti per Bono di simmetria e
scejrliendo quindi iin' nltra tenia di assi ortogonali
per 0, questi coefficienti won debbono variare; e
poiche per le note formule di trasformozione ；
si imita in a 5， + P v)i + 了 ; ecc. cosi dovremo
avere
sviluppando e osservnndo die i termini a potenze
dispari sono giJt nulli, abbiamo
2 7/= 2 (»4 f P^4-t') + 12ui(?2 十 a2 62) ；
a4 + p4 + .(4 _="2+ 62 L. ？ )2 一 2(" 了 2,+ …： ） —
onde
■ (3 \x ― fl) (82 + + = :
quindi .
e lo equazioni delF equilibrio diventapo .
k X -^2^- ~ + A/f/'=: 0, ecc.*; • ，
. ^ -' •
le quali coincidono con le (17) del Cap. prec. pur-
che si pouga in qiieste X = ja ; ma allora dalle (4)
dello; stesso capitolo risulta
1
. . ？, ；;. - • 4, , . , -
Marcolokoo. 11
162 Cap, V. § 1、 La teoria niolecolare'
Ci6, come si e |detto, non e pienamehte confer-
mato dalPesperienza. Maggiori difficolta trov6 la
teoria molecolare:nelIe equazioni di equilibrio del
cristalli.
Kiprendiamo I'analisi precedente noil' ipotesi di
UQ corpo qualunque. Sostituendo nelle equazioni
di equilibrio i valori delle o ; , . . . e supponendo
nulle le pressioni nella stato iniziale, dalla som-
matoria spanranno' i termini contenenti le deri-
vate prime delle …； e le equazioni stesse si
poBSono porre sotto la^forma (21) del Cap. 3。, dove
— Xc = Cji « + i -f Cje h, ecc.
ed inoltre -
cii = 2>i (p) ecc. ； c" = 2 ？ 1 (P) "2 〈2
C23 = Cm = 2 ?i (p) "2 《2， ecc. ;
c" = = 2 <Pi (p) ； * ecc. ；
Cr>Q — Cqs = I, ？ 1 (p) yj ecc. ；
sicche tra i 21 coefficienti c-s = Csr dovrebbero ve-
rificarsi le seguenti relazioDi, dette di Cauchy e
PoissoB.
^6G ― ^14i f(J4 ? ^25， ― ^36 -
Ora queste si sono trovate in completo disac-
Cap, V. § 2. Teoria delle azioni immediate, 163
cordo colle esperienze del prof. Voigt e delle quali
parleremo piii innanzi 气 、
§ 2. Teoria delle azioni immediate. Potenziale
di elasticity — E stata adottata un' altra teoria
la quale, applicando un procedimento gia seguito
in varie teorie di iisica matematica, deduce le
leggi della elasticitk dal concetto di potenziale e
dai priucipii della tennodinamica. Tale teoria e
pienamente confermata dairesperienza.
La prima idea di potenziale di elasticita e do-
vuta a Green, il qnale ne ammise senz^altro I'esi-
stenza e sviluppo alcune delle numerose conse-
^aenze. Lord Kelvin ne ha pel primo dimostrata I'e-
Bistenza nella ipotesi che il corpo sia deformato a
temperatura costante, oppure in modo che in fine
Tion vi sia ne acquisto, ne perdita di calore **.
• Questo procedimento diretto, generalizzazione di qnello
di Navier, e che non preeuppone Fanalisi delle preBeioni,
n6 qnella della deformazione, h dovato a Cauchy (1828) :
Oeuv. Comp. 8 (2) ； p. 227， che per5 non dk esplicita-
mento le (1) e non eappone nnlle le preseioni nello stato ini-
zialo. In un'altra memoria (ibidem, p. 253) lo etesso metodo
6 applicato al calcolo diretto delle preesioni. Si voda pure
la memoria postuma di Poisson : Mem. sur V^quiL et le
mouv, d. corps cristallises^ Mem. d I'Ac. d. Sciences 18;
1842 e Mathieu ； Th^orie de rHasticiV, ecc, 1900， p. 43.
*• Geeen(1837): On the laws of Reft, a. Refract of Light
Mathematical and Physical Papers.
Lord Kelvin (1855) e (1863) ha dimostrata TeBistenza del
potenziale elastico allorch5 le deformazioni Bono omogenee
e la temperatura, oppure Pentropia del corpo, h coetante,
Benza fare nessuna ipotesi sulla grandezza della deforma-
zione. Math, a. Fhys. Papers, 1. p. 291 ； 3, p. 386.
Vedi la monograiia citata del eig. Cossbrat, Cap. 3。， e
in generale per la teimodinamica dei corpi elaetlci: Voigt ：
Thermodynamik\ Leipzig, 1903. Kap. IV, Absch. III.
164 Cap* V. § 2, Teoria dalle azioni immediate.
Consideriamo' il corpp nel suo stato naturale e
deformiamolo facendo agire lentamente le forze
deformatrici, onde evitare vibrazioni e supponiamo
che in tutte le fasi della deformaziane la tempe-
ratura resti costante. Dopo clie il corpo sara de-
formato ed equilibrate, facciamolo ripassare per le
stesse fasi in senso inverse o per altre fasi qua-
lunque in modo da ricondurlo alio stato primitivo.
II lavoro compiuto dalle forze esterne nella prima
nella seconda eerie deye essere nullo nou es-
sendovi ne perdita ne guadagno di lavoro. Due
siffatte modificazioni diconsi isotermiche invertibilL
In una qualunque di qneste fasi sia B ； il lavoro
elementare delle forze [esterne ； o L quello delle
forze interne ； in ogni fase di deformazione avendosi
equilibrio, e .
facendo quindi la somma di tutti i lavori com-
piuti in ogni fase, alia fine avremo
Ma si e detto che
2^1 = 0,
dnde sara
， Di qui si pu6 dedurre subito clie in due serie
di modificazioni isotermiche invertibili che condu-
cono il sistema da uno stato A ad un altro il
lavoro compiuto e sempre lo stesso e non dipende
che dai due stati ； cioe :
Gap. V. § 2. Teoria clelle azioni immediate. 165
il lavoro isotermico invertibile tra due stati i tin
hivariante,
Infatti si passi da A in A con uu sistema S di
modificazioni inverfcibili corapiendo un lavoro T;
mentre nello stesso passaggio, ma con un altro
sistema S' di modificazioni, si compia un lavoro
2". Ma allora da A' in A col sistema in verso di
S， si compie il lavoro 一 T\ il sistema essendo
invertibile. E quindi se da A torniarao nuova-
mente in A col sistema S e 'coil' in verso di S' il
lavoro compiuto sara T 一 T， che e nuUo pel 1.。
principio di Carnot. •
Ora si potrebbe dimostrare che :
il lavoro isotermico invertibile d la differenza dei
valor i che prende una funzione (potenziale in-
terno) per lo stato iniziale e finale,,
Possiamo effettuare direttamente la ricerca di
questo potenziale.
Per cio osserviamo che il lavoro compiuto dalle
forze esterne (forze di inassa e pressioni o trazioni
in superficie) e espresso da
nel passai^gio da a; + w , • • • , a x + u + ^ . . .
In Tirtu delle formule di Cauchy o del lemma
di Gauss abbiamo :
i(Zr ^U+Yjc^V + Zx 5 COS ("， i) + • • . ! da
* Robin : Oeuvr. scient. Thermodynam ique ghi&ale- Paris,
1901, p. 57.
166 Cap. V. § 2. Teoria delle azioni immediate.
In quest' ultimo integrale, eseguite le deriva-
zioni entro parentesi, i】 cofficiente di 8 m risulta
+ h ~~ = P A; ecc
dx dy
II coefficiente di Xx h
quello di Yz e
+ 〜一 = S 1 T h -r— I = S 广； ecc.
dy d'z
onde
L' integrazione va estesa al volume S del corpo.
A definire le componenti di deformazione a, b、",, h
corrispondenti alle varie Dasi della deformazione
(le quali componenti cominciando ad assumere va-
lori nulli, alia fiue della prima serie a 讓 mono i
Yalori a, &, c . . . h (possiamo supporre che le
a, 6, . . . h siano funzioni di an certo parametro t
variabile da zero a una serie di modificazioni.
Avremo quindi
= a: ecc. ... :
5
=
8
Gap* V. § 2. Teorid delle azioni immediate. 167
e per quanto fu detto risulta che
non deve dipendere dal cammino d'integrazione ；
percio e neoessario e basta (vedi la nota in fine
del capitolo) che sia
了^：^ +… + lW+...= "n (2)
oioe sia la variazione esatta di una funzione delle
sole a， b, … h. ,
Si ha dunque
ZL= -S^ndS-^ — ^JUdS. (3)
In conseguenza
esiste una funzione
JUdS
detenninata ditllo stato attuale del corpo, il cui
decremento esprhne il lavoro co)fipiuto dalle forze
interne e il cui incremento esprime quindi il la-
voro compiiito dalle forze estei*ne*
La funzione n, che e il limite a cui converge
il rapporto /nrfS: S collo impiccolire indefinita-
meute di S dicesi potenziale isotermico unitario o
potenziale specifico unitario relativo ad un dato
pimto del corpo, o semplicemente potenziale,
Poiche e
fUdS>0
qualunque sia S、 e chiaro che n >0.
168 ,Cap. V, § 5, Propr. del potenz. di elasticii(Jt>
§ 3, ProprieU del potenziale di elasticity —
1. * 11 potenziale si annulla solamente se sono
nidle le componenti di deformazione. Inf^tti solo
ill tal caso e imllo il lavoro di deformazione dello
forze interne*
2. * Le coynponenti speciali di pressione sono
le derivate negative del potenziale rispetto alle com-
ponenti di deformazione.
Cio risalta dalla (2) e si ha quiudi:
-X.c= - — ；...； Yz = - r-7-;... (4)
do> of
3.* II potenziale b una funzione qiiaJratica
omogenea^ definita e positiva delle componenti di
deformazione.
Infatti le Xx … sono fuiizioni lineari ed omogenee
delle a， … A, quiiidi n cleve essere funzione qua-
dratica delle ^tesse ； ne puo conteuere termini a
primo grado clie darebbero termini costanti nelle
. . . ; e dovendo infine aunullarsi per
a = 6 = . . . — ^ =
non potra neraineno contenere termine costante.
4* II potenziale i pure una funzione qtiadni'
tica ed omogenea delle componenti speciali di pres-
sione.
Per una nota proprleta delle forme quadratiche
definite il determinante del sistema (4), che e poi
il discrimiuante di n, e diverse da zero.
Cap, V. § 8. Propr. del potenz. di elasticita. 169
Che fosse, zero si potrebbe soddisfare al
sistema
d ci
coil valori non ttitti nuUi per a, b 、…！ i e quiudi
anche a
2IJ = a^ +... = 0,
da
ci6 die non e la virtu della 1.* E duaque possi-
bile risolvere il sistema (4) rispetto alle compo-
uenti di defonnazione, che risulteranno espresso
median te fiinzioni liaeari ed omogeuee delle Xa?.. .
e quindi sara effettivarnente n una funzione qua-
dratica ed omogeuea delle componenti di pressione.
La n coBi Gonsiderata e dunque la forma red-
proca della prima.
5.* Le componenti di defonnazione sono le
derioate negative del potenztale rispetto alle com-
ponenti di pressione.
Gib risalta del pari da note proprieta delle forme
quadratiche ； e del reeto si puo diinostrare diret-
tamente. Abbiaino
quindi
^dn=-l{X^da + adX^-h Y.df+fdYz).
Ma abbiaino anoora
170 Cap. V. § 4' Coefficienti e mod, di elasticita
e sottraendo dalla precedente otteniamo :
dn^^'2.{adXx+fd Yz)
dalla quale
一 …，卜 …- (5)
§ 4. Coefficienti e moduli di elasticita. 一
L'espressione generale di n (quadratica ed omo-
genea a sei variabili) contiene 21 coefficienti di-
* E da oaservare ohe avendosi una corrispondenza univoca
fra forze e spostamenti relativi, potra considerarsi il poten-
ziale come fanzione degli spostamenti. In tale ipotesi sas-
siste il teorema del Castigliano : le derivate del lavoro
di deformazione, espresso per gli spostamenti (oper le forze
esterne\ rispetto agli spostamenti (o rispetto alle forze\ sono
itguali alle forze {o agli spostamenti). Su qaesta questione,
come Bul teoremn del mini mo lavoro del Menabrea, vedi :
Cerbuti, Atti R- Acc. Lincei, 2; 1875 e le seguenti note del
prof. L. DoNATi, Sul lavoro di deformazione dei sistcmi ela-
8tict\ Mem. Acc. Bolof^na, 9; 1888. 一 Illmtrazione del teoremct
del Menabrea f ibidem, 10 ； 1889. 一 UlteHori osserv, intomo
al teorema del Menabrea^ ibidem, 4; 1894. Inoltre cfr. In-
troduzione teorica al Corso di Fiaica Tecnica. Bologna, 1901.
Corso litogr. Vedi ancora Siacci, Sulle tensioni in un sistenta
elastico articolato. Rend. Acc. Lincei, 1894, pajjp. 205 e 245.
da notare ancora che r ipotesi delle preseioni nuUe nello
stato naturale potrebbe non eseer yerificata : e in virtu della
connessione delle diverse parti del eistema queete si trovino
in uno stato di mntua preseione. Converrk allora consideraro
lo deformazioni e le pressioni noUo stato iniziale (naturale)
le differenze coi valori omonomi corrispondenti ad an
altro stato. Vedi in particolare 】a prima delle saddette note
del prof. Donati, 1' opera gi^ citata del Maggi e quella del
Poincare, pag. 29.
Cap, V. § 4. Coefficienti e mod* di elasticita. 171
stinti. Sara quindi
2n=Ci!a3 + C22 + … + CQQh^ + 2ci2ab f . . . (6)
oppure
e quindi
- a = 5,j Xx ^ S12 Yp 、 . . . + Zy ； ecc. • • •
dove
Cmn ― Cnm^ Smn 一 Snm*
Cogniti i coefficienti c si determinano le s e
viceversa. Dalla teoria sviluppata nou risultano
dunque necessarie le relazioni (1) di Cauchy-
Poisson. 1 coefficienti c sono caratteristici del corpo
e dipendono dal sistema di assi coordinati scelti ；
lion huDTio in pfenerale alcun significato fisico spe-
ciale, e si chiamano costanti isotermiche di ela-
sticity. Ricavando inversamente 〜e a、 b, … h in
funzione delle Xx , ... si introducono altri 21 coef-
ficienti e SODO quelli che in pratica si vengono
effettivamente a determinate. I cor pi anisotropi
sarebbero quindi meglio definiti dalle Sm$f Esse
sono state chiamate da】 Voigt: moduli isotermici
di elasticita.
Si considerano iuoltre i moduli e le costanti ela-
stiche adiabatiche corrispondenti alle deforraazioni
adiabatiche e che figurano, piu specialmeiite, nei
problemi di moto dei corpi elastici; men t re quelli
172 Gap, V. §4. Coefficienti e mod. di elasticita.
isotermici figurano nella teoria deU'equilibrio. Gli
isotermici sono piu. piccoli degli adiabatici e la
loro differenza noa e mai troppo grande. Cosi iiei
salgemma (e pei cristalli del sistema regolare)
queste difFerenze rigiiardano solo i valori di e
ai9 e sono airiodirca (e nelle solite uait4) 13,50 ^
Se nelle formule che esprimono le t?, . . , per
le Xx , . . . supponiaino nulle tutte le componenti
speciali eceetto Xx、 il rapporto tra a ed Xx dicesi
modulo di Young. relative alia direzione x\ e cosi
pua .dirsi per y e z, A-ccenhandoli con. JS^, E^, JEs,
avremo i tre moduli principali
El 一 - ， — ， ― -
i rapporti di — 6 e 、一 c ad a dioousi i due rappoi'ti
di Poissoa relativi ad x ； accerniandoli con 》"2，
x,3 avremo
一 ^18 一 S|3 .
， ― 一 一 ；
e cosi ue avremo due relativi ad y e due rela-
tivi a z; cioe sei rapporti principali di Poisson,
Per i corpi isotropi i tre moduli di Yoimg si
riducono ad uu solo, come pure i rapporti di Pois-
son e'si riottengono precisamente le formule (4)
del Cap. precedents.
Poiche in ogni molecola le rette principali di
(leformazione sono definite da tre equazioui, rife-
VpiGT : The) tnodynamik, 1. c, p. 337,
Cap. V. § 5. For mule per la trasformazione. 173
rendoci a questi come assi, i coefficienti o i mo-
duli di elasticita si ridurrebbero a 18; ma e con-
veniente lasciare indetermisata l，orientazione degli
assi, cbe in ogni problema converra scegliore in
modo opportuno.
Circa poi la determinazione di questi moduli
sark detto qualchc cosa in seguito.
§ 5. Formule per la trasformazione. 一 Te-
niamo present! le posizioai o i risultati del § 7
del Cap. 3", e siano Cmn i coefficienti, s,"n i mo-
duli di elasticita relativi alia terna x, y, sr, c'mu ,
s'mn quelli relativi alia terna x\ y\ z\
Otterremo la trasformazione delle c nelle c', va-
lendoci di alcune note proprieta (jielle forme qua-
draticlie.
. Per ragioni di simmetria diciamo Xi , x'i le com-
ponenti di deformazione ； Xi , Xi le componenti
special! di pressione con segno cambiato. II poten-
ziale uTiitario e rappresentato dalla forma qua-
dra tica
- 尸= 2 Cpq Xp Xq ^
oppure dalla forma reciproca
Inoltre e
le qaali rispettivaraeute trasformano Fix\ f q rc-
ciprocamente.
(7)
(8)
174 Cap. V. § 5. Formxde per la trasformazione.
Confornfie poi al § 7 del Cap. 3。， abbiamo da
considerare la trasformazione ortogonale
oTh^^yhix'i , (9)
e la in versa
iC'g = 2 - (10)
Colla (9) la f st m.uta in f e se poniamo
= 2 Chk Khi 丫 w x'i x'j ,
risulta sabito
C^pq -=["21 ViP '(hg Chk (11)
che dk la regola per la trasformazione delle co-
stanti elaetiche.
Passiamo ai moduli e sia F la reciproca di
r, cio&
F r - 2 s'pff X，p X, Q 、
che colla sostituzioue analoga alia (7)
si muta in f\ Ma questa colla (10) si muta in f、
la quale a sua volta colla (8) si muta in F\ sic-
che la F' si trasforma in F colla sostituziono
prodotto
X， p ^丄 C pq 、{ iq Sij Xj ；
od ancho per la (11)
X'p ― 21 Cfd- yhp 、Uq Vq sa Xj •
Cap* V. § 5. Formule per la trasformazione. 175
Soinmando rispetto b. q e notando che
e zero od uno secondo che k e diverse o eguale
ad i, risulta^
X'p = 2 Chk v'p s^J •
Sommando rispetto a k ed osservaiido ancora che
2 Chh SkJ .
e zero od tino secondo che h e diverse o eguale
ad y, risulta
X'p = 2 1hp Xh
oioe la F' si trasforma in F colla sostituzione
trasposta delta (9).
Di qui si deduce inversamente
onde, come per la (11),
S'pq = 2 yhq Shk • (12)
Sviluppando p. e. s'33 che ha, coine Yedremo,
uno speciale interesse, si ha
= 丫 ^11 + 丫 S-2 + 丫 S33 + . • • + YgS^ %
+ 2 丫 13 丫 •• •
Se in particolare il sistcma e trimetrico (vedi
piu sotto § 8) si hanno i soli nove moduli su ,
Si2> se gli assi rr, 2/, ^ sono gli assi di
176 Gap: V. § 6. Cenno stiUa teoria tnolec,^ eec^
simmetria: e inoltre •
Yi3 ~ agS, 丫 23 ：= p3^, Y33 = 了 38， 丫 43 ~ P3 丫3， • •
qoindi
Sss 。 * Ps^ 6*22 ♦ Ya^Sss ♦ (s" ♦ 2%) 丫 a* ♦ (4')
§ &• Cenho sulla teorta molecolare del prof.
Voigt. 一 Osserviamo col Voigt che se non ci pro-
ponessimo altro scopo che quelle di ottenere le
leggi eleraentari della elasticita sotto una forma
rispondente alia realty, dovremmo dichiaFarci sod-
disfatti della teoria delle azioni immediate. Ala
sorge spontanea la domanda : perchfe I'ipotesi mo-
lecolare, che ha pur fatto ottenere risultati tanto
notevoli in altri cam pi della fisica, conduce nella
elasticita a risultati inesatti? Tale ricerca e poi
molto istruttiva riguardo alia teoria della costi-
tuzione della materia
Ora questa ricerca ha inostrato clie rantica
teoria molecolare della elasticita parte da un con-
cetto inutilinente specializzato ； cioe dalla ipotesi
che le azioni molecolari siano centrali, oltre che
dipendenti dalla sola disfanza^ e non ha faUito che
per questo.
Una riflessione assai semplice sul meccanismo
deiraccrescimento dei cristalli avrebbe d' altra
parte dovuto convincere della ioammissibilit^ di
questa ipotesi; perche la formazioue regolare di
un cristallo in una dissoluzione in una massa
* Vedi la mem. pria citata del prof. VoicT : Wied, Ann,^'
16; 1882.
Cap. V. § 6. Cenno sulla teoria moke" ecc. 177
fusa non e concepibile altro che se un momento
direttore agisce sulla particella che va ad asso*
ciarsi al cristallo, dandogli una orieutazione pa-
rallela a quelle che fanjio gia parte deU'edificio.
L'esistonza di qnesti momenti esige quella di un
potenziale deir azione mutua, di pendente da orien-
tazioue e questo, a sua volta, conduce a forze cbe
variano pure colla orientazione della molecola e
non sono, in generale, centrali.
Cio posto il Prof. Voigt, supponendo il corpo
come formato da un aggregato di corpuscoli^ cioe
discontimia la materia ； supponendo che ogni cor-
puscolo risenta dagti altri delle azioni ridiicibili
ad una forza e ad una coppia decrescenti indefi-
nitamente col crescere della d i stanza ; ha ritrovato
le equazioni generali della elasticita sotto la stessa
forma ottenuta colla teoria del potenziale^ senza
che siano necessariamente verificate le relazioni di
Caiichy-Foisson *.
Non potendo esporre la minuziosa analisi del
prof. Voigt, aocenaeremo invece breyemente al
procediinento del Poincare.
Sia itf (•r, y, z) una molecola nel suo stato na-
turalo ； w, w le componenti del suo spostamento ；
-4, By C le componenti delle forze interne mole-
colari che si esercitano su M. II . lavoro di queste
forze intern?, pel teorema della conservazione del-
* Qaesta teoria trovasi esposta uei Theoretische Studien
uber die Elastic Uatavet -altnisse der Krt/sfalle, Ici' Theil :
Ableitung der Grimdgleichungen cms 'der Annahme mit Po-
laritdt begahter MoleMh, Abhand. der Konig-. Gesell. dor
Wise, za GottiHg^en, 34， 1887.
Mascolonqo. 12
178 Cap. V. § 6, Genno sulla teoria molec" ecc.
I'energia, e tale che
2(4 + J5ti " 十 CciwO-ci ?7，
dove U e funzione delle vario a: 4 n, . • . di pen-
dente dalle sole distanze delle molecole due a due.
Le Uf V， to essendo supposte infinitamente piccole,
terremo
cou Ui onaogenea di grado i nelle u\
Diciamo un' altra niolecola di coordinate
oj + ; r il quadrate del la sua distanza da
che dopo la deformazione diventi r + p; w + A 〃,
1； + A 1? , + A t (； le coniponenti di spostamenlo
Sara
P ~ Fi rs
con
Sviluppiamo ora ia serie 】a U, funzione delle
varie r + p ； tenendo conto che, entro gViniposti
limiti di approssimazione, si puo sostituire a
e Pi 9i a p p'， si ha
仏 =ir,i,
la somma va estesa a tutte le coppie di molecole
di cui si im 111 agin a composto il corpo.
Cap, V, § 6. Cenno sulla teoria molec,^ ecc, 179
Dividiamo questo in elementi di volume d t tali
che ill ognuno di essi le t?， w e le loro derivate si
possano ritenere costanti, ma graudissime rispetto al
raggio di attivita molecolare. Siano d t\ d t'' due
di questi elementi contigui ； la Ui relativa al vo-
lume somma consta delle parti relative a e
d?' e di quella relativa alle coppie di molecole
prese Puna in e I'altra in d 飞〃, in modo che
la loro distanza sia inferiore al raggio di attivita
molecolare e per5 contenute in una zona infinita-
mente piccola rispetto a dt' e d Tale parte es-
sendo trascurabile, la Ui relativa a tutto il corpo
si compone della somma dei valori relativi ai sin-
goli elementi d t. Lo stesso vale per ？ ； quindi
baster^ estendere in U、 e la sommatoria alle
molecole di rf^ e poscia fare la somma dei valori
cosi ottenuti per tutti gli elementi d t. Diciamo
U/ ed U2' le sommatorie nel primo senso dichiarato.
In uo elemento d.: sara ,
"(二 ; 4" ; " 十 r 《, ecc ；
e quindi
p,=2(a?2 + J yj2 + c :2 + f',、、 ? + •)'
dove le prs banno significati evident!.
Con cio la
V r
180 Cap» V § 6. Cenno sulla teoria molec.^ ecc
e espressa da una lunzione lineare, omogenea delle
sei componenti di deformazione e dipende quindi
da sei costanti.
La JJ2' consta di tre parti.
La prima e lineare ed omogenea nelle prs e
cogli stessi coeflScienti di U,.
La seconda, quadratica omogenea nelle Pi, e
pure quadratica omogenea nelle a, b, … h e con-
tiene 21 coefBcienti; ma non sono tutti diBtinti.
Infatti
2
a2 + • • • + atgg &2 + 2 o«33 6 c + • • • ,
dove
2:2, •••
2"《， …；
eliminando le ；, >], 《， otteniaino 18 relazioni tra le
oc, di cui solo sei lineari, cioe
«14 二 a
5n
Quindi risultera
1 V 32 fj
+ 2 C23 J c
con
沪 U
a,
e pero
1 ' •
sir. ，；
4 4
II II
4 1
. 2
4 2
4 4
1 9
Cap. F. § 6. Cenno siilla tebria molec.、 ecc. 181
che Bono precisainente le (1); ma non sussisteraniio
piu tra le c relazioni analoghe a quelle non liueari
delle a ； dunque la seconda parte di V'2 contiene
soltanto quindici coefficienti distinti.
La terza parte finalmente, ancor essa quadratica
ed omogenea nelle a， J, . . . h, contiene 21 coef-
ficienti tutti distinti. Basta osservare che il pro-
dotto Pi Pi' e esso stesso quadratico ed omogeneo
nelle a, i, . . . A e con coefficienti dipendenti da
v), C， l\ V, 《； tra questi sussistono quindi 15
relazioni, nessuna delle quali e lineare.
Dunque Tespressione completa di Ui e JJ; con-
tiene, in generale, ventisette coefficienti distinti.
Consideriamo ora tre casi particolari.
1.0 forze esterne niille nello state naturale.
Esaendo w = t? = w = 0, tra le equazioni di equi-
librio devono figurare le seguenti
d w dv dtv ，
sara dunque Ui e quindi U\ nulla; cioe
e pero e nulla anche la prima parte di U、; sic-
chb i coefficienti si riducono a ventuno,
2.^ le forze molecolari siano forze cenfrali
(antica teoria molecolarej. Allora, com' e uotissimo
U " ir 卜 P) + {r' + p') — . • • ；
182 Cap. F. § 7. Forme del potent, di ehst, ecc.
quindi
- -邕； 0,
drd r'
la'terza^parte di 1]\ e nulla; i coefficienti si ri-
dvLCono a ventuno e sassistono le relazioni di
Cauchy.
3.0 le due ipotesi precedenti sussistano con-
temporaneamente ； la terza parte di JJ、 k nulla
e i coefficienti si riducono a quindici,
Applicando ora il principio dei lavori virtuali si
ottengono le note equazioni indefinite ed ai limiti
per requilibrio con un numero di oostanti dato dai
uameri precedenti *•
§ 7. Forme del potenziaie di elasticita per i
vari sistemi cristallini. 一 In un cristallo, ridotto
a forma determinata, dicesi simmetria di forma la
propriety di sovrayporsi a sh etesso oon certe ope-
razioni geometriohe: rotazioni, riflessioni, rispetto
ad un piano, inversioni rispetto ad un centre, in
modo che le direzioni della prima posizione coin-
cidano con quelle della seconda che loro sono equi-
valent dal punto di vista dei fenomeni di acore-
scimento e dissoluzione.
L'esperieoza ha poi mostrato che e sempre ve-
rificata la segaente legge di P. Neumann : le po-
sizioni equivalenti dal punto di vista della forma 、
lo sono ancora rispetto alle proprieta fisiche.
Per rispetto alle relazioni di simmetria si di-
stinguono 32 gruppi di cristalli secondo la classi-
PoiNCARE .• Le^, sur la Thiorie de Velast. p. 27 e scg.
Cap. V. § 7. Forme del pofenz. di elast.^ ecc, 183
iicazione di Schonflies * e quest! si aggruppano,
com' e noto, in sette sistemi. Vediamo, nei sin-
goli casi, le forme che assume il potenziale.
Se il corpo e affatto qualunque (come p. e. i
cristalli del sistema triclino) il potenziale Don ri-
ce ve alcana semplificazione e contiene 21 coeffi-
cient! distioti.
Sapponiamo che il corpo ammetta un piano di
simmetria (cristalli del sistema monoclino) p. e il
piano y z. Mutando quindi ； r in - .r, in virtu della
iegge di Neumann, H non deve mutare.
jPer due particelle simmetriche rispetto y z siano
a, 6, ... A; a\ b' • • • h' le componenti di deforma-
zione : ti, v, w; u\ v\ w' quelle di spostamento.
Sara
= — w, v' = t;, =
e quindi
a = ―, r = TT— = a, b = 0， c = c, t -— /
a(-a?) a a:
Dunque 11 deve restare iavariato mutando g in
一 ^ ed A in 一 A; debboDO quindi annallarsi tutti
i coefficient! c dei termini che contengono sola-
• A. Schonflies, Krystallsysteme und Krystallstructw\
Leipzig, 1891. Yedi la recenslone del prof. Somigliana nel
Giornale di Mineralogia, Cristallojjrafia e Petrografia, 4;
1893. '
184 Cap, V， § 7. Forme del potent:, di elast., ecc.
mente g o solamente h a primo grado; cioe
Cl5 二 C25 ― Cs5 = C45 = = Coc, = ^^36 = ^4G ― 0-
Qui e intanto soddisfatta una delle relazioni (1)
cioe la quinta. I coefficienti di elasticita da 21 si
riducono a 13.
Supponiamo ora che il corpo abbia due (e quindi
tre) piani di simmetria ortogonali (cristalli del si-
sterna trimetrico); se anche il piano zoo e nn piano
di simmetria, il potenziale non deve mutare cam-
biando h ed f in —— he— f; dunque debbono
annullarsi i coefficienti dei termini che conten-
gono solameate h o solamente f a primo grado ；
cioe
Ci6 = ^26 = = C56 = Ci4 = Cj^ = C34 = C54 = 0,
sicche dei nuovi vanno a zero:
― ^24 = ^34 ― = •
E ora facile vedere che n non inuta cambiaudo
f Q g in — f 一 g ； i coefficienti si riducono a 9:
cioe
2 n = a2 + C22 4- C33 + 尸 + 。 、
(7)
+ c^^g^ i + 2 C23 & c + 2 c a + 2 C12 a b. I
La teoria molecolare antica esigerebbe ancora
e i coefficienti da 9 si ridurrebbero a 6
Cap. V, § 7, Forme del potenz, di elast.^ ecc, 185
SI ha
3000;
1340;
Ci2 =
1280 ；
II prof. Voigt ha determiaato le costaati c per
alcuni cfistalli di questo sistema *; I'unita di pres-
sioae essendo 10^ grarami per cm
topazio : Cii = 2870 ； = 3560
c" = 1100; ^55 = 1350
C23= 900; C3i= 860
bar it e : 907; 800; 1074
122; 293; 288
278 ； 275 ； 468.
Le relazioni (I) non sono verificate; solo per la
barite si ha approssimativamente :
^5o ^ ^31 •
E stato verificato che con questi valori la n e
efFettivamente funzione quadratica omogenea defi-
nita positiva.
Supponiamo che due degli assi di simmetria
siano tra loro elasticamente pennutabili (sistema
dimetrico). II potenziale e intanto della forma (7) ；
inoltre non deve mutare cambiando a? in y e quindi
II in ma con cio a si muta in b; f in g: cioe
n deve essere simmetrica rispetto a e 6 e rispetto
f Q g; quindi
C|l ― ^22 ； ^44 二 ^55 ； = (23; .
2 n = cu (a2 + hi") + C33c2 + 2co3(ic + c a) )
* Bestimtnung der Elasticitdtsconstanten von Topas and
Bari/L AVied. Ann. 34 ； pag. 981, 1888.
186 Cap. V. § 7. forme del potenz, di elast.^ ecc.
Le costanti si riducono a sei.
So infine tutti gli assi di simmetria sono elasti-
camente permutabili {sistema monometrico)^ H deve
risultare simmetrico rispetto a、 b, c e f、 g、 h;
quiudi
2n = cii("2 + is + c2)+ I
+ 2c,,{bc + ca^ab) + c,, {P + g'^ + Ir))
I coefficients si riducono a tre; montre le rela-
zioiii (I) vorrebbero aocora
Per i cristalli di questo sistema i tre moduli
principali di Young si riducono ad un solo, espresso
da ;
E = Cii--_% 二；
Cll 十
e C081 i sei rapporti di Poisson si riducono al solo
Ci2
X
C1I + C12
II coefficiente c", come pei corpi isotropi, di-
ces! la rigidita principale.
II prof. Voigt * sperimentando i segueuti cri-
stalli ha trovato :
Pirite
= 3680 ； = 1075 ； c,2 = — 483
Wied, Ann., 35; pag. 642.
Cap. V. § 7. Forme del potenz. di elast" ecc. 187
Fluorospato
Cu = 1670; C44 = 345 ； = 457 .
Salgemnta
0,1 = 477; C44 = 129 ； Ci2 = 132
Cloruro di potassio
ri, ■= 375 ； = 65,5 ； c,2= 198.
La relazione di Cauchy e approssiinativamente
vorificata pel salgemina; mentre per la pi rite of-
fre la maggior contradizione.
Per quest! cristalli e rispettivamente
E=3530, 1470, 418, 372.
Inoltre per la pirite e
>c= - 0,12.
Supponiamo che il corpo possegga sette piani
di simmetria ； uno norm ale alPasse z e gli altri sei
disposti simmetricamente intorno a questo {sisfema
esagonale). Facciamo eseguire alia coppia x y una
rotazione di 60** intorno 2?; otterremo una nuova
terna x\ y\ definita (coi suoi coseni direttori),
dal quadro
X y z
o 01
8
2
2 . o
-3
1 i 2
2 o
188 Cap. V. § 7. Forme del potenz. di dast., ecc.
Le componenti di deform azione rispetto alia
nuova terna siano : a\ b' • • • h' applicando le for-
miile del § 7. Cap. 3°, troviamo
2f' = f—\flg; 2g' = \l^f + g;
2 h' = —\j~3a + b 卜 h.
La forma del potenziale e anzitutto quella (7)
del sistema trimetrico. Sostituendo alle a,b^ * h,
le a\ Z/, . . . h\ n non deve mutare. Fatta la so-
stituzione si trova che il coefficiente di (cioe c^)
e quelle di 6'^ sono rispettivamente dati da
3
C6G +
1
Cn +
9
6
i"
l6
16
9
1
^2 2 +
o
6
16
C[x +
16
4 ^co "
16
si ban no quiadi le due equazioni
Cn + 9 f 12 Cer, + 6 c^g = 16 Cn
9 Cn + C22 + 12 ^66 + 6 Cj|2 = 16 C22 ,
dalle quali per sottrazione si deduce
^11 ― ^28
e quindi
2 ^*60 ^ <^J 1 一 •
1 coefRcienti di e sono rispettivamente
Cap, V. § 7, Forme del poienz. di elast., ecc. 189
dati da
丄 1
onde
quindi
II coefficiente di Ac e nullo e ci da ancora
C23 ~ ^31 •
Seuza ora continuare iiel confronto dei van
coefficient], possiamo osservare che, teiiendo conto
delle relazioni gia trovate, la forma (7) diventa
2n=cu {a' m + c'+2 c,, (a 4 b) c+c" iP +
+ Cqq + (2 a ― 4 Cgg) a h ；
oppure
2 II = c】i (a + bf + c2 + 2 Cgs {a-^-h)c + \
+ 十 力 + ^66 (AS — 4 a 1
Allora 2 n essendo una combinazione lineare
de^li invarianti ortogonali di rotazione (Cap. 3。，
§ 5) non muta qualuaque sia la rotazione che si
imprime al sistema x y ： essa c duuque la forma
richiesta.
Essa contiene 5 costanti spetta ancora a quei
corpi (legnami, materiali da costruzione) che pre-
sentano isotropia incompleta.
3 一 4
5
3 -4
4
1 14
190 Gap. V. § 7. Forme del potenz, di elast, ecc.
Le relazioni (1) richiederebbero aucora
Le esperieuze del prof. Voigt sul Berillo * hanno
(lato i seguenti risultati
fn=2746; = 2409 ； (； 2； = 674; = 666 ； C6(;-883;
la (1) e approssimativamente soddisfatta.
Si considera dai cristallografi ancora la forma
einiedrica del sistema esagonale come un settimo
sistema (romboidalej.
Se consideriamo un esagono regolare di vertici
opposti A, A'; By B ; G, C dovremo considerare
dei piani alternati p'assnuti per I'asse ZZ\ nor-
malo all'esagono nel suo centre ； cosi le facce del
romboedro sono : ZA B, Z' B C, ZCA', A! B\
ZB'C\ Z' C'A.
Queste forme e quindi 11 debbono restare inal-
terate per una rotazione di 180。 intorno AA' q
di 12Cr intorno Z Z,. Procedendo come nel caso
precedente si trova
2n = cn (a' + 6" + C33 c2 +
斗 2 (a + i) c + 2 c,2 « & +
-\-2c,、"fa 卜 b(j I fg)
Wied Ann. 31， pag. 474, 1887
Cap. V. § 7. Forme del potenz. di elasL, ecc 191
con sei costanti. Le relazioni (I) divenfcano
― ^^?3i ^12 ― OjG — "2" (^U 一 ^12)
cioe
Le esperienze del prof. Voigfc * sul quarzo hauno
iavece dato
Cn = 868; ('33= 1074; ^2； = 143.
c,2= 70;c"= r382; cu = 171;
le relazioni (I) non sono soddisfatte..
Supponiamo finalmente si tratti di un corpo iso-
tropo, di UQ corpo cioe che si comporti egiial-
mente in tutti i sensi per riguardo alle proprieta
elastiche. La forma di n sara anzitutto quella che
spetta alia iaotropia inconipleta rispetto Passe z
cioe la (10). Lo stesso deve valere per I'asse a;;
onde
+ 2 c'23 (6 + c) a f c'44 (Ji^ + g^) + Cqq (p — c),
che non deve differire dalla (10), quindi
c* J I =z d X = c 33 = C33 ; a 4i = r,;,; 二 二 c (； (； ；
2 (*2 '] = ― 4 C GG 2 C 33
Ibidem.
192 Cap. V. § 7. Forme del potenz. di elast, ecc.
e pero
2U^c^Ai(^ ^ by + c^]+cu{r + ff^ + - "^ab) +
. +2{cn-2cu) {a + b)c
od anche
2 n =： cu (a+'b + cY +
che e una combinazione lineare dell' invariante
quadratico e del quadrato delP invariante lineare ；
dun que n restera invariato in qualuuque trasfor-
mazione orfcogonale. La forma preoedente e iden-
tica con quella gia trovata al Cap. 4。 § 4 par-
tendo da un'altra definizione dei corpi isotropi. Si
conclude pero . Videntita delle due definizio7\i come
avevamo accennato al § 3 dello stesso capitolo
Si puo inversamente di most rare che non fa-
cendo alcuna ipotesi sulla struttiira del corpo ela-
stico considerate, se si cercano le forme che puo
assuraere il potenziale di elasticity per efFetto di
proprieta di simmetria, si trova che esse sono tutte
e solo quelle che abbiamo trovate col proeedi-
mento diretto esposto in questo paragrafo **.
• Abbiamo seguito in tutta questa deduzione il metodo di
MiNNiGERODB, Nachrichten v, d. Konig. Gesell. zii der Wiss.
zii Gottingen^ 1884; Untersiichungen tiber die Symmetrie-
I'erhdltnisse an f die Elasticitdt fester Korper ; metodo eeguito
anche dal Love nel libro pfia citato. Vedi pure: Stony,
On the Elastic Potential of Crystals, American Journal of
Mathematics, 1; 1878.
* SoMiGLiANA; Sul potenziak elastico. Annali di mat. 7 ；
1902.
Vedi anche le due note dei Rend. Acc. d, Lincei, marzo 1894 ；
gennaio 1895.
， ―
Cap. V, § 8. Conclusioni del prof. Voigt. 193
§ 8. Conclusioni del prof. Voigt. 一 Nell, ultimo
capitolo daremo un cenno del metodi adoperati
dal prof. Voigt per la defcerminazione delle costanti
elastiche o ineglio svilupperemo i loro fondainenti
teorici *. Accenniamo tuttavia le conclusioni che,
alio stato attuale della scienza, si sono potute ri-
cavare da queste ricerche.
1.0 Uipotesi di forze molecolarl agenti secondo
la lima del centri delle molecole e dipendenti dalla
sola distanza deve essere definitivamente rigettata,
2° Le for mule con 21 costanti fpoli- costanti)
si debbono considerare come in pcrfetto accord o
coUe osservazioni^ entro i limiti nei qiiali h va-
lida la legge di Hooke.
I cristalli ctibici, bencM otticamente iso-
tropiy sono elasticamente anisotropL
4.o， / cristalli del sistema romboedrico, bencM
otticamente equicalenti a quelli del sistema esago-
nale, sono estremamente divef^si rispetto alle loro
proprieta elastiche,
Cosi la dolomite che cristallograficamente ras-
somiglia tanto alio spato, ne e estremamente di-
di versa per le proprieta elastiche.
5.0 Conw, in generals^ nei corpi isotropi cost
anche in alcuni cristalli, una dilatazione longiin'
dinale d accompagnata da una contrazione tm-
* Voigt, Allgemeine Formetn fur die Bestimmxing der t)ta*
sticitdlsconstanten von K^ystallen durcli die Beohachtting der
Biegimg imd Drilliing von Prismen. "Wied. Ann 16; pag. 278,
1882. ― Ueber die Torsion eines rechtigen Prismas axis ho-
mog. kry stall. Substcmz, ibidem, 29; pag. 604.
Marcolongo. 13
194 Cap. V, § 9, Equazioni di eguilibrio, ecc.
sversahy come nel topazio; altri cristalli invece per
una dilatazione nel sen so degli assi principali su-
biscono una dilatazione trasversale: come p. e. la
pirite ed il clorato di sodio.
In quanto poi ai corpi isotropi si deve osservare
che applicando loro la teoria del Voigt^ si otten-
gono le equazioni delV equilihrio con una sola co-
stante. Pero il prof. Voigt non esita ad abban-
donare il solito concetto di corpi isotropi.
Tutti i metalli, quasi tutte le rocce compatte,
si presentano come aggregati di cristalli di gran-
dezza variabile a seconda delle circostanze e uniti
in tutte le possibili orientazioni : in certi corpi,
p. e. in alcune specie di vetri colorati, la stessa
struttura e resa visibile colla corrosione di una
superficie levigata.
Ora il prof. Voigt ha dimostrato che ammet-
tendo i corpi isotropi formati di frammenti di cri-
stalli assai piccoli, si trovano 】e equazioni del-
1， elasticity con due costanti e per le quali il
rapporto di Poisson piio assumere qualunqiie va-
lors,
§ 9. Equazioni di equilibrio ed untvocita della
soluzione delle stesse. —— Poiche le componenti di
pressione sono funzioni lineari od omogenee delle
componenti di deforniazione, cioe
X
Cap. V. § 9. Equazioni di equilibHo, ecc, 195
abbiamo
dXa: 》2 》2"
Cll 7^ + C\2 TTTT:: + …+
dx dx
fx^ ' dxdy
+ I + TTT^. I ， ecc.
Sostituendo queste espressioni nelle equazioui
indefinite ed ai limit i per I'equilibrio di un corpo
contiQuo (Cap. 3。， form. 20 e 21) otteniamo che:
le equazioni indefinite per VequUibrio di un corpo
elastico anisotropo sono equazioni differenziali si-
multaiiee del secondo or dine rispetto alle derivate
parziali delle componenti di sposiamento^ lineari
per una detenninaia tenia di assi^ con coeffi-
centi costanti,
Esporremo nel Cap. 6.o alcuue delle recenti ri-
cerche sul problema della esistenza della soluzione
delle equazioni generali dell' elasticita. Ammesso
che tale soluzione esista, dimostriamo che essa ^
unica.
Premettiamo la semplice dimostrazione di una
identita.
Si voglia trasformare il seguente integrale:
La espressione sotto integrale e la somma di
tre espressioni che si deducouo dalla seguente:
0^ V dy oz
196 Cap, V, § 9. Equazioni di equilibrio^ ecc
Trasformiamo ognuna di queste col lemma di
Gauss, e notiamo che sussiston sempre le (4) ； giun-
geremo quindi alia seguente identita:
/I
+ … + Trrl h ― ―." a S =
da doc … df\dy d z,
_({(dX. dXy dX^\ I }{\2)
= ！ \\ ― i- ― H ― — I li 七 ...| a o -h '
M dy dz ) )
+5[{Xx cos (n,a:)^Xy cos +•••)"'+••• '
Dimostriamo ora che:
la soltizione generale delle equazioni delVequilihrio
elastico c imica quando in superficie sono dati gli
spostamenti oppure le forze.
Supponiamo invece che esistano due soluzioni
u\ v\ lo' ed w''， v'\ t""; alia prima corrispondano
le pressioni interne X!x * -., e le componenti di de-
formazione a\ b', . . . k' ; alia seconda le X"x ， ...
e le a'\ 6"， . . . h".
Siano in primo luogo date le pressioni superfi-
ciali : allora in ogni punto interne al corpo ela-
stico dovrk aversi :
V- 8 X'x , d X'y d X，z
ooo dy
d X!， X d X'，v d
= —- 1 — r 1 — - —— , ecc.
dx dy
ed in ogni punto del contorno:
Xn = X'x COS (n, a?) + . . . = X^aj cos (n, x)
Cap, V, § 9. Equazioni di equilibrio, ecc, 197
Poniamo:
," _ -~〃
u ― u =tf, a 一 a = a, . .
X'x 一 X''x ― Xx ； ecc. • • ♦
ed avremo :
Xx 二 —I 「'一 ^ = - ^ ； ecc.
riguardando n formato colle a, b、 … alio stesso
modo che h formato colle a', . . . h' •
Dunque in ogni punto interno del corpo
"^ + T7+li" = 0，ecc'; (13)
e in ogni punto del contorno:
Xx cos (w, or) T Xy COS (w, 2/) + Xz cos (w , 2：) = 0, ecc. (14)
Si faccia ora nella (12)
in virtu delle (13) e (14) otterremo :
/I
^ J )
cio che e assurdo, per easere sempre n >0; a meno
che non sia " = 0; il che esige
a = b = ...- h = 0,
le due defonnazioni a', ... h' ed a", • . . h" sono
dunque identiche e gli spostamenti corrispondenti
198 Cap. V, § 1). Teorema di recipr. del Betti
(Cap. 30， § 3) non differiscono che per un moto
di corpo rigido.
Se poi in superficie sono prestabiliti gli sposta-
menti del corpo, abbiamo su <i:
u' = w'〜 V' = v〃, = w''
e quindi
u = V ^ w =
e la (12) conduce alia stessa conseguenza.
Lo stesso ragionamento e applicabile anche
quando in superficie e data parte delle forze e parte
degli spostamenti; ecc
Possiamo ora poi concludere :
le equazioni indefinite ed al eontorno sono neces-
sarie e sufficienti per I'equilibrio di un corpo da-
stico.
§ 10. Teorema di reciprocita del Betti. 一
Nella (12) supponiamo che le u', v\ w' rappresen-
tino le componenti di spostamento dello stesso
corpo elastico, soggetto a forze di massa X\ Y\
ed a forze X'n , , Z'n agenti al eontorno.
Intanto la (12) puo scriversi
In modo aualogo si trova che
Cap, V. § 10. Teorema di recipr. del Betti. 199
Ma essendo n quadratica ed omogenea si ha
""+ - + "7+'" 、"了 广^' +
quindi risalta
f9{Xii' + Yv+Zw')dS +
•f / {Xn V + Tn + Zn W?') da =
+ fiX'n U + r n V f Z'n ？ d <T
(15)
la quale esprime il teorema di reciprocity del Betti *.
Esso puo enunciarsi cosi:
se un corpo elastico i soggetto a due sistemi di
forze, il lavoro compiuto dalle forze del primo
sistema quando gli spostamenti sono quelli spet-
tanti al secondo^ I uguale. al lavoro compiuto dalle
forze del secondo quando gli spostamenti sono
quelli spettanti al primo.
Nel capitolo seguente yedremo alcune delle nu-
merose e svariate applicazioni di questo tra i piii
notevoli ed importanti teoremi della teoria della
elasticity ； ma possiamo fin da ora accennare qua 卜
ohe sua elegante applicazione.
Supponiamo che le componenti della seconda de-
formazione siano costanti: quindi, come si vede
* Betti, Teoria della elasticity. Cap. vi, I^uovo Cimento,
7， 8， 9, 10; 1872. Ann. d. Matem. 6; 1875. La forma delPe-
nanciato e del Levy, Compt, Bend., 107; pag. 414 e 453, 1888,
200 Cap. V. § 10. Teorema di recipr. del Betti
subito,
=s a' X -[- y g' z; v' = V x y f z;
10^ =s g' X + f y -\- c' z
essendo a', b' • • • h' delle costanti. Saranno quindi
anche costanti le componenti special! di pressione ；
p. e. sara
X，x = u4' , , . . Xy = H\
Si vede sabito che una tal deformazione e pro-
dotta da forze di massa nuUe e da trazioni in su-
perficie di componenti
Xn ， =A! cos (n, x)-\rW COS (w， + (？' COS (ft, z) ； ecc.
II teorema di Betti oi da
19\X(q! x^-)x'y \ g' z) f...ldS +
+ l\Xn ici x + A' y + ^ 2?) + . . • ) rf <l =
=/ju (A^ cos (w, x) +ff , cos (n, y ) +Cr'cos {n^z)) ^..]d<5 =
J d X j\dy dzi
Dando particolari valori alle A\ H\ potremo,
risolvendo solameDte delle equazioni lineari, tro-
vare le a'， . • . h\
Facendo quindi
A' = B' = C' = l; O' = F' = H' =
potremo trovare la dilatazione cubica totale del
corpo espressa per le forze di massa e per le ten^
sioni in superficie.
Cap. V. § 10. Teorema di recipr. del Betti. 201
Nel caso particolare dei corpi isotropi
— ^'=X(a'+ 6'+ c')+2(Aa', 一 F' = 2^f', ecc...
come risulta dalle (12) del Cap. 4.。； e per le ipo-
tesi suddette sara
f，==Sf' = h, = Q ed a' = b' = c'
donde
3 X a' + 2 a' = 1 ; '
, 1
a = - . > ：
3 X + 2 jx
e peri)
{3\ + 2\^)SBdS=Sp{Xx+ Yi/ + Zz)dS +
Se in particolare
X=Y=Z=0
Xn= Pcos (n a?), .. .
cioe se il solido e soggetto ad una sola pressione
uormale in superficie e costante, poich^
/ {x cos («, ot) + y cos (m, y) + 2?cos(n, z))dS=—3
risulta
(3X + 2{A)/®dS= — 3SP.
204
Gap, V. Nota,
pure tra loro indipendeDti ； onde deve essere
cioe la forma proposta e un differenziale esatto *•
• Qaeeto teorema in generale h dato dal Betti, Sopra gli
spazi di un numero qualunque di dimensionu Ann. di Mat.,
4; 1871. Da queeto si pu6 agovolrnento dedarre il tcorcma
di Stokes. Vedi Magot, Atti Acc. Gioenia di Catania, 4 ; 1892-
dQr
dQs
d qs
CAPITOLO SESTO.
TEOllEMI GENEBALI SULLE EQUAZIONI
DELl'eQUILIBRIO DEI CORPI ISOTROPI.
METODO DI INTEGRAZIONE DEL BETTI *.
§ 1 , Espressioni degli spostamenti. ― Ripren-
diamo per maggior chiarezza le equazioni indefi-
nite per requilibrio tr ovate al Cap. 4.，） Le equa-
zioni indefinite bodo:
(Q2— w2)P + w2A2M.= (1)
e due analoghe : oppure
X+il^— i oM- —-1 = 0, ecc. (I )
* Sa (xaesto capitolo vedi Bopratntfco la memoria capitale
del BnTTi, Teor, d. elasticity, gik citata : le Ricerdhe sulVequi'
librio dei corpi elastici isotropi del prof. Cerruti, Memorie
Acc. d. Lincei, 13 ； 1882. CesIro, libr. gik citato, pag. 100 e se-
guenti. Love, libr. citato, Cap. vni, Vol. i.
206 Cap. VI. § 1, Espressioni degli spostamenti.
Le equazioni ai limiti sono:
丄 i +2 0, ^ + (Q2 -2a)«)e^ +
P dn an . , .
+ 1 To T.> — I 0, ecc. :
\ a n ' dnj
oppure:
—L f w2 - —— h (Q2 — 0)2) —i +
p a n a n
丄 J^vdy 2 "a ？、」 、 ,.),、
+ 00" I - — —— I 4- 、 (2 )
\dx dn dy dn] ' '
， 2(dtc d z d w dx\ ,
+ \ Q ~3 o - ：7 — 卜 0, ecc. /
\d ocdn d dn) ！
II problema che si tratta di risolvere e il se-
guente:
tin corpo isotropo wggttto a forze di masm b de-
formate pet' mezzo di trazioni date sulla super ficie
del corpo ； si viiole determinare la deformazione^
determinare ciok per ogni pmtto del corpo le com-
ponenti t?, w dello spostamento.
Un altro caso note vole, ma fisicamente meno im-
portante, e quelle in cui in superficie si conoscono
gli spostamenti; oppure potremmo supporre di co-
noscere su di una parte della superficie limite 】e
forze e sulP altra gli spostamenti ； oppure parte
dclle forze e degli spostamenti,* ecc.
11 problema consiste nella integrazione delle
equazioni differenziali (1)， snbordinatamente alle
condizioni (2) valide in superficie se ivi sono note
Cap, VI. § 1' Espre^sioni degli spostamenti. 207
le trazioni superficiali: se poi sono assegnati gli
spostamenti, le funzioni u, 2，, w debbono sempre
80(1(1 isfare le (I) e ridursi in superficie a funzioni
note arbitrariamente date, ecc.
Tal problema, come abbiamo gia dimostrato, e
completameute determinato dalle condizioni pre-
cedent!', a meno di un moto di corpo rigido.
Valendoci ora dolle (1) e (2) possiamo trovare
in un pun to qualuuque del corpb le espressioni
degli spostamenti in fuuzione delle forze, della di-
latazione cubica e degli spostamenti in superficie.
Infatti per la formula di Green (Cap. 1, for. 10')
si ha:
1 d tc\ ，
d(s 一
r d n) \ (3)
in cui (ti, ？/ j, Zi) e un punto arbitrario, ma fisso
iieiriiiterno del corpo, nel quale si vogliono cal-
colare le componenti di spostamento ； r e la di-
stanza variabile del punto suddetto da un altro
punto qualunque a-, y, z variabile e nell' interno e
alia superficie del corpo.
Moltiplichiamola (1) per 丄 ed integriamo a tutto
T
lo spazio occupato dal corpo ； otterremo :
f — S + (Q2 一 a}) [ 1 丄 + 2 1 丄 mis- 0.
J r J r X J V
208 Cap. VI. § 1. Espressioni degli spostamenti
Ora osserviamo che:
1
1 d® d l&\ " r d /®
二 — I ― I ― — = — I 一
d
1
r
+ =
d "1
e cio perche e:
d
3 丄
r
d Xi \ ，•
r
e perche 0, dilatazione nel punto generico a?, y, 2,
e certamente indipendente da iP,, , ； s?" Appli-
cando poscia il lemma di Gauss si ha:
( — X "~ d S - --- —
r doc
dn r d ^\ J r
Danque:
X
r
e
一 dS —
(4)
一 (Q2 一 0)2) I \- oj2 I d S = 0.
J dn r J r
Parimenti moltiplichianio la (2'j per 一 ed iate-
griamo a tutta la superficie del corpo ； si ha:
1 r r ^ ^ I 2 f " " 丄 /o2 a 丄"" ,
— — + (o* I 1- (U^ —— oj*) I ® 4*
p J r J dn r J dn r
+ bi
2
d V dy d ^ d oo\d (X
2
^ X d n
ndw d z
d X dn d ^ dni r
dy d n) r
d x\d <5
+
=0.
Cap, VI, § 1. Espressioni degli spostamenti 209
Qui occorre osservare la segaente identita
d V d y d t) d x\(I (T
d X d n d y d n) r
+
+
弋
rax
5)
d X d n d y d n,
la quale permette di eliminare le derivate degli
spostamenti in superficie.
Infatti se cj e rinsieme di e della superficie
sferica di raggio r e di centro Mi , che limita
lo spazio Si contenuto in S， si ha:
d (v
dv\r I dn
d X)
r
dx dy dy dx
serapre in virtu del lemma di Gauss. Ma la parte
dell， integrals del primo membro relativa a e
d V dy d V dx\d (t!
[d X d r dy dvj
V id rdy dr dx
r
\dxd r dydr,
da"
il secondo integrale e identicamente nuUo ； il primo
tende a zero col tendere a zero di r; e dunque
nullo r integrale esteso a e quindi e vera la (5).
Mascolongo. U
210 Gap, VI. § 1. Espressioni degli spostamenti
Osserviamo aucora un'altra utile trasfoVinazione:
。 3'
d (8v l\ d ldv]_ _
dy \dx r I dix^Xdy r }
d V dy dvdx\d^
dx dn dydn) r
Quindi per la (5) risulta
dx dy dy
(6)
^ r dx , 7
doo dn dydn
La stessa identita (5) vale per w, Mediante queste
duo identita i due ultimi integrali della priinitiva
eguaglianza, presciadendo da w^, si trasformano in
quest!
Cap, VI. § 1. Espressioni degli spostamenti, 211
0(1 anche ia questi altri :
dz] r
W -r— / - ~~ (iff f
dy 丄
dti d nl d ^
. 1 . 1
― d 一 V — I ，
r , r , r \dx ,
h V - — - + w / — d
Se quiudi poniamo
dx dy , d z
Sn = U- r V - - + W -r-
an a n a n
R
a 丄 ^^ a 丄
r r r
u -- ~^ ' + V -―- + w
(7)
dz
Sn rappresentera la componente normale dello spo-
stamento in superficie, ed avremo
1 dff , qfdu d<y ,
1 L h I h
p J r Jan r
\ " " r 丁 dx,
+ 二 0;
J an
s"^ + 》(8)
r
perche ancor qui si notera che
212 Cap, VI. § t, Espressioni degli spostamentL
Moltiplicando ora la (3) per ^ sommando a
secondo membro le (4) ed (8), otterremo
r
dS . 1
X— +
r
P
d
1
r
dn
J dn doc J r
.1
Sn
r
Formule analoghe si otterranno per v e w; per
porle sotto la forma piii conveniente converra
usare alcune abbreviazioni.
Poniamo
dS
r
V = \sn
d
r
(9)
Tf^ e il valore in (a?i , , Zy) della fuDzione poten-
ziale di una distribuzione di materia (atta in S
colla densita ®; F e il valore nello Btesso punto
della fuDzione potenziale di uno strato semplice
cleposto su 0" colla density Sn . Quindi pel teoremi
di Laplace e di Poisson (Cap. 2**, form. 11), nel
punto (^1 , Vi , avremo :
W= - 4 7re(ar,,2/i,;2f,); S ^= 0. (10)
Cap. VI. § 1. Espressioni degli spostamentL 213
、 Poniarao ancora :
A =
r
丄
P
d <y
d
I
+ 二 二 丄"、 2
r
r
十 wi w
dn
丁
an
5-： Y
dS
r
H 1 M }- w
丄
p
r
da +
dy
dn
d
1
r
w
r
r
d n
d
(11)
J an
Otterremo le formule seguenti:
？ W f) V \
(12)
d d Zi
che appunto volevamo stabilire e che sono dovute
al Betti *. Esse, come vedremo nei successivi pa-
Teor. (J. elastkita, § 8, 9.
214 Cap. Vl, § 2. Dilatazione cubica, ecc.
ragrafi, sono di grandissima importanza per tutta
】a teoria generale; ma non ci permettono an cor a
di assegnare in un punto del corpo gli spostamenti
in funzione delle sole forze e dei soli spostamenti
in superficie. Infatti in W comparisce ancora che
e incognita.
§ 2. Dilatazione cubica e componenti delle ro-
tazioni. 一 Deriviamo le (12) rispetto arj, j/i, e
poi sommiamo:
47：0)20(^ y 2:1)=— + r +
+ — 0)2) TT + w2 V
e per le (10):
4-^^20= + (13)
Sempre dalle (12) ricaviaino pure:
47： oj2 y = - -, ecc. (14)
Sviluppiamo ora la (13); bisogna derivare le (11).
Osserviamo a tal uopo che:
Cap. VI, § 3. Espre^s, degli spostamenii, ecc. 215
poiche, com'e facile verificare, si ha:
^ 丄 ^ 丄
r r
ecc.
B X d III doo^dy'
II coefficiente di u nella precedente sommatoria.
equivale a:
^ 1 ^ 1
a d— , a —
or a r
d^i dn dnd
come si verifica subito. Abbiamo dunque :
d ― 1 1 d 一
oil ? J oor^ {
,1 ， 1 Z (15)
1 d— \
+ 2 to^ y I «^ -— rfff ；' I
J 0^1 dn I
e questa ci fa. conoscere la dilatazione nel panto
0^1, 01 in funzione delle forze di iiiassa, delle tra-
zioni e degli spostamenti in superficie *.
§ 3. Espressioni degli spostamenti in funzione
delle forze e degli spostamenii in superficie. 一
Si puo stabilire per il sistema (1) un teorema
analogo a quelle di Green per reqnazione Ag ti = f?
Volendo estendere il metodo del § 7, Cap. 1^ oc-
Bettl 1 c.
216 Cap. Vl. § 3. Espress. degli sposiamenti^ ecc
corre assegnare degli iDtegrali particolari che fac-
ciano per le (1) lo stesso ufficio dell, integrals l:r
per requazione di Laplace ； cioe degli integrali
omogenei di grado 一 1 col solo punto singolare
Pi Oi, Vi、 Zi) a distanza finita.
Si possono assegnare infinite soluzioni partico-
lari del sistema (1), essendo nulle le forze di masss.
Infatti scriviamolo cosi :
(Q2 一 w2) ^ + w2 As \ = 0， ecc. (1")
Siano F， (？, ff tre soluzioni distinte della
^4 =
cui soddisfano le 5, >), C. Dico che potrerao porre
5 = a|^+A,F,r. = a|^ + A, G、
OX dy
dove
； = i\T —化 jj
m d F d G . d H
1 =7rr- + -7^ h ■；
dco dy dz
Supponendo infatti a costante ed eguale a
(一 + 0)2) ：
si soddisfa all 6 (!/').
Se F、 G, H sono omogenee di grado w, le
？, V), C saranno omogenee di grado n — 2. Ora noi
conosciamo un integrals della A4 = 0, omogeneo
di primo grado, cioe r (Cap. 1。， § 2): ponendo
Gap, VI. § 3. Espress, degli spostamenti^ ecc, 217
F=r, G = H=0 otterremo i seguenti integral!
delle (1") algebrici, omogenei di grado — 1 e col
solo punto singolare Pi a distanza finita,
dx^ r ，
力 1
丄 r 丄
(16)
Con permutazioni circolari dedurremo da queste
altre due soluzioni : • • • ; ^3, • 一 colle stesse pro-
prieta. La dilatazione cubica e i doppi delle ro-
tazioni corrispondenti a questa ipotetica defor-
mazione hanno quindi i valori
'"丄
d
1
2 OJ* ' f
go?, 1 ， 2
112
,T3 = — 2
dy
Valendoci delle equazioni ai limiti (2) potremo
assegnare le forze L,, Jtfi, da applicare in su-
perficie perche la deformazione corrispondente ab-
bia per componenti le (16); e si trova
d
Li = Axx — 2 p
丄
r
d 71
― 9
a 丄 d
r ax
p (•>* I — - ― ~~ 一
r dy
(17
dy dn d ^ dui
Ni = Axz —- 2 p
2
3\
rax
218 Cap, VI, § 3. Espress, degli spostamenti, ecc
dove
2 p to2 (n2 - to2) * 不
d 8V J r du\ (W)
dndudv du dn
Queste espressioni, lineari rispetto ai coseni del la
normale, sono omogenee di grado 一 2. Dico che
/ Li ffj = 8 p 0,, J Mid^i== J Nid<^i =0，
ffi esseudo una sfera di raggio r avente per centro
il punto P, ed w = r. Infatti i termini A
meno di un fattore, si riducono rispettivamente a
2 — y2 一 ； g2 3xy Sxz
e i loro integrali cstesi a ffj sono evidentemente
nulli ； mentre i coefficienti di 2 p sono :
0, 0;
quindi vero I'asserto.
Sarebbe ora facile dimostrare che le stesse val-
gono qualunque sia <r, , purche racchiudente il
punto Pj e riducibile ad una superficie sferica per
deformazione continua.
Escludiamo da S il punto Pj racchiudendolo
entro una sfera (^i, contenuta in S; sia Si lo spa'
zio restante e a questo, e ai due sistemi di forze
X， F, Z; L, M， N ed L,, M,, N,
Cap, VI. § 3, Espress. degli spostamenti, ecc, 219
applichiamo il teorema del Betti. Si ha
=/ (Li w -!-...) + / (Lj w + ...) ^1.
Facciamp impiccolire indefinitamente la sfera ffj ；
poiche ？ 1, rji, (1 diventano in Pi infinite come ― , il
primo integrate, sempre finite, ha per limite I'in-
tegfrale esteso alio spazio S.
Fassiamo al quarto ； detta w la superficie sfe-
rica anitaria, L\ il valore che prende Li su que-
sta, poiche
L\ = r* Li, d<^i = r^ d (Z
risulta
J Li u d(^i= J L\ u d (0 ;
quindi, con un noto* procedimento, se e il va-
lore di w in Pi, si ha
lim J Liud(^i = Ui J L\dc3 = J L、 d dj.
II quarto integrals ha per limite 8 p ！ ^ e
pero
8p7iyi/i = pj(X;i + ...)rf^ + 卜
+ / (L ?i 一 Lj w + . . . ) 7, $ 、
e due formule analoghe per t', e ii\ in cui
丄 1， • . ， hanno i valori (16) e (17) e quelli che si
deducono da questi con permutazioni circolari.
Queste formule fan no dipendere i valori degli
220 Cap. VI, § 4, BisoL, ecc. cogniti spost in sup.
spostamenti in un panto del oorpo dalle forze e
dagli spostamenti al contorno e costituiscono per
le (I) cio che il teorema di Green h per le fun-
zioni armoniche. In esse compariscono integral!
che possono interpretarsi come funzioni potenziali
di spazio, di strato semplice e doppio ^trato.
Collo stesso procedimento si puo dimostrare che
se il punto Pi ^ su <t in un panto ordinario,
nelle (18) occorre sostituire 8^ con 4 冗； nel caso
poi che Pi sia esterno, il secondo membro e nuUo.
Diremo in seguito del significato fisico dei vari
termini della (18); osserviamo qui solamente, che
gli integral! di volume possono interpretarsi come
coraponenti di una deformazione prodotta in un
corpo isotropo indefinitamente esteso da forze
(X, F， Z) che soUecitano gli elementi contenuti
entro S, supponendo nulla la deformazione al-
r infinite *.
§ 4. Risoluzione del problema deli'equilibrio
ela$tico， cogniti gli spostamenti in superficie. 一
Alio stesso modo che la determinazione di una
funzicme arrnonica in un certo spazio, allorche sono
noti i valori che essa assume al contorno, dipende
dalla determinazione della fanzione di Green (Cap. 1。,
§ 9), cioe di una funzione arrnonica che in super-
ficie assume valori speciali; cosi la determinazione
delle tre funzioni t?, w che soddisfano le equa-
* Le form. (18) sono dovate al prof. Somigliana : Ann.
d. Matem. 17; 1889, Bend- 1st Lombardo, 23, 1890 e Nuov.
Cim. 36; 1894. Su questo argomento yedi ancora la tesi del
prof. Lauricella : Eqtiilihno dei corpi eJastici isotropi ；
Annali della R. Scuola ^^^ormale di Pisa. 1894. Cap. 3.。
Cap. VL § 4. Bisol" ecc, cogniti spost, in sup, 221
zioni dell'equilibrio ed in saperficie assumono va-
lori dati ad arbitrio, dipende dalla conosceoza di
una speciale deformazione, che ora definiremo.
Siano y\, C le componenti di spostamento cor-
rispondenti a forze di massa nulle e a forze agenti
in Buperfioie e di componenti Lqi ^o, No.
II teorema di reciprocita del Betti ci da:
z(xus h Isfj^Sda — 丄2fA)"^^。 = o•
•/ p J p J
Sottragghiamo questa equazione dalla (15； ed ot-
terremo :
'2 丄
io 刀 1
(19)
d Xi d n
Volendo dunque determioare la dilatazione cu-
bica, bisogna cercare di eliminare da questa equa-
zione le L、 if, N che sono incogDite, perche sopra o"
si conoscono soltanto i valori di u, v， w.
Consideriamo a tal uopo una speciale deforma-
zione ausiliaria corrispondente a forze di massa
pulle e talo cl^e le componenti di spostamento in
222 Cap. VI, § 4. Rbol.、 ecc> cogniti sposL in sup,
superficie assucnano valori dati da:
. ^7 ^7 , ^7 (20)
1 =
Questo problema, analogo a quello della ricerca
del la fuuzione di Green, e certamente piu semplice
del problema della deterniinazione della deforma-
zione effettiva; ma non si puo dare nessun raetodo
per la sua soluzione. Notiamo che occorrera de-
terminare il valore di ；, v), C in un punto generico
X, J/, z; perche nelle (20) il puuto co^^Vi^ figura
come polo fisso. Per conoscere a loro volta queste
tre funzioni 5， *1, 5, basterk che, con qualche par-
ticolare artifizio, si giunga a determinare la dila-
tazione cabica .3" corrispondente ; supposta infatti
cognita 5、 dalle equazioni:
• (Q2 一 (,)2) + A2; = 0, ecc.
rieaveremo:
〜； y， 冰
essendo f una funzione nota di 't, y、 z; allora siamo
ricondotti al problema della deterrainazione di una
funzione ； regolare in S che soddisfa I'equazione
precedents e i cui valori in superficie sono dati
dalle (20); problema che si sa risolvere (Cap. 1。,
pag. 27) se si sa asseguare, per lo spazio S， la
fupzione di Green.
CogQita dunque in un modo qualunque la de-
formaisioae ausiliaria, le e<}uazioni (2) ci permette-
Cap. VI. § 5. Risol; ecc, cogniti spost. in sup. 223
ranno di calcolare le forze Lq^ Mq^ Nq da appli-
care in superficie perche la deformazione risultante
sia qaella di componeuti ；, •/], C La formula (19)
allora, dalla quale in virtu delle (20) sono scorn-
parse le L、 if, N, fara conoscere la dilatazioae
cubica, nel punto , , 2'i , della effettiva defor-
mazione.
Pinalniente la ricerca delle componenti w, .u\
esige aneora la integrazione delle :
X + {Q^ 一 «"^) 1- A, w == 0, ecc. :
le quali, essendo gia nota ®, sono della forma:
V" = /*0^i,yi,Zi), ecc.
meiitre in superficie sono noti, perche dati, i va-
lori di w, i?, w.
Siamo quindi ricondotti ad un altro problema
da riguardarsi come risoluto. La vera difficolta
del inetodo, come si vede, consiste nella ricerca
della deformazione ausiliaria, oppure della corri-
spondente dilatazione cubica.
II metodo precedents e dovuto al Betti ； e stato
modificato e poscia ridotto alia forma da noi
esposta dal prof. Cerruti *. Ne vedremo qualche
applicazione nel ca'pitolo seguente. Esso consta
dunque di tre parti.
1.® Determinazione della deformazione ausi-
liarioy od anclie della sola dilatazione cubica au-
siliaria*
Ve4i le gia citate JRicerche, p. 86， Cop. l,o
224 Cap. VL § 5. Hisol" ecc. cognite traz, super f.
2.0 Eicerca delle forze superficiali corrispow
denti alia deformazione ausiliaria.
3.0 Determinazione delta dilatazione cubica
effettiva mediante la (19)， e degli spostamenti ef-
fettivi,
Cognita la deformazione ausiliaria; supposto di
saper risolvere il problema dei valori al con torn o
per lo spazio S, i calcoli relativi alia seoonda e
terza parte non presentano difficoltk.
§ 5. Risoluzione del problema dell' equiiibrio
elastico, cognite le trazioni superficiali. 一 Si pu5
anzitutto mostrare che se in superficie sono note
le L, Mi ^ la determinazione della dilatazione
cubica dipende dalla ricerca di una speciale de-
formazione ausiliaria.
CoQsideriamo infatti quella deformazione di com-
ponenti v), C corrispondente a forze di massa
DuUe e a forze agenti in superficie e di compo-
nents
,1 ,1
g d- g d-
d^i dn dVid n\ (^"
. d-
Zi dn
Per la ricerca di qaesta deformazione, in gene-
rale pill semplice di quella che si deve col fatto
cercare, non si puo assegnare iiessun luetodo ge-
uerale. Tale problema ammette una soluzione
uaica purche il sistema di forze (21) sia di per se,
Cap, VI. § 5. Risol,、 ecc. cognite iraz. stipgrf, 225
dapposto rigido il corpo, in equilibrio. Che tale si-
stema sia verameate in equilibrio si puo proTare
cosi.
Infatti derivando rispetto a?i la (!/) del Cap. 1。,
potendo effettaare la derivazione sotto il se^ao
integrale, si ha :
/ Lq <7 = , ecc. • . .
Nella (3') del Cap. 1。, si faccia © = j/ ; avremo
. 1
d r d r
ed anche :
dn
analogamente :
d \ dS
r
=4 7： t/j ；
d \dS
d zi
r
Derivando la prima rispetto , la secouda ri-
spetto pi e sottraendo risulta :
S{y Nq — z Mq) d ff = 0, ecc
e pero effettivatnente le forze 力 。, Mq^ Nq costi-
taiscono un sistema di forze in equilibrio.
Ammettiamo determinata questa deformazione
ausiliaria; la (19), (lalla* quale, in virtu delle (21),
si elimineranno gli spostamenti in superficie, ci
Marcolongo. 15
226 Cap. VL § 5. Risol" ecc, cognite traz, superf.
fara conoscere la dilatazione cubica corrispon-
dente alia deformazione effettim
Ma mentre nel caso del § precedente si poteva,
dopo cio, ritenere come risoluto il problema, o
meglio ridotto al problema dei valori al contorno,
in questo caso si presenta iavece una grave diffi-
colta. Infatti essendo cogaita la dilatazione , la
prima delle equazioni indefinite dell' equilibrio ,
come piu volte si e visto, si riduce alia
^%u = f{Xu Vu ^i);
ma dalle equazioni ai limiti non e possibile ora
conoscere ne i valori di m, iie quelli di ； poiche
an
la prima delle (2') contiene i valori delle derivate
A\ V Q 10 in superficie.
Riflettendo alle (2), se in qualche modo potes-
simo procurarci i valori dei doppi delle rotazioni
in superficie, conosceremmo i valori di e quindi
a n
】a ricerca di u dipenderebbe da uno dei soliti
problemi (Cap. 1。, pag. 30).
Ma qui ha luogo la seguente favorevole circo-
stanza :
cognita la dilatazione €>, U componenti della ro^
tazione sono determinate a meno di una funzione
armonica,
Poniamo iofatti, per compendio,
Cap. VI. § 5. EisoL, ecc. cognite iraz, $uperf. 227
•P, Q、 R essendo funzioni note di O0i、 Zi. Le
equazioni (1') diventano ,
di guisa che
T 55 a, 卞 O 〜 一 U，
(23)
(24)
come del pari
卞 十; ^ =0.
Determiniamo una funzione + armonica in S e
tale che su <r sia
尸". (25)
Cio e possibile perche
^ale funzione e determinata a meno di una co-
sta^te: noi quindi la supporremo nota.
Decompoiiiamo quindi P, Q, R in questo modo
^ 十'^ ,W 一及 1 + 》^ (26)
le Pu Qu Ri risulteranno perfettamente determi-
228 Cap, VI, § 5, Hisol., ecc. cognite traz. super f.
nate e inoltre
Per trovare 2\, . • • poniamo
dG
dVi
dF
cH
"1
dG
dF
(28)
3 dx^ dVi
essendo F, G、 H, 7]' , … delle altre funzioni in-
cognite, da determinarsi in modo opportune e coUa
condizione ,
II I I 1^=0 (29)
La prima delle (23) diventa:
尸 1 十 ― ― 厶2^ 十"^ o ~~
e a questa possiamo soddisfare ponendo anzitutto
Siccome non ci occorre che un valor particolare
per F, G, H, cosi possiamo prendere :
1 [PidS ^ 1 CQ.dS
T~ \ ， T~- ，
RidS
H
47： j
r
con cio la (29) e soddisfatta ; e dopo cio i valori
o
I 1
ir- 1
> 1 J
丄"
Cap. VI, § 5. Hisol" ecc. cognite traz. superf. 229
TV … soddisfano le
~ = Q— ； ecc. • • • (30)
oVx d^i d^i
La ricerca di T/, T/j 2V si fa agevolmente
approfittando di una forma notevole delle deri-
vate di
La funzione + e definita per tutti i punti in-
terni ad S ed al contorno ； iminaginiamo un'altra
funzione +i definita in tutto lo spazio esterno ad S
(nel quale e armonica) che soddisfi alle condi-
zioni di convergenza airinfinito (Cap. 1。, § 12) e
sopra c sia
^-- -^, (31)
a n a n
di guisa che +i potrk considerarsi come la conti-
nuazione della ^ nello spazio esterno ad S. La
cosi continuata e， in generale, discoutlDua sopra c- ；
sia, per ogni puDto ^, y、 z di cr,
+ —— 'i/j = 4 ^ c&
cp essendo una funzione definita pei soli punti di
Ora il punto x^^ y、， e intenio ad S; e pero il
teorema di Green applicato alia + (Cap. 1",
form. 10') ed il lemma di Green applicato alia '+i
ed alia 1: r alio spazio esterno ad S (Cap. 1。，
form. 6) ci danno
.1
230 Cap, VL § 5. Itisol,, ecc. cognite traz. super f.
e quindi sottraendo
r
+ (《1， 2/1， a) 二？: 7；： " ;
a n
rintegrale a secondo membro esprime il valore di
una funzione potenziale di un doppio strato depo-
sto su cr colla densita 9.
Ma:
d
1
r
d n
=2
r dx
d
1
doc dn
=-1
r d X
quindi posto
d X d a
a
dn r
risultera
dy d o
J i dn r
r
CD
丫 " "
9 (32)
dn r
Le a, p, Y sono a loro volta funzioni potenziali
di strati seraplici deposti su c" con densita rispet-
. . Di guisa ohe nel punto j/i ,
tive cp
d n
Di qui
2
d
*2
8S
2 •
Y = 0.
82 p
8^ Y
a" 一
d (dy
80c
Cap, VI. § 5. Hisol; ecc. cognite traz. superf. 231
Paragonando queste espressioni [colle (30) ri-
Bulta
. d 丄
dvi
8^1 d^i
e due equazioni analoghe, in cui E e una nuova
fanzione incognita che soddisfa la 么^ = 0. Patte le
sostituzioni, trasformati colla (6) del § 1 gU inte-
grali di volume contenenti © e f in integral!
estesi al contorno, si ha
471(02^1 = 471 0^2
("2fJ 一 w2.j^l)
,1 ,1
a- d—
r 手一 z》s -
r dy
r a z
； (33)
dzdn d yd ni
ece.
Determinata quindi la dilatazione cubica ® e lo
F, Q, R si cercheranno le due funzioni e '扒 e
poscia le a, p, y; e le T" … oppure le • • .
resteranno determinate, come avevamo asserito,
a meno di una funzione armonica. E questa nei
vari casi particolari dovra deterrainarsi con spe-
ciali artifici. Cognite le rotazioni, le equazioni (2)
ci faranno conoscere il valore di -r- in superfi-
an
cie e quindi 】a ricerca di w e ricondotta ad uno
dei soliti problemi dei valori al contorno.
Riepilogaudo adunque occorre :
1.0 Determiaare la deformazione ausiliaria di
coniponenti ?, ^, C; e per questo occorre determi-
234 Gap. VI. § 7. Sulla elimin, d. forze di massa.
disfare alle equazioni indefinite per Fequilibrio nel-
V ipotesi di forze nuUe ； cioe alle equazioni
一 ― L- An = 0， ecc.
esaendo ®i quella parte della dilatazione cubica
che si rife ri see agli spostamenti w^, Wi. Cod cio
le equazioni (1) diventano
e due analoghe.
Deterrainiamo le ？ 7, … in modo che sia
X-\- w2 U ―. 0, ecc.
Teneado presente che a noi occorre solo una so-
luzione particolare, potremo porre
〜TJ= 2 X —
.4 ^ J r
e quindi
？ 7= A 1 n ( X r d S, ecc.
perche e
2
Ao 7，
2 r
Cio posto risulteranno nuUe le derivate rispetto
Cap, VI. § 7, Sulla elimin, d. forze di massa' 235
0?, y, z di
A J (Q2 一 0)2) (^+ . . — »2 ^ j ；
( \(ffX J )
tale fuQzione dunque e costante e poiche nelle (36)
figurano le sole derivate di R possiamo supporre
nulla tale costante; la funzione
(512 一 。)2) ^ + — 【J2 w
e quiadi armonica ed eguale ad J67; immaginan-
dola compenetrata nelle funzioni ancora incognito
w, , . . . , possiamo assumere senz'altro
e questa ci determinera R. II problema della ri-
cerca di t《, w e con ci6 ridotto a quelle della
determinazione di alle quali corrispon-
dono forze di massa nulle *.
Diciamo u\ v\ w' le altre parti componenti di
M， t?, w. Se in superficie sodo noti gli sposta-
menti, i valori di Ui , v^, Wj saranno pur noti、in
superficie ed eguali a u 一 u', ecc
Se invece in superficie sono note le forze, e su-
bito visto che Ui, Vi, w?i soddisfano ivi ad equa-
zioui del tutto analoghe alle (2) o alle (2') ma in
cui L, M, N verranno soltanto alterate di quan-
tita note.
* Betti, ]. c.， § 5. Cesaro, 1. c, pag. 91. Lauricella, 1. c.
pag. 42.
236 Gap. VI, § 8. Teorema del prof. Cerruti
§ 8. Teorema del prof. Cerruti. 一 I metodi
generali esposti nei §§ precedents ricevono, nei
vari casi particolari, notevoli seinplificazioni. Tin
teorema che perrnette molte volte raggiungere piu
direttamente lo scopo, quaiido si vogliano condurre
a termine le iiitegrazioni, e appunto oggetto del
seguente §•
La determinazione della dilatazione cubica di-
pende dalla iutegrazione della equazione (24),
Cap. 4.0 Se ®i e una sua soluzione particolare, che
puo sempre determinarsi, il valore generale di
differisce da ®i per una funzione armonica G.
Per mezzo delle (33) potremo inoltre trovare,
espressa per G e per E, una soluzione del siste-
ma (23) e (24), che accenneremo con tj, Tj, Tj.
Nelle stesse (33) poniamo 二 e al posto di
X、 F, Z sostituiamo rispettivamente 一 ^j, ecc.
Diciamo : Wo, t?o, ivq i valori che cosi ricaviamo e
che forniranno quindi una soluzione particolare
del sistema
8—^; —^1 ^一
d iVo d Vo rr
A -广 二 il, ecc;
o una fuuzione armonica arbitraria; '| uua solu-
zione particolare della
y + = 一
Ponendo
Cap. VL § 8, Riass. di^alcune rec. ric" ecc, 237
otterremo una forma possibile per le componenti
di spostamento del coi'po elastico isotro'po in equi-
bi'io e dipeudente da tre funzioni arnioniche.
Dunque :
Le componenti di spostamento di un corpo ela-
stico isotropo si possono sempre esprimere me-
diant e tre sole funzioni armoniche e quindi qua*
lunque problema di equilibrio dipende in sostanza
dalla determinazione di tre funzioni armoniche *•
§ 9. Riassunto di alcune recent! ricerche sulle
equazioni dell'elasticita.*— Abbiamo detto che il
teorema del Betti, in generale, e le formule del
Somigliana, per i corpi isotropi, costituiscono gli
equivalenti del lemma e del teorema di Green per
le equazioni dell'elasticita.
I risultati ben noti sulle funzioni armoniche
possono ancora estendersi al caso piii generale di
quelle equazioni?
Alcune ricerche recenti, di cui diamo qui un
brevissimo cenno, sono appunto ispirate dal con-
cetto di estendere airelasticita i risultati acquisiti
nello studio di una questione assai piu semplice.
II prof. Lauricella, dopo aver studiate le for-
mule del Somigliana, ha esteso alle equazioni (1),
nell'assenza di forze di massa, un importante teo-
rema del prof. Volterra sulle serie di funzioni ar-
moniche **.
• Qaesto teorema, gia implicitamente contenuto nelle ci-
tate Ricerche, mi e stato gentilmente comunicato dal pro-
fessor Cerruti, il quale ne ha fatte varie notevoli applica-
zioni ai corpi rotondi, in una memoria ancora inedita.
** Lauricella : Test gict cifata- Cap/ 5.o
238 Cap. VI. § 9, Biass. di alcune rec. ric., ecc.
Siano U" Vi, Wi soluzioni delle (1) in un
punto di 8, la cui siiperficie & che col tendere
del punto verso ff tendano verso i valori t?», wi •
Se le serie i cui termini generali sono U" ... ； m, ...
sono convergenti in ugual grado rispettivamente in
S e sopra ff, ed ？ 7, …； w, . . . sono le loro somnw,
allora U， F, W soddisfano le (I) e col tendere del
punto verso ff, pretidono i valori w,
Gib posto se e convessa ed ammette in ogni
punto an piano tangente determinato, variabile con
continuity col punto di ctmtatto, il metodo della
media di Neumann * si puo estendere alle (1).
Si possono cioe trovare gli sviluppi in serie con-
vergenti in ugual grado della soluzione delle (1),
che col tendere del punto verso 3 tendano verso
tre funzioni finite e continue date ad arbitrio su <r,
risolveudo cosi per serie il problema del § 4, fatte
pero le dette ipotesi su <x.
Alio stesso ordine d'idee si ispirano alcune ri-
cerche dei sigg. E. e P. Cosserat ** i quali hanno
provato che a una forza in uq punto situato al-
rinterno di una sfera, si possono sostituire delle
forze sulla superficie, che diano all'esterno lo stesso
spostamento ； stabileado cioe ranalo^a di ana delle
proposizioni suUe quali si fonda il metodo del
" balayage ^ del Poincare. Quindi hanno esteso
alle (I) il metodo dell' equazione funzionale di
Robin ***.
Yedi monograiia del Sill a: § 14.
Comp, Rend, (avril 1899; juillet 1901).
* Vedi la monogr. del Silla: § 18 e § 19.
Cap, VI. § 9. Biass. di alcune rec> ric" ecc. 239
e quindi ； > - e positivo, le equazioni (1) assu-
" o
mono la forma
II 卜 ； -— = 0: ecc.
La univocita della soluzione (per date condizioni
al contorno) e quindi dimostrata per ? > — Gli
stessi signori E, e P. Cosserat, ispirati dai lavori
del Picard e Poincare, si son o proposti di fare 】o
studio delle funzioni u, "， w del parametro 5, sup-
posto che esso possa assumere qualunque valore,
anche complesso *,
Ecco alcuni degli interessanti risultati ottenuti.
Nel caso del § 4, suppoiiendo anche non nulle
le forze di massa, le ti, v, w sono funzioni ana-
litiche uniformi di ； cogli stessi punti critici reali
compresi tra ― 1 e 一 oo.
Nel caso della sfera esse hanno i poli semplici
一 (2 r -f- 1) : r (r 1 , 2, . . .) ed il punto singolare
essenziale ― 2; per un inviluppo sferico i poli
souo situati su di un segmento limitato, indipen-
dente dai raggi, e che racchiude nel suo interno
un punto singolare essenziale.
* Comp. Rend, avril 1898; juillet, aoAt 1901. Un ria 請 nto
di queste ricerche trovasi alia pag. 528 del 3o Vol. della Me-
can. Ration, del sig. Appell.
Posto
2
1
• 參
1
II
240 Cap, VL § 9. Riass, di alcune rec. ric.^ ecc
Nel caso del § 5, se il contorno e sferico, le
u, V, to sono funzioni uniformi di S cogli stessi
piinti critic" cioe il punto singolare essenziale
e i poli semplici 2r-|-l:2r^ + 4r+-3; per un
inviluppo sferico il punto singolare e lo stesso
e i punti critici sono corapresi tra — 1 e ~ •
In questi due casi e in quelle dell'ellissoide a
tre assi si ha sempre il polo i = -—.
o
Alcune altre ricerche riguardano le equazioni
dei corpi elastic! in generale.
Le equazioni generali delPelasticita sono un caso
speciale di un sistema di tre equazioni differen-
ziali del 2*^ ordiae colle derivate delle t^g, Ug
rispetto x^, x^^ rrg, a coeflScienti costanti ； sistema
clie puo scriversi sotto la forma simbolica:
ii^XfiUf^=Th (37)
essendo A;" simboli di operazioni deSniti da
A;i^-y (' ^^ "~ , (a, P = 1， 2, 3)
^ 巧" p/ 、 ,「
e m cm ^ e un coefnciente costante.
W P; ，
Sotto questa forma sono state oggetto di note-
volissime ricerche del sig. I. Fredholm *.
* Sur les (Equations de r^quilibre d，im corps solid e ^la-
si } que. Acta Mathematica, 23, p. 1 ； 1900.
Cap. VI. § 9. Hiass. di alcune rec. ric" ecc. 241
Si consideri anzitutto il caso di Ux = 0. La eli-
minazione di due delle u conduce, in geuerale, ad
una equazioDe differenziale, lineare, omogenea del
sesto ordine a coefficienti costanti, che si pu5 porre
sotto forma simbolica di determinante di 3® ordine
i cui elementi sono ^x^-
Nel caso della elasticity, se 2 n e il poteiiziale
unitario, funzione quadratica ed omogenea delle
componenti di deformazione
P _ dUy . g 一 s 2 —" 义 . IjffL,
。VV 7： ， ^IfA, —— 。〃/ 一 X r\ ，
posto
risultera
II discrirainante di questa forma quadratica delle
X e precisamente Pequazione risultante del sesto
ordine, quando al posto di si sostituisoa - "~ ， ecc.
II Fredholm e stato quindi condotto a deter-
minare tutti gli integrali analitici, omogenei di
grado 一 1, di una equazione alle derivate par-
ziali di ordine n a cofficienti costanti ； poscia ha
espresso median te integrali definiti le soluzioni del
sistema (37) omogenee di grado 一 1 ed algebriche
e il cui solo punto singolare reale a distanza finita
d il pimto Xi = = x^=== e che per i corpi ela-
stici fanno lo stesso ufficio delle (16) per i corpi
isotropi.
Marcolongo. 16
242 Cap, VI, § 9. Riass. di alcune rec, ric.^ ecc. \
D'altra parte per questi sistemi sussiste uii teo-
rema analogo a quelle del Betti. Si osservera a
tal proposito che la dimostrazione di questo teo-
rema (Cap. 5\ § 10) poggia sulla trasformazione
di f f d S, in eui f e una speciale funzione bili-
neare delle componenti di deformazione
a, b、 … h ed a\ h';
e quindi una particolare funzione bilineare delle
nove derivate delle componenti di spostamento.
• Prendendo per f la piu generale funzione bili-
neare di queste derivate, con coefficients costanti,
si ottieue un teorema analogo a quelle del Betti
ma per i sistemi (37), cui vanno aggiunte al con-
torno speciali equazioni che comprendono come
caso particolare quelle ai liniiti del corpo elastico.
Allora applicando lo stesso procedimeiito del § 3
si deducono, pei corpi cristallini qualunque, le for-
mule del Somigliana, e che possono percio stu-
diarsi in modo analogo a quelle seguito pei corpi
isotropi. I due problemi fori dame u tali dei § 4 e
5 si possono, anche per i corpi cristallini, ridurre
alia ricerca di due speciali deformazioni ausiliarie.
I termini che nelle formule del Somigliana ge-
neralizzate dipeudono da integrali di volume, rap-
presentano le componenti di spostamento di un
corpo elastico indefinite in tutti i sensi e soggetto
a forze di massa agenti sugli elementi interni al
volume S, supponendo nulla 】a deformazione al-
1， infinite {Defoi'mazione del i。 tipo del profes-
sore Gebbia).
II prof. Gebbia e giunto indipendentemente e
per via del tutto diversa, a risultati identic! a
Cap* VI, § 9. Itiass. di alctine rec, ric.^ ecc, 243
quelli del si«^. Predholrn, benche io parte fatfci
coaosoere dopo la pubblicazione di questi.
Egli ha introdotto pel priino * il concetto di
defonnazioni tipiche.
Una deformazione prodotta, in un corpo ela-
stico qualunque iadefinito, da forze di massa di-
stribuite con continuita in una parte liinitata di
esso, dicesi del primo tipo; quolla prodotta nello
stesso corpo da forze distribuite con continuita
sopra una superficie interna e chiusa dicesi del
secondo tipo,
Dicesi fiaalmente del terzo tipo quella eccitata
nello stesso corpo da interposizione e soppressioue
di uno strato sottilissimo di materia aderente ad
una superficie chiusa tracciata nello interne del
corpo. *
Queste tre deforraazioni sono per Pelasticita le
analoghe della funzione potenziale di spazio, di
strato semplice e di doppio strato ； il Gebbia ne
studia le proprieta caratteristiche ** e giunge
quindi al notevolissimo teorema :
qualsivoglia deformazione eccitata in un corpo
elastico S da forze di massa e da tensioni in su-
perficie i la risuUante di tre deformazioni tipiche
del corpo che si ottiene prolungando S in tutti i
semi.
la questa memoria pero il prof. Gebbia non ha
date le espressioni analitiche delle deformazioni
* Pt'opos. fond. d. statica d. corpi elast Rend. Cir. Matem.
Palermo. 5. p. 320; 1891.
** Le deformazioni tipiche dei corpi solidi ela$ttci, Annal.
d. Matem., 7， p. 141; 1902.
244 Cap. VI, § 9. Riass. di alcune rec. ric.^ ecc.
tipiche, ma si e limitato a mostrare che appli-
cando le sue cousiderazioni ai corpi isotropi si
riottengono le formule del Somigliana.
Queste formule genei'ali sono date in un' altra
memoria, ora in corso di stain pa, Gontenente risul-
tati conseguiti dall，A. tra il 1892 e il 95, e in cui
il Gebbia e giunto alia equazione differenziale
del sesto ordine del Fred holm. L'A. ue trova con
molta eleganza Fintegrale utile nel caso che il
primo membro di essa si decomponga in tre fat-
tori di 2。 ordiae; cio che avviene oltre che nei
corpi isotropi, anche per quelli aventi un asse di
elasticita e pel cosi detto mezzo elastico di Green.
r
CAPITOLO SETTIMO.
Ill PROBLEMA DI BOUSSINESQ E CERRUTl
§ 1. Posizione del probiema. ― Seguendo il
Love, chiameremo probiema di Boussinesq e Cer-
ruti, dal nome dei primi che cou metodi diversi
lo hanno risoluto completamente, il seguente :
determinare la deformazione di tin solido isotropo
indefinito limitato da un piano indefinito, allorchh
sul piano Urn if e sono dati: 1.。 gli spostamenti ;
2.° le forze; 3.。 gli spostamenti normali e le forze
tangenziali o reciprocamente*
§ 2. Rtsoluzione del primo probiema. 一 Te-
niamo presente quanto fu esposto iiel § 4 del Ca-
pitolo precedente : pero dobbiamo anzitutto:
• Qaesto probiema, nel caeo in cai'sono note le forzo
normali al contorno, 6 etato risoluto per serie da Lame o
Clapeyron nella memoria: Sur Vequilih'e interienr des so-
ndes homoghies. Mem. preeen. p. divers savants k I'Ac. Roy.
de I'Institut dc France, 4； pag. 541-547. 1838. "
stato risoluto dal.sig. Boussinesq 'nello.note: jiquilibi e
d'el. d'un sol isotrope, etc. Compt/'Rend., 86， \mg. 1260, 1878;
e nel libro : Applications des pofentiels (\ V etude de Ve-
246 Cap. VIL § 2. Uisoluz, del primo problema.
a) determinate la deformazione ausiliaria;
cioe determinare nel punto qualsiasi (a?, y, z) le
componenti 5, >i, C di una deformazione corrispon-
deute a forze di massa nulle e tali che in super-
ficie siano verificate le condizioni
^ 1 , 1 , 1
d— d— d
C = . V] = 一 —— 一 . L ：=. . I 1 I
Se assumiamo il piano limite per piano ory q
rivolgiamo Passe z positive verso rinterno del so-
lido, le eqaazioni precedent! varranno per = 0.
Le 5, >], \ soddisfano inoltre le equazioni inde-
finite
(Q2 - 0,) ^ 4- 0)2 ； = 0, ecc. (2)
Indichiamo con M(x^ y、 z) un punto qualuuque
variabile nel corpo ； con Jl/i Or!, j/j, z^) un punto
fisso, ma arbitrario, del corpo stesso; M\ la sua
immagine rispetto al piano xy q siano r ed le
distanze del punto variabile M da e M\ \ sicche
r^ = {x — x^Y + {y - 2/1)2 + (； ^ 一 z^Y
quilibre et du mouvement des solides elastiques. Paris, 1885;
e dal prof. Cerruti nelle : Ricerche, piu volte ricordate.
Cap. II e III.
Vedi ancora Cesabo, 1. c, xiv. Love, 1. c. Cap. ix. Lauri-
CELLA, m. c.， Cap. II， e*due mie note : Equilibrio di elasticttdt
di un corpo isotropo indefinito, ecc. Rend. R. Acc. di Napoli,
Settembre 1889 e Sulla deformazione etc, per speciali con-
dizioni ai limitu ibidem, 1891.
Cap, VII. § 2. Hisoluz. del primo problema. 247
e quindi sul piano limite, 2； = 0, si ha
r = 广 1.
II valore in M della funzione di Green relativa
al polo Ml e dato da
(Cap. 1。， § 10). Decomponiamo la deformazione
richiesta in altre due ponendo
? = ^1 + ecc.,
e le 刀 1, siano arnioniche in S (spazio occupato
dal corpo) e in superficie soddisfino le (l); mentre
$2, … soddisfino le (2) e in superficie prendano
valori nuUi. La ricerca di ； j, v),, dipende dalla
risoluzione di uno dei soliti problemi del valori al
contorno e puo risolversi quiiidj colla (25') del
Cap. 1°; ma piu direttainente si puo osservare che
le funzioni
a 丄
"-
, r】
' —fy
dz
sono armoniche e per z = assumono rispettiva-
mente i valori di
, 1 ^ 1 , t
8 — 3 — 8 —
r r r
248 Cap. VII. § 2. Risoltiz, del primo problema.
sara dunqne
3 丄 8 丄 8 丄
— ^，…^，" 汙 （3)
La dilatazioiie cubica 》i corrispondente a questa
deformazione e data da
82 丄 丄 g2 丄 g2 丄
= — 」l 一_ ^ + ^ = 2
Le componenti della seconda deformazione deb'
bono essere funzioni biarmoniche in tutta S e an-
nuUarsi per z = 0,
Poniamo quindi
essendo <p una lunzione armonica incognita; le
espressioui suddette infatti soddisfano la ^4 = e
si annullano sul piano limite.
Abbiamo
- 2
•,'2 2
•2 ''2
dydz'
II
2
2
•XT
f
8 8
r
2
2
2
II
5
2
2
2
，、
2
參 ，
2
2
Oap. Vli. § 2. Risotuz. del prime problema: 249
e la prima delle equazioni indefinite diventa :
1
d
02
2 (Q2 一 0)2) ^ r, , 8 ?
I + w2 ^ + ^ } = ;
e avremo due equazioni analoghe mutando x in
y e z. Quindi, prescindendo, come e ovvio, da una
coatante,
cp= - 2
2?
一 0)2
1
"2 + (o2 •
In conseguenza dun que :
8 丄
a2 一 to2
2 〜 ■
丄
d X 122 + 4^2
d
1
d
dy
1
2
as 丄
z
"2 + 0)2 dy dz
^1
g2 丄
一 w2 |.
11* + Oi2
5 =
4 (o
2
1
(4)
Precisamente © e determinata a meno di una
funzione arbitraria di x ed y、 dalla quale si puo
pure prescindere.
250 Cap, VII. § 2. Eisoluz, del prlmo problema
Ora dobbiamo:
h) determinare le forze da applicare in super-
ficie perchb producano la deformazione precedente-
mente calcolata. Tale deterininazione non presenta
difficolta; notando infatti che la direzione del la
normale n coincide con le equazioni ai limiti
divsottmo
— Lo'i 2c,|^ — o, 7\ =
p dz
丄 3f。 + 2 + J\ =
P 'd z
P
一 iVo + 2 w2
(122 一 2 0)2) 5 = 0.
Tutte le quantita cho fignraao in qucste for-
mule debbono essere calcolato per z 0. Kiflet-
tendo che, appunto per 2： = 0,
^ 丄 02 丄
r ri
as 丄
r
d^dz dx dz、 dy dz. dy dz'
82
1
r,
丄
r
2
si ha (sempre per 2： = 0)
1
S
r a -/) 3 - co2
82 丄
r
1
I
Cap. VII. § 2, Risohiz. del primo problema. 251
II calcolo delle rotazioui e egualmente semplice
infatti si ha dapprima
'~dy dz〜 dvdz
^ 丄 fiii 2 ^ 丄
Ya 14* —— 10^ ri
1 + 2 7.；,— ^7^+..
"2 十 Oj2 》y
e i termini che seguono contengono z a fattoro
quindi per z = risulta
》2 丄 》2丄
ii = — m , 9 ^ ^ ； e cosi 2^2=
onde iiifine :
~ ~~ 2 f w
2
a2 一
"2 + 0)2
02 丄
2
1
JJ/o = - — 2 f>
0)
2
(5)
JVo=-2p<o2
"3 十 isy^dydz
》2 丄
+ 0)2
Passiamo ora alle terza ed ultima parte, cioe :
c) determinate la dilatazione cuhica e la ef-
fettiva deformazione nel punto a\， y^, z^.
La dilatazione cubica ^ e subito determinata
dalla formula del Betti (form. 19， Cap. 6。). Sup-
poniamo che siano nulle le forze di massa. No-
252 Cap. VII. § 2. Bisoluz* del primo problema
tiamo poi che, per le (5)
1
d
2
1
r
— + 2 co2 - '
4 («2 ^2
u d a =
lis + 。)2 3 $1 ^^^J r
Judc
一 ^
ecc.
se qaindi poniamo
P=
Q =
r
B =
r
T =
risulta
dor I dVi d^i '
(6)
1
2
€^ ■ "~ -'
71 il2 + c«2g^,'
(7)
formula semplicissima, la cui costruzione dipende
da quella delle tre fiinzioni potenziali di semplice
strato P, Q, R.
Se le forze di massa non fossero nulle la (7)
seguiterebbe a sussistere, salvo una maggior com-
plicazione nella espressione di T, La ricerca di
u, V, tv non presenta piu alcuna difficoM; infatti
la u soddisfa requazione
da cui
_ 1 i!2 一 w2 g2y
2 7： 112 —卜 w2 Xi (j Zi
e
1
2
3
C!
Cap, VII. § 3. Risoluz. del secondo problema. 253
ed inoltre ia saperficie si conoscono i valori di u,
Ponendo
, 1 Q2 ― 0)2 g T
2 7： 12- + S xi
si vede subito che e annonica ed in superficie
{Zi=0) e u=u'; quindi per la (25》 del Cap. 1。， si ha
, 1 d Cud<J_ 1 dP
K ^^^^ MMiM ■ 隱 I 一 I I 一 ―
e in conseguenza
一 1 dP 丄 1
e due formule analoghe per v e w. Queste risol-
vono completamente il problema proposto median te
iutegrali definiti rappreaentanti determinate fun-
zioni potenziali di semplici strati *.
§ 3, Risoluzione del secondo problema. ― Se-
guendo ancor qui il raetodo generale svolto nel
§ 5 del Cap. precedente, dobbiamo :
a) determinate ana deformazione ausiliaria
corrispondente a forze di massa nuUe e a forze
superficiali date da:
* Le formule (8), ritrovate poi con metodi Bvariatissimi,
8ono state assegnate dal prof. Cerruti per la prima Yolta.
254 Cap, VII, § 3. Risoluz. del secondo problema
La determinazioae delle v), C corrispondenti
si puo fare in modo assai semplice profittando del
risaltati del § precedente.
Se paragoniamo infatti le (9) colle (5), si vede
che le forze in superficie in questo caso stanno nel
02
2
rapporto costante 一 — — g con quelle della do-
formazione ausiliaria precedente : pero le compo-
nenti di spostamento si otterrauno dalle (4) del
problema precedente moltiplicando per il rapporto
suddetto : onde otterremo
z
>1
03
2
^
8^-
+ 2z
r,
dydz
1
"2 + "2、+2/i^l
d z
2 •
(10)
Da queste si ricava subito, per = 0,
1
1 一
2
3 I
i
2
1- n
s
3
2
^ 1
一 23
2
一一
lu、
Cap, VIL § 3, Risoliiz. del secondo probleina. 255
Dopo cio la formula solita del Betti ci fara co-
nescere ^ ； sapponiamo anclie, per semplicita, nullo
le forze di massa od osserviamo che :
da =
d
= 4 7： Q2*^j^ ， ecc.
2 义 1
e dove si e posto
P =
1
L
d <x
2 7： p (112 一 0)2) J r
ecc.
(12)
Risulta
3^1 dVi d
Per porro ® sotto una forma analoga alia (7),
poniamo
Pi -卜 1 = 2" 二") fid
<j
、d Zi
r
1
(13)
2-p (li2-oj2)
\o^{zi — z-k- r)Ld<5^ ecc.
e poi
avremo semplicemente
(14)
=
(15)
256 Cap. VI L § 3. Risoluz. del secondo problema
Se le forze di massa uon fossero nuUe, variando
in modo conveniente ed ovvio i valori di …
giungeremmo alia stessa formula. La ricerca di ©
dipende dunque aiicor qui dalla costruzione di tre
funzioni potenziali di strato semplice P、 Q、 R, Le
funzioni Pi , 仏， J?x, T soqo armoniche. Determi-
nata ©, conforme al metodo generale, si deve:
b) determinare la rotazione; la quale, a sua
volta, dipende dalla ricerca di una funzione ar-
monica. Ma senza applicare il metodo generale e
le formule (33) del Cap. precedente, possiamo pro-
cedere direttamente cosi : le equazioni indefinite
di equilibrio, per il valore (15), diventano
Q2 gsy
一 A — = u
王 — + —；- 一 2 =
dy\ dz\ d xx dzi 一
〜0，
92 ^ d i\
~2 9 十 o '-
di^r 'dVi dxi
e tenendo con to che e
si possoQO anche scrivere cosi
Cap. VIL § 3. Risoltiz, del secondo problema, 257
Indicando quiiidi con E una funzione incognita
si ha
1 一^^ 1^ 十&， 2— — ^~^，>(ie)
、 a -^
e poiche
f^i t 'a7i R 一
risulta
dunque la E e arinoiiica. Le (16) corrispondono
precisaniente alle (33) del capitolo precedente. Sup-
posta, per ora, nota la E possiamo :
c) deter minare gli spostamenti effettivi.
Per la (15) le equazioni indefinite assumono
anche la forma
w = --- — - —。一 ； ecc" (17)
e per i valori (16) le equazioni in superficie si
riducono a
die 一 Q2.-2oj2
& 1= 2 0i2
Mabcolongo.
2
2
3
2
2
2
1
2s.
p
2
3 一 ^
3
91
3
2
p
2
2
-2
1
II
-2
1
11
8 8
258 Cap. VII, § 3. Risoluz. del secondo problema.
Bicche 】a ricerca di ？ i, i?, tv dipende dal problema
della detenninazione di una funzione regolare in S
allorche e Doto il in ogni punto di S e il valore
della derivata normale al contorno. Tale problema,
per il cainpo considerate, e per una fanzione ar-
monica e stato risoluto al Cap. 1。 colla formula (26')
J an r
e sarebbe ben facile assegnare la formula corri-
spondente al caso in cui il \ npn e nullo.
Si puo per altro procedere con metodo piu di-
retto ed elegaate.
Come gia fu osservato al § 2 una soluzione
particolare delle (17) e data da
il^ ■— u>2 g T
¥ ^冗, ecc.
Se dunque poniamo
, ― g T , -
u = u ^一丁 Zi 。 ~" . , v=v
, 112 一 g T
W^IV 3— q 广,
le , V* , tv' saranno armoniche e ,
delle (18), Boddisfaranno al contorno, cioe per = 0，
alle condizioni seguenti
^ 1 r)E 1 d T 1 ， 、、
3
r
•1
a
Cup, VII. § 3. Risoluz. del sec on do problema* 259
Ora poniamo
u' = Ui + 1*2, ecc.
essendo ？ Yj, t^i, . . . W2 funzioni arraoniche tali che
al contorno
d Ui 1 ^ '
^2 一； (21)
1 dE 1 a T
1 (210
E I dT d 1^2 1 a r
Le (20), dopo ci6， sono certamente soddisfatte.
Le ？", t/'i, ii\ si determinano subito applicando
la (19). Pero e uecessario che (Cap. 1。 form. 9) sia
d u
d Zi
doe
S Ld(j =
e due analoghe che, per le condizioni di equili-
brio del corpo supposto rigido, sono certamente
verificate. Abbiamo dunque
1 / ^ d (s
Wi=l 2 L — =
一 g Q
2 w2 9
Q2 一 co2 g Hi
2
3
^ 1-2
2 . 1
260 Cap, VII. § 3. Bisoluz. del secondo problema.
in Yirtu delle (12) e (13).
La forma specialiBsitna della terza delle (21')
permotte di assegnare agevolmeiite w^. Conside-
rando infatti la funzione
in un pun to qualunque del campo, si vede subito
che e armonica e in superficie si annulla ； pero e
nulla in tutto il campo, e possiamo prendere
Lo stesso raetodo e applicabile ad ii2 e V2 se si
riesce a porre i secondi membri delle prime due
delle (21') sotto forma di una derivata rispetto 2!^
e cio si ottiene molto agevolmente. Infatti alia
funzione armonica incognita E sostituiamonc una
altra E\ tale che •
e alia T sostituiamo la tale che
d
(22)
(23)
A tal uopo bastera determinare ire funzioni ar-
monicbe U, F, W in modo che
P J 卫、 一仏 R -IK (24)
Cap, VII. § 3. Risoluz, del secondo prohlema, 261
"一 &一〜 ^T^r^^—f '
一 Q2 一" g2p^ gap \ l_gO
NoQ occorre quindi conoscere altro che Ci
varremo percio di due diverse espressioni di T^i
perche nsulti
8F a_TF
？巧十 十 (丄)
llatnmentando il valore (13), risulta dalle (24)
U=\ Pi dz, = 2 ^ p (U2_co^)J^ ^ \f log (^1-0 4- r) dz,
ed integrando per parti
"==2^^')S K")log("+，') - r]Ld^ (26)
e due espressioni analoghe per Fe W cambiando
L m M ei N.
Procedendo ora come per iC2 si ricava
dEy 10
Danque
— 0)2/32 (J \ IdO , 1 dE,
邐 4 ■ J ^ 1 _L_
1 -2
II
2
^1
1 12
II
； T
262 Cap, VII. § 4, Risoluz, del terzo prohlema
e cioe della terza delle (16)
乂 3 -
e dell'altra che si deduce dalle (27)
3 dy
1
Dal confronto si deduce
丄 + d'E,
2 \ dx,^ dvi"^
[""^ - fe- (28)
Le (27), (28) unitamente coUe (26) e (25) risol-
vono completamente il problema proposto ； . le
cspressioni definitive degli spostamenti dipendono
dalla costruzione delle sole tre funzioni armoni-
che (26) *
§ 4. Risoluzione del terzo problema. 一 Sap-
poniamo che sul piano limite siano date le com-
poneriti m， v degli spostamenti (spostamenti tan-
genziali) e la componente N delle forze (forze nor-
inali). Dobbiamo, come fa detto al § 6:
a) determinare una deformazione aiisiliaria
corrispondente a forze di massa nulle e tale che
• Anche le Bemplici formule riBolutive di qaesto caeo Bono
state date per la prima volta dal prof. Cerruti. Noi lavori
sopracitati si possono vedere interessanti applicazioni dei
risaltati gfenerali.
Cap. VII. § 4. Risoltiz. del terzo problema, 263
in superficie {z = 0) siano soddisfatte le
. 1 . 1
一 ―
. r r
？ dy '
d r « 2 r
d zx dn d
Ma dalla terza delle equaziooi al contorno si
deduce
丄 iVo + 2 + ((22 ― 2 0,2) 5 ^ 0.
P z
Inoltre per z — ^ e
quindi 1' equazione precedente ci da
I
2 (《 = 0).
<9 *■
d'z d r
Dunque e ^ = sul piano limite ； ma essa e ar-
monica, le forze di massa essendo nulle, pero e
nulla in tutto lo spazio S* Quindi, per questa
一 I
c
+
0^
+
-、
8
0^
1,1 r 2^
11
3
1 1 r
2
+
2
3
1 一 r
2
2
II
264 Cap. VIL § 4. Bisoluz, del terzo problema
favorevole circostanza, le equazioni indefinite si
riducono alle
La ricerca di ？, yj, C dipende dal solito problema
dei valori al contorno ； ma senza applicare le for-
mule geuerali, osservando che le funzioni
^1 ^1
d
^1
d d y ' dz
sono armoniche e per = e
r^ r
1 aMMB
d 一— d ~~
ri r
"1
d
2
1
r
d ^ dx '
si deduce subito
dy~ dy ' dz
2
dz
2
d
5 =
doo ，
•/] = 一
d y
《= ^一
8^ '
(29)
cioe la deformazione ausiliaria ha per componenti
le derivate negative della fanzione di Green. *
Passiamo ora a
b) determinare le forze da applicare in sii^
perficie perche la deformazione isarrispondente sia
quella gia calcolata.
* Questa proprieti della funzione di Green Bussiste an*
com nel problema analogo d6l diedro, del triedro e in quell
dello etrato di Bpessore finito.
Cap. VIL § 4. Risoliiz, del terzo prohlema. 265
II calcolo di Lq ， Mq {Nq e gia noto) si fa assai
semplicemente dalle equazioni in superficie, da cui
scorn pariscono i termini in .3" e quelli contenenti
le rotazioni. Si ha dunque
I/O + 2 p w'
=0
donde
0'
Lq = 2 ^ 0)2
e analogamente
1^
"1
d
2 P w2
r
d X a z
0'
1
r
by
dy dz
Quiiidi la formula del Betti, posto
u
—； 二卜 M = i
r J r p
N
r
2
ci da
=
dy
I d T
(30)
(31)
la quale non differisce dalla (7), relativa al primo
problema, che per ii fattore numerico
Q2
(o'
2 Oj2 122
266 Cap, VII, § 4, Risoluz, del terzo problema
Finalmente dobbiamo :
c) determinare gli spostamenti effettivi, II va-
lore di u o Ai v noa differisce da quelle del primo
problema che pel fattore costante saddetto. II cal-
colo di w e, natural men te, diverse. La tv soddisfa la
meatre per zi = e
1 f) 10
-iV+2oi2^ h (i!2 一 2 1"2) e=o.
P ^1
Una solazione particolare delPequazione inde-
finita e
Se quindi poniamo
Q2 ― 0)2 g T
la w' e armonica e in superficie sara
dtv' N , 1 d T
operando come nel problema precedents otteniamo
= T A —— ― N\ .
^ 4 - ^ ^ 4 7： (o2 丄"'
Cap, VII. § 5. Altra risoluz. dei probl. prec, 267
La Boluzione completa del probleraa, come si
vede, dipende dalla costruzione di tre fuuzioni
potenziali di semplici strati U, F, Ni *.
Cogli stessi procedimenti si possono risolvere gli
altri problem], cioe quando si conoscono le forze
tangenziali e gli spostamenti Dormali; oppure ！/,
M ed N， ecc.
§ 5. Altra risoluzione dei problemi precedent!.
- Si puo giungere ai risultati precedent! con me-
todi piu diretti e semplici. Supporremo sempre nuUe
le forze di massa ； e comiaceremo dal
P problema. 一 Le componenti di sposta-
mento sono biarmoniche in tutto S; pero rammeii-
tando quanto fu detto al § 12 del 1" Cap. cia-
scuna di qaeste componenti e rappresentabile con
+ Zi w"
essendo u' ed w" regolari, nello stesso campo, in-
sierae coUo derivate prime, seconde, ecc. e solu-
zioni della ^2 = 0.
Volendo quindi calcolare la deformazione nel
panto f^uj/u ^1 porremo
= ^1 ^ —— t-
2!i _
• II signor Boaasinesq ha pel primo proposti e rlsoliiti i pro-
blemi di questo terzo tipo, Cowpf. Bend.^ 106, pag. 1043 e
1119. 1888.
La eolazione esposta, lievemente modificata, e dovuta al
prof. Cerruti, Rend, /?. Ace Lince?, 1888.
+
3
1
3
268 Cap. VII. § 5. AUrd risoluz* dei prohl. pree*
essendo ©, C7, F, W regolari collo loro derivate
prime, ecc. e soluzioni della = 0. Deduciamo
quindi
(33)
d^i 丁》 \dxi 卞 dVi dzi
e la prima delle equazioni indefinite ci da
》 3 CD Sl^ 一 aj2 、
e cosi avremo due equazioni analoghe mutando oc^
in ？/, e Zi \ quindi, a meno di una costante dalla
quale si puo presciudere, si ha
2f^+ 2 e^o (34)
e sostituendo ia questa il valore di si ha pure
d 2、 丄, o2 2、/ & U 丄 d V dW\\ A
(li^ 十 0)2) cp + (122 一 1 1 Ij =
alia quale si puo soddisfare ponendo
© = -~ I 卞 -4- I •
' + W 叭 丁 dVi dzj'
pero la soluzione del problema dipende dalla co'
upscenza di Z7， F, W.
Ma in superficie, cioe per ； ^i = 0， si ha
u = - ― , ecc. :
d 2i
Cap, VII. § 6, Altra risoluz. dei probl. prec. 269
e i valori di u al contorno sono noti ； applicando
qaindi una formula gik ricordata, si ha
I C d<T 1
U = — - I u — = ― T—- jt, ecc.
2 71： J r 2^
per le (6)# Qaindi
2 (113 +
Sostituendo qaesti valori nelle (32) otterremo le
formule (8) del Cerruti.
Passiamo alia soluzione del
2。 problema. 一 La risoluzione diretta di que-
sfco problema e fondata sopra certe equazioni cui
soddisfano le componenti speciali di pressione.
Kicordiamo percio che le (12) del cap. 4, ci
danno
- X e - 2 . . . ：
= 一 iM +
dyi dzy
Le equazioni di equilibrio sono, adoperando le
costanti E e y^,
1 ge
AgM + 7i ~~ s-T ^ = 0, ecc.
(1 — 2 ga?i
Bammentiamo infine che posto
p=Xx+ r„ + z, '
270 Gap. VII. § 5, Altra risohiz. dei probL pre'c.
risulta
― P
E
Di qui si deduce
*2
Xx = 一 2 [A
dx^ 1 — 2 X a iTi^
cioe
e due analoffhe. Parimenti
ed essendo e P armoniche, le componenti spe-
cial! di pressione saraniio biarmoniche. Pero pos-
siamo porre
7 一 9- dP 丄 dTJ 7 ^ dP 丄 dr
E d d h dy\ zi
7 一 |A 》P 丄
"一 ¥ 、 + &
essendo ？ 7, F, W regolari insieme colle derivate
prime, ecc. e soluzioni della = 0.
Inoltre per ：^^ = le Zx , , Zz assumono va-
lori dati L, M, N; dunque per una formula piu
volte ricordata
" 1 d<T
Cap. VI L § 5. Altra risoluz. dei probl. prec. 271
cioh yalendoci delle (12) abbiarao
J7= — (Q2 — 。,）?5， ecc.
Per determinare la funzione P yaliamoci della
equazione
d Zx , d Zff d A
Yx, 一一 《1 d x? 十 da^i dz, , ecc'
quindi per ； = avremo
一 Vt'X + o ~ = 一 7； ~~ 1 7： h
d z\ \ E d z\i d ZiXdxi dy、
ma le quantity eiitro parentesi soddisfano la = 0,
onde, a meno di una costante arbitraria, avremo
E 一 十^ 十&
cioe :
che possiamo scnvere
Inoltre
272 Cup, VII. § 5. Altra risoluz^ dei probL p) ec.
e questa, per essere
I*
1 一 2jc
= p (Q2 — 0)2) ，
coincide colla (15). Dopo cio conviene procedere
come al § 3 per la ricerca delle v， w， *.
Anche i problemi del terzo tipo possono essere
risoluti direttamente; accenuiamo ad una soluzione
che si presta ad importanti generalizzazioni.
Siano $， •/)， C le componenti di spostamento per
il solito spazio S essendo nulle le forze di inassa
ed Lq、 Mq, Nq le trazioni in superficie. Se poniamo
,1
le nuove componenti soddisfano evidentemente alle
stcsse equazioni di equilibrio e rappresentano una
deformazione del semispazio situato dalla parte
delle z negative. Si dice brevemente che questa
soluzione e ottenuta dalla prima " per riflessione ；,.
Tra le componenti di deformazione relative alle
due terne di spostamento, sul piano ； 3 = 0, si hanno
le seguenti relazioni
a' 二 a, b' = b、 c， = c 、 f， —— f; g ― - g ; h' = h
e quindi ancora
Yz = 一 , Z X = ― Zx ， X， y == •
• Le Boluzioni qui oeposte Bono dovute al prof. Almansi,
Annali di Matem-, 2, 1898,
I
II
，
一 I
Cap. VII. § 5. Altra risoluz, dei prohl. prec. 273
e infine :
L'q = - Lq, M'o = — Mo, JV'o = i^o 1
avendo accentate , com'e chiaro , tutte le gran-
dezze che si riferiscono alia seconda deformazione.
Dunque la deformazione ottenuta dalla prima per
riflessione corrisponde al caso in cui le trazioni
in superficie sono
- Lo, 一 Mo, No,
Se ora poniamo
Ul=l — V y t\ ― ― V， 二: 一 C
otteniamo una nuova deformazione corrispondente
a forze in superficie '
Li = Lo - L'o = 2 Lo , iWi = 2 Mo, N\ =
e inoltre sul piano limite, cioe per ； 2： = 0, sara
Ui := Vi = 0.
Supponiamo infine che in un punto del campo,
che ora vogliamo distinguere con otj, z^, le •/]， C
diventino infinite del primo ordine : la esistenza
di iotegrali siffatti delle equazioni di equilibrio di un
corpo anisotropo e stata posta in luce dalle ricerche
del Predholm come gik si e detto. Se il corpo e iso-
tropo (cio che vogliamo supporre) possiamo assu-
mere per le espressioni (16) del Cap. 6。；
qaindi le Lq^ J/o, -^o coincideranno con le Li ,
N\ delle fonnule (17) quando in esse si ponga
n s 2 .
Marcolongo. 18
274 Cap. VII. § 5. Alira risoluz. dei probL prec
Diciamo poi w, v, w gli spostamenti corrispon-
denti alle forze L、 If, N agent! in superficie. Alle
due deformazioni accennate applichiamo il teorema
del Betti, avendo cura pero di esoliidere dal campo
il puDto ^t?i, 3/1, Zi con una sfera 。。 che ha centro
in quel punto; si ha dunque
S{u Li-\-v Ml ― ivi N)d<x =
Pacciamo impiccolire indefiaitamente i】 raggio
di avremo che al limite
J(wiL + ...)dffo
tende a zero; mentre coi procedimenti del § 3 del
Cap. 6® si ha che
/(w Li + . . .) d (To
tende a
dunque
16冗 f)(»>2 2^(:ri，yi， zi) = J (tc Li + V Mi ― WiN)d<s
e formule analoghe. Conosceremo cioe la deforma-
zione allorche sul piano limite si conoscono gli
spostamenti tangenziali e le forze normali.
Per otteuere la formula definitive occorre sosti-
tuire ad Lq, Mq^ ； i valori ricavati dalle (16) e
(17) del Cap. 6.。
Ponendo invece
VL-
I ■
2
2
+
一；
t
Cap. VII. § b. Altra risoliiz. dei probl. prec. 275
sul piano limite avremo
e procedendo come prima
16 TT p w2 u (^1,2/1, 2^1)=/ (^2 u)—Lii% —Mv^do^ ecc,
le quali risolvono il problema complementare del
precedente. Tale metodo * e pure applicabile al
caso in cui il corpo essendo cristallino ammette il
piano z = Q come piano di simmetria.
Un altro metodo per la risoluzione dei problemi
del suolo isotropo, proposto recentemente e che
• II metodo h dovufco al prof. Somigliana, Rend, Accad.
Lincei, febbr. 1902. Applicando lo stesBo metodo egli ha an-
cora potato risolvere dei problemi nuovi relativi alia defor-
mazione di un diedro retto indefinito isotropo opjnire cri-
stallino con due piani di simmetria elastica paralleli alle
facce del diedro, allorch^ eopra le facce del diedro sono
date le componenti normali delle forze e le componenti tan-
genziali degli epoatamenti o viceversa.
II problema della deformazione di un diedro (triedro) retto
isotropo, allorch^ salle facce si conoscono le componenti degli
spostamenti (o delle forze) e stato riaolato, per via di approe-
simazioni successive, dal prof. Tedone, Rend. Acc. Lincei y
dicembre 1901. Del resto ai naovi problemi proposti dal pro-
fessore Somigliana si pu6 applicare con saccesso il metodo
di integrazione del Betti. Yedi una mia nota nei Rend, Acc,
Lincei, aprile 1902.
II problema della deformazione di una lastra ieotropa
(spazio indefinito limitato tra due piani paralleli) ha formato
oggetto di un lavoro del prof, Somigliana, Nuovo Cimento,
1885-86 ； h etato completamente risoluto, coi metodi general"
dal prof. Cekbuti, che ha pubblicato un solo annuncio delle
sue ricerche, Rend. Acc. Lincei, 1， 1884, pag. 521. Yedi pure
una recente nota del dott, Orlando, Rend, Circ. Matem. di
Palermo. 17. 1903.
276 Cap. VII. § 5. AUra risoluz, dei prohh prec
noi svilupperemo nel caso piu semplice in cui sul
piano limite sono noti gli spostameuti, e il se-
guente.
L'equazioDi indefinite di equilibrio sono
^2 w + — W2 - "~ =0, ecc.
2 d
m essendo costante. Ricordiamo poscia che
"赤
quindi
^2 (w + m iTj ©) =
e pero, in virtu della formula (25') del Cap. 1。,
2《 十？ w = — ^ - ~ I d (5
2 T^O r
-丄丄 f%
a
in cui i valori w, sotto il segno integrals s'inten-
dono riferiti al punto ir, z del contorno. Si de-
duce dunque
w(^i,i/i,2:i) = - — — - + F~ ~~ (油 -
Riflettendo poi che
1
Cap, VI L § 5. Altra risoluz. del probL prec. 277
si puo anche scrivere
" (④ 1) = - ^ a,-J 7 卜"、 J ~r ;
parimenti
, 、 1 d fv dc , m d f^d<y
Per w si opera anche piii semplicemente, poiche
al contorno e = 0; onde si ha
丄 ri 1 d (wd^
w + m Zi^ = 一 ―
= —
2 1： d r
1 d C^d<^
2 T^d r
e quindi
, 、 1 d ftv da m d f^d<s
Valendosi ora delle (6) del § 2 e posto inoltre
^ J r
si hanuo le forraule
1 ap , m
2 TTg 0j 2 71 doc I ，
Si tratta di determinare cp. Derivando le equa-
zioni precedenti rispetto 2/1, Zi e poi sommando
278 Cap. VII. § 5. AUra risoluz, dei probl. prec.
1 a P , m dT
u -— Z\ , ecc. ；
2 71 a ；^! 2 7r(l + m) ，
cioe nuovamente 】e formule (8) del Cerruti.
Si potrebbe alio stesso modo trattare il caso
delle forze o i casi misti : ecc. *.
* Per lo sviluppo completo di questi metodi e la loro ap-
plicazione a casi svariati vedi la memoria del prof. Tedone,
Saggio di una teoria generale delle equazioni delVequilibrio
elastico per un corpo isotropo. Annali di Matem., 8， 1902.
quindi
cloe
• 1 + m-
Otterrenio con ci5
丄 ll
2^3 2^1
1
2
+
1
2
9 二 ^
一一
e
CAPITOLO OTTAVO.
LA DEFOBMAZIONE DI UNA SFERA ISOTBOPA
Lamo e stato il primo a risolvere il problema
della deformazione di una sfera e di un involucre
sferico isotropo allorche sono date le forze agenti
in superficie ； riferendo i panti ad un sistema di
coordinate polari e formando anzitutto le soluzioDi
semplici delle equazioni differenziali del problema,
egli espresse le componenti di spostameuto me-
diante serie doppie i cui coefficienti sono determi-
iiati mediante le condizioni ai limiti.
W. Thomson (Lord Kelvin) ha considerate il
problema piii generale in cui la sfera e soggetta
all，azione di forze derivabili da un potenziale che
soddisfa I'equazione di Laplace. Nella soluzione le
componenti ortogonali di spostamento sono espresse
mediante serie semplici con metodo applicabile a
problemi assai piu generali.
II prof. GK H. Darwin ha trasformato la solu-
zione di Thomson in coordinate polari in un caso
particolare e solo negli ultimi tempi il prof. Chree
ha ripreso a trattare lo stesso problema in gene-
280 Cap. VIII. § 1. Def. di una sfera isott\ ecc.
rale., valendosi ancora delle coordinate polari, ma
con rnetodo del tutto diverse da quelle di Lame,
e neiripotesi piu generale di Thomson *.
La prima soluzione dal problema mediante in-
tegrali definiti e dovuta al Borchardt **: seguirono
poscia quelle del prof. Somigliana *** e del prof.
Cerruti, il quale, applicando il rnetodo generale di
iategrazione sviluppato nel Cap. 6。, assegno pure
merce integral! definiti la deformazione di una sfera
e di un iiivolucro sferico allorche sulla superficie li-
niite souo noti gli spostamenti o le forze ****.
Sono stati anche risoluti i problemi misti, quando
cioe sulla superficie limite e nota parte degli spo-
• Lame, Memoire stir Vequilibre d'elasticite des enveloppes
spheriques. Journ. Lioaville, 19, 1854. Coordonn^s curvili-
gnes. Paris, 1859, pag. 299.
Thomson and Tait, Natural Philosophy^ Vol. i， Parte ii,
§ 735. 1883.
"W. Thomson, Mathematical and Physical Papers, Vol. iii,
pag. 351-386. 1890.
Daewin a. H., Phil Trans. Roy. Soc, 1879 e 1882.
Chbee, On the equations of an isotropic Elastic Solid in
Polar and .Cylindrical Co-ordinates ， their Solutions and
Applications, Trans, of the Cambridge Ph. S.， 14, Parte iii,
pag. 250-369. 1889.
•* Unters. ii, die Elasticitdt fes. isotr. Korper u, s, iv, Monats-
ber. d. Ak. d. "Wies. zu Berlin., 9 Jan. Juli 1873. Gesamm.
Werke, pa^. 248, 309.
*** Sopra Vequilibrio di un corpo elastico limit a to da una
due superficie sferiche, Annali R. Sc. Normale di Pisa, 1887.
**** Assoc. fr. pour Vavanc d> Sciences, Compt. Keud. de la
14™e Session, 2mo partie, pag. 68-79, Grenoble, 1885. Rend,
Acc- Lincei^ anno 1886， pag. 461 e 586; anno 1889, pag. 189.
Atti R. AcC' dei Lined ； memorie della classe di Sc. fie., anno
1891. Nuovo Cimento, anno 1893.
Cap. VIII. § i. Def" ecc, p, dati spost. in sup. 281
stamenti e parte delle forze oppure gli sposta-
menti tangenziali e le forze normali e viceversa *.
Le soluzioni semplici e dirette, che noi per
sommi capi esporremo, sond dovute al prof. Al-
mansi **.
Supporremo sempre nulle le forze di massa.
§ 1 . Deformazione di una sfera isotropa per dati
spostamenti in superficie. 一 Neirassenza di forze
di massa, le componenti w, v, w di spostaineDto
sono funzioni biarmoniche nell' interne della sfera.
Pero conformemente a quanto fu fatto nel § 11
del Cap. 10, si ponga
w 二 (o,^ - a') +
0)
* Marcolongo, 7?e«(?. Acc. Lincei. 1889, pag. 849. Sulla de^
formazione di una sfera isotropa, Annali di Matem. 23, 1895.
Yedi anche: J. Hadamard, Annates Sc. de I, Ecole nor male
super., 18， 1901.
•* Sulla deformazione della sfera elasHca. Mem. Acc. di
Torino, 47, 1897.
Un' altra soluzione del problema e eeposta pure dal pro-
fessor Lauricella nella tesi citata, Cap. iv.
Egli ha pare per altra via riottenute le soluzioni del pro-
fessor Almansi ed ha trattato ancora il caso di un solido
elastico indefinite limitato da una cavitk eferica, Ann, di
Matem,, 6， 1901.
Gli stessi problemi sono risoluti, e con procedimento ana-
logo a Iquello accennato alia fine del § precedente, dal
prof. Tedone nella memoria citata alia nota della pag*. 278.
Yedi pure Eend, Circ. Mat. di Palermo, 17, 19P3.
ma
qaindi
^
282 Cap. VIII. § 1, Def., ecc, p, dati spost. in sup,
essendo «p, U、 F, W funzioni uniformi insieme
coUe loro derivate prime, seconde, ecc. in tutta la
sfera e tali che soddisfiuo la ^2 ~ ; pi e la di-
stanza del punto ("1， 2/" z^) iiel quale si vuol
calcolare la deformazione, dal centre della sfera,
Poiche per Pi = a si ha
U=u; ecc 垂
ed il valore u in superficie e noto, per dato del
problema, cosi applioando la (20) del Cap. 1。 si
deduce
U= ―. ~~ - I u ― ecc. (2)
4i^a J
T
in cui r e la distanza variabile del punto M {x^ y、 z)
della superficie dal punto Jfj, di guisa che
La risoluzione del problema dipende dunque
dalla conoBcenza di 9.
Ora osserviamo che
^2^ = 6— + 4 + 2/i - ~~ ― + Zi ^ ~~ ^ -
丄 d9 d9
十&
Cap. VIII, § 1, Def., ecc. p, dati sposU in sup. 283
onde
、 A 3 , "、 tof\
一 4^42""^) (2)
e la prima delle equazioni indefinite deU'equilibrio
diventa
d I 1 , a? 一 w2 、
dx\2 ^ dh 4(0'
Otterremo altre due equazioni analoghe mu-
tando in y、 e \ la espressione entro parentesi
e quindi costante e siccome nelle (1) o non com-
parisce che per le sue derivate possiamo supporre
nulla o compenetrata con 9 tale costante; sicche
1 ^ CD 11^ — (,j2 、
¥ '出 i|i+T"=o. (3)
Ma dalle (I) stesse si calcola agevolmente B; e
si trova
^ J 8? 丄 、丄 d U
" 2 卜 1 cr;7 + • • • + 厂 + • • • =
=2 ？ 1 JJL dv
一 ^卞 2—2/1 3^*
Dalle (2) si ha poi
d U 2x^C d<7 - r3 u{x — x^) ^
- ~ = i- 1 u —7- H I ~ ： d 。
4："^ a J r'd 4^a J
284 Cap, VIIL § 1. Z>e,., ecc. p. dati spost. in sup.
cioe
d U 】 广 rfc
« u—r. ecc.
dxi a I 》•&
dove
a=|(5 a^ — — 4{xxi + •••)) x^—S (a2 — p^^) 《}， ecc
Ponendo adunque
4 7： a J r'
risulta
4> = 一 J— I ― (a + p t? + "H")
8 Pi
L'espressione di * si puo semplificare. Diciamo
s la grandezza dello spostamento in M, sulla su-
perficie, formante un angolo s col raggio ed un
angolo Sj con Jf" sia poi ^ I'angolo di M ed
Ml ； si ha quindi
a s cos £ = X w + • • •
Pi s cos ^i — Xi u -\ -.. .
se dunque si pone
r'^H= { (5a2-pi2-4apjCOs w) p^cos e^-S (a^-Pi^) a cose] (6)
abbiamo
^ = 一 , ^ Hsd(T
4-^ a J
(7)
Cap. VI I L § 1. Def" ecc. p. dati spost, in sup. 285
La (3) diveata, dopo cio
w(p + pi|"?=u4 巾 (8)
Pi
essendo
m ― ； TTT-; —— o, A =
0<m<l.
La (8) e un'equazione differenziale che 8,in'
tegra facilmente e ci determiner^ 千； ed il pro-
blem a pu6 riguardarsi come risoluto.
Prima di fare la integrazione e opportune mo-
strare una proprieta della ？. Deriviamo la (8) ri-
spetto Xi : otteniaiuo
a? . d ( a 9 \ .
m - —— t- o ― I Pi 飞— 1 = A -- ~~
cioe
"^十 3^ 十"" 1 ^ + ^1 ^"^TF^ 十
e quindi
丄 1、 3? 丄 3 1^8?、 A 3^ /0、
m + 1) h Pi 八 —— I - ~~ 二 A - —— (9)
286 Cap. VIII. § 1. Def" ecc. p. dati sposL in sup.
• 、 d ^
cioe soddisfa ad un'equazione analoga alia (8)
d ^1 • ,
e che differisce da questa perche m c sostituito
da m + 1 e da ― ~" •
Per integrate la (8) moltiplichiamola per e
con cio si trasforma nella
a Pi ,
integrando
essendo f simbolo di fanzione arbitraria delle altre
due coordinate polari 》, + del punto Jfi. Si de-
duce
= 一 1^
，
La fuDzione 9 deve essere sempre fiiiita anche
quando iVf,, sal raggio OM^, tende al centre e
quindi pj a zero.
Ora:
Pi
1 f ：/» 1 小 C, = 一
k 1 I I
Cap. VI II. § 1. Def.、 ecc. p. daii spost, in sup. 287
essendo 中' un valore compreso tra il limite infe-
riore e superiore dei valori che ^ assume tra
e f>i; rintegrale dunque e finite per Pi=0.
Perche 9 resti finita, occorre dunque che f=0
e pero
A
Pi
m
(10)
In virtu della proprieta
espressa dalla (9) risulta
dimostrata su © ed
d9
A
Pi
w+1
d9]
cioe, per la (7),
g?
：一丄 n 丄
Pi
dJI
rfpi sd^\ (11)
sostituendo i valori (2) e (11) nelle (I) deduciamo
le espressioni definitive per gli spostamenti
4 7： a
[r^ — 2(i22— +(o2—)pi 斜 ij ^<
u
e due formule analoghe per v ^ to *.
* QueBte formule Bcmplici si potrobbero affevolmento de-
durre da quelle date per il primo dal prof. Cerruti.
288 Cap, VIII. § 2. Def.、 ecc. p. date forze in sup
§ 2. Deformazione della sfera per date forze
agenti in superficie. 一 Attesa la complicazione
delle formule ci limiteremo soltanto a mostrare uno
dei procedimenti piii spediti per la risoluzione di
questo problema.
Poniamo
U= a?i Xx + t/i Fa; + Si Zx \
V=x,Xy-\-y,Yy-\-z,Z, (13)
se diciamo quindi come al solito L, M, N le com-
ponenti delle forze date in superficie, si ha, per
Pi = a,
aL = XiXx-\-yi Yx -\- ZiZx, ecc.
cioe
U=aL, V = aM, W 二 aN. (14)
Ora
e ricordando 】e equazioni del § 5 del Cap. pre-
cedente :
ed infiue
— ?l (15)
Gap, VIIL § 2. Def,》 ecc, p. date fbrze in sup. 289
e due equazioni analoghe. Ma P, come ®, h Anno,
nica entro la sfera e quindi anche o ~ ； e pero
' . Pi
U= 0.
Ora le (15) sono del tutto analoghe alle (2') del
§ precedente; duiique posto
？ 7 =
(P】2
一 a^)
d 9
F =
(Pl2
一 a2)
+ n
一 a"
a?
(16)
si avra analogamonte alia (3)
1 „ . . a? _ "(- dP
"一外 （17)
Ma le (13), in virtu delle equazioni indefinite di
equilibrio, ci daiino
quindi per le (16)
P-2P '議
Le U\, … poi essendo fuDzioui armoDiche che
ill superficie assumono valori eguali ad [/,... cioe
Maboolongo. 19
290 Cap* V III: § 2, Def,, ecc.^ p. date forze in sup.
eguali ad a Ij、 … sono determinate dalle fonnule
； = ecc. (19)
La espressione
il>=:|-^ + ... (20)
sar^ dunque nota; e con un calcolo analogo a
quelle del § precedente rJsulta
- * = -7- fllFda (21)
4 7t j
essendo F la grandezza della forza data in super-
ficie ed H la stessa quantita (6) ma relativa alle
forze.
Sostituendo ora il valore (18) di P nella (17)，
dopo una facile riduzione si trova
环？ + i: Pi + f 1 - 2^ ^1 — 叫， (22)
equazione difFereiiziale che ci fara conoscere La
sua integrazione si pub ricondurre a quella della (8).
Si determinino infatti due numeiri m ed n tali che
- E 11-1 E
e la (22) equivarra alle due altre
Cap, VIII, § 2. Def, ecc.^ p. date forze in sup, 291
la prima delle quali ci determinera •J' applicando
】a (10) e quindi, sempre eolla (10), otterremo <p.
Ma per brevita non effettaeremo i calcoli e riter-
remo note le Z7, ... Mostriamo infine come si pos-
sano detenninare gli spostamenti.
Ricordando le espressioni delle componenti spe-
cial! di pressione e sostituendo nelle (13) si ha
E
一
d V d u
Posto adunque
d u d w
Zi , ecc.
A
X 1 - 2x
E
P
1
？ 7, ecc. .'. . (23)
risultano le equazioni
vA
,
十&:
d V
1 d d ^1
\=A
, 丄 。，丄
d V
d w
'•Ci
in cui le B, C date dalle (23) sono da riguar-
darsi come note.
Dalle (24) a loro volta si deduce
dVi 一 "1 d^i 十 仏 dl/i 十 《1 一 Pi dj,
292 Gap. VIII, § 2. Def. ecc,, p. date forze in sup
donde
一 - ""- la Pi , ecc.
J h\dyi dz^
Potremo dunqae riguardare come note le rota-
zioni: ma le (24) possono anche scriversi coal
2pi|y- + ^i ?2 - .Vi ^3 A, ecc. . . .
e quindi con una naova integrazione rispetto Pi
conosceremo t/, to. Eseguendo i calcoli, che qui
abbiamo solamente acceimato, si possono porre le
espressioni di u, w sotto forma relativamente
semplice *.
* Per lo Bviluppo di questi calcoli ei vegga la memoria
del prof. Almansi e quella recente del prof. Laubicella,
Nuovo Cimento、 5; 1903.
Per cio che rigoarda poi gli BTiluppi in eerie delle com-
poncnti w, t\ tv, oltre i lavori citati del Lanricella e la mia
memoria, citata a pag. 281， si possono couBnltare nameroai
lavori del sig. Chree e l，eccellente trattato del sig. Love,
Capo X. Ci h imposeibile dame anche un cenno fagace, tali
metodi poggiando en propriety delle fanzioni sferiche.
La applicazione del metodi Betti- Cerruti esige lo studio
delle propriety delle deformazioiii simmetriche rispetto ad an
asse e quindi delle fanzioni potenziali coniugate del Beltrami,
gik accennate nelle memorie del prof. Cerruti e nella mia me-
moria degli Ann. di Mat, le quali hanno pure applicazione
al caeo del diedro, triedro, lastra di epeseore finito, ecc.
CAPITOLO NONO
IL PROBLEMA DI SAINT- TENANT
SULLA DEFORMAZIONE DELLB ASTE CILINDEICHE
§ 1. Posizione del problema. 一 Gli esempi
svolti nei capitoli precedenti hanno gia dato una
idea delle gravi difScoltk che occorre superare per
stadiare la deformazione di un solido qualunque;
difficolta tanto gravi che all，infuori dei casi che
abbiamo studiato, pochi altri casi general! si co-
noscouo in cui I'integrazione delle equazioni della
elasticity sia stata ottenuta.
• Sa (jueato capitolo vedi Clebsch, Theorie der Elasticitdt
fester Korper, 1862, § 22， pag. 70. Love, 1. c.， Cap. vi. L'o*
pera del Love h ricca di citazioni bibliografiche alle quali
rimandiamo il lettore. Vedi ancora le due grandi memorie
del Saint- Venant, Mem. sur la torsion des prismes^ etc. Mem.
d. savants etrangers, 14; 1855. MSm, aur la flexion, etc. Jour-
nal de Liouville, 1; 1856. l^ello sviluppo della solazione se-
gaiamo, con qualche piccola varianto, il Clebsch. Vedi pure
Almansi, Introdnzione alia scienza delle costrnzioni, To-
rino, 1901.
294 Cap. IX, § 1. Posizione del problema.
Dal punto di vista dei risultati pratici sarebbe
assai importante lo studio della deformazione di
quei solidi che si presentano nelle costruzioni ；
cioe aste, colonne cilindriche o prismatiche, ecc.
Si puo in questi casi prescindere dalle forze di
massa che, per lo piu， si riducono al peso e si puo
anche supporre la superficie convessa del cilindro
noa sollecitata da forze (oppure da forze trascu-
rabili) : ma supporre solamente il cilindro sog-
getto a forze distribuite sulle due basi.
II problema dunque che sarebbe utile risolvere
e il seguente :
studiare la deformazione di un cilindro omogeneo
retto nella ipotesi che siano nulle le forze di massa
e che sia soUecitato da forze qualunque distribuite
sulle due basi, '
L'asse z sia la congiungente i centri di massa
delle varie sezioni rette (nello stato naturale) e il
centre delle coordinate" sia su una delle due basi
(2； = 0)； Faltra corrisponda fx. z = l. Supporremo
inoltre, per semplicita di calcolo, il cilindro iso-
tropo per quanto i procedimenti che svilupperemo
siano del tutto generaH.
Dovremmo occuparci della ricerca di w， v， w
(componenti di spostamento). Le equazioni indefi-
nite del problema (dalle quali poi si sono ricavate
le equazioni del Cap. 4。, § 5) sono
dXy
c=0, ecc
(1)
dy
E nel caso dei corpi isotropi abbiamo inoltre
Cap. IX. § 1, Posisiiorie del problema. 、 295
(for. 12. Cap. 4。)
Xx- —
E Id u
+
X
1 +)c \0X 1 — 2>c
1 + >^\d!/ ' 1 — 2 )c
幺》= 一
Tj Idtv
1 + y. \3 ' 1 - 2 X
E Id 10 , d "
e
(2)
2{\ + ^)\dy ' dz
E
2 (I + x) \Yz'^doo.
2 (I +x)、8w ' dy
Diciamo Lq, 為, le component! dello forze^
per UQita d'area, distribuite sulla base inferior©;
L\, Jfi, Ni quelle della base superiore : poich^ sulla
prima si ha .
cos (m, x) == cos (n, i/) = 0, cos (n,
e sulla seconda
cos (w， x) ― cos (w， 2/) = 0, cos (w, z)— — l ；
avremo
Lo — ; Mo^Yz; No = iiz (3 ^ 0) , I -
Finalmente sulla superficie convessa, libera (la
596 OUp. IX. § ^. Ipot. spec. suUe forze tnt, ecc.
forze, avendosi cos (m, z) ― 0, dovremo avere
Xx cos (m, x) +. Yx cos (w, 2/) = 0;
Xy cos (n, ir) +, Fy cos (n, y) = ;
X? 008 (n, x) + cos (w, y) = 0.
§ 2. Ipotesi speciale sulle forze interne; pro-
blema di Saint-Venant. 一 Posto cosll in generale
al problema non si sa risolyere. Si capisce pero
che specializzando m modo conveniente 】a distri-
buzione delle forze sulle due basi, si avra una
speciale deformazione ora e possibile scegliere tale
distribuzione in modo da poter facilmente asse-
gnare 】a deformazione corriepondente ed e merito
del Saint-Venant di aver assegnato una serie di
casi particotari, sopratutto interessanti per la pra-
tica， in cui e possibile determinare una speciale
deformazione delle aste cilindriche. Osserviamo
che le Xx、 Yx^ Yy figurano sol tan to nelle equa*
zioni (4) "valide sulla superficie convessa del cilin-
dro. Ora si vuol vedere se e possibile una defor-
mazione per 】a qualQ le ,
Xx^Yx= ry = , (5)
siapo soddi^fatte al contornp e nell'interno di tutto il
cilitidro; cercare poscia di determinarla e infine ri-
cercare quale deve essere la distribuzione delle forze
sulle due basi. Questo metodo che assegna a priori
ajcune proprieta delle componenti dipr^ssioile dices!
metodo semi-inverao, II Saint- Venant ba effettiva-
mente mostrato che un tale problema e possibile
ed ha di piu determiiiata e studiata la corrispon-
Cap, IX. § 2. Ipot. spec, sutte forze int., ecc. 297
deate deformazione ； pero il problema cosl specia-
lizzato dicesi problema di Saint- Venant.
Le (5) si possono interpretare cosi: per un pun to
interoo del cilindro condaciamo un elemento piano
parallelo al piano y z; esso sopporta una pres-
sione di componenti Xr ， Yx ， Zx (per unita d'area) ；
le prime due, per le (5)， essendo nulle, questo ele-
mento e soggetto ad una sola pressione tangen*
ziale ； lo stesso dicasi per un elemento parallelo
ad xz ed in generale per ogni elemento paral-
lelo alPasse del cilindro. Supponendo dunque il ci-
lindro composto da tante fibre parallels all'asse^
queste non risentono che pressioni tangenziali.
Nella ipotesi (5) le equazioni indefinite di equi-
librio diventano
€2 oz dy d z
Le equazioni (4) valide sulla superRcie convessa
del cilindro si riducono all'unica
Xz cos (n, x) + Yz cos (n, y) = 0. (7.)
Supporremo inoltre, come gia s'^ detto, che un
certo sistema di forze BoUeciti la base superiore
del cilindro (quella corriepondente a 2： = Z) e quindi
Li^-Xz, Mi= - Yzi Ni^ — Zz (z = 0-
Non si conoscono, punto per punto, le Li, Mi^ N\、
ma solameiite le coordinate di questo sistema di
forze, che indicheremo colle solite hotazioni della
298 Cap, XL § 2. Tpot spec, suite forze int , ec6
meccanica, di guisa che avremo
Rx=- — S d <T, By == —— / Yz d <y,
Mx=S Yz 一 y Zz、 d ？、 ecc.
Supporremo infine la base inferiore (3 = 0) li-
bera da forze ； fisso il punto origine 0: cioe
per
inoltre i punti delPasse x si spostino ma restino
sempre suU'asse x.\ un punto 0' bii quesfco asse ed
infinitamente prossimo ad 0, avendo per coordi-
nate d Xj 0, avra per componenti del suo spo-
stamento secondo y q z\
dunque sara
per x — y'=^z= \ supporremo infine che Passe y
si sposti restando sempre nel piano 0? y : un puUto
infinitamente prossimo ad su quest'asse avra
nulla la componente del suo spostamento * secondo
z cioc : dunque, senza sp.ecializzare In
Cap, IX. § 5. Equaz. differ, per gli spost. 299
nulla il problema, possiamo dire che per X =
=y = z = si ha
dv dw dw 、
§ 3. Equazioni differenziali per gli sposiamenti.
一 Le equazioni (5) e (6) si trasformano facil-
mente in equazioni differenziali per gli sposta-
menti, che vogliamo anzitutto stabilire.
Dalle (2), essendo Xx = 1^ = 0, risulta
d u d V
. 、 , dy
cioe
- d u d V
" e
1-2 X
― X. —
d z
dx dy
La condizione Tx~0 ci da, a sua volta,
d V d u
(10)
d 丄' dy
=0.
(11)
Passiamo ora alle (6) : la prima e seconda, in
virtu dei valori (2) ci danno
|_—1 + ;^ = 0. (12)
dx.dz
^^-^^0. (13)
La terza delle (6) equivalente (vedi § 5 del
Cap. 4.0) alia
+ -見 0:
300 Cap, IX. § 4, Ukerca degli spostamentL
ma
dx dy d z'
in virtu delle (10): quindi
dx^^ dy^ dz' 、勾
Danque le oomponetati di spostamento debbono
soddisfare alle cinque equazioni differenziali (10)
sino a (14); ci5 che in generale [non e possibile
solo che per forme speciali di w, v, to. Ed h ap-
punto quello che uoi ora mostreremo.
§ 4. Ricerca degli spostamentL 一 Dalle cin-
que equazioni stabilite, combinate in modo oppor-
tune, possiamo eliminare u e v,
Deriviamo infatti le (12)， (13), (14) rispetto oc,
y、 z e sottragghiamo la terza dalla somma delle
clue prime. Avremo
Idu , d v\ ^d^w
dz^Xdx dy) "3
e questa per la (10), notando che 1 + x > 0, ci
08
dz
3
-0.
Deriviamo la (12) rispetto y、 la (13) rispetto x、
somm^indo e tenendo presente la (11) risulta
一. n
= ；
Cap. IX. § 4. Ricerca degli spostamentL 301
derivando invece la (12) rispetto a?, la prima
delle (10) rispetto z due volte e sottraeudo si ha
― X -— r +
=0
cloe
33 10
=0.
Operando in modo analogo sulla (13) si ha pure
Sicche infine abbiamo
Ponendo
Yz
二 Wi
abbiamo
d^Wi d^Wi d^Wy d^Wi
dz^ dx^ dys dxdy
=0,
la prima delle quali esige che Wi sia una fun-
zione lineare di 2; e le altre tre che Wi sia fuii-
zione lineare di x ed y: dunque
= a f a^x + a^y +z(b 4 6^ a? + y), (16)
302 Cap, IX. § 4, Bicerca degli spostamenti
essendo le a e 6 costanti. Allora le (10) ci faraano
conoscere ^ e ^ e quindi con altre tre inte-
dx dy
grazioni conosceremo t?, ic.
Intanto , .
:r-^-^[a + a^x + a^y-\-z{h + h^x -\- b^y)]
mentre 】a (12) ci da
n = — "1 一 M，
cioe u e di terzo grado in z, Integrando si ha
M = 一 X
ax -\-)-a^x^ -\- a^ocy 小
essendo a, P， 丫, S funzioni della sola y; e poiche
da questa si trae
. B 二 2 丫. + 6" ,
COS! concludiamo die
1 16
11
1 12
C.tp. IX. § I. Ricerca degli spostamentL 303
e pero
( , 1 、 3
u = 一 ^ I a X + — aix^ a2 xy
(" + 告 6i a?2 + 62 a? 〃） j +
+'^ + — ^ ai — z^,
Mutando x ia y, io bi in 63， a in a'， ecc...
otterremo v， cioe
= — >t I a 2/ + ai 巧 + (72 J/2 +
+ 2 (6 y + My + 告 62 力 I +
+ a' + p' 2； — y org 2!^ — y 62
in cui a' e sono fuDzioni della sola x» Le espres-
sioni cosi trovate per ti e v soddisfano certamente
le (10)， (12) e (13). Perche soddisfino anche la (11)
e necessario e basta che
一) c {a; ("2 + bo + 2/ ("1 + h ！ +
o
out 一 ^
d -7a
7a
一 H
+
la quale dovendo yalere qualunque sia z si spezza
304 Cap. IX. § i, liicerca degli spostamenti
in queste altre due
da dot,
Ognurm di queste due poi a sua voUa si spezza
in altre due che si ottengono ponendo separata-
mente eguale a costaiite la parte dipendente dalla
sola X e quella dalla sola y\ quindi
di' . d a ,
, - = - ao + >t ^2 0? ; ― = a^-\^ai y、 ecc.
(t X (t y
(londe
a' = a" 一 do $ + X
ed analogamente
le CTo, a'， a", 6', &'' essendo costanti arbitrarie.
Se poi notiamo che nelP origine u = v = 0, si
deduce subito a' = a" = ed essendo ancora nel-
Cap. IX, § 4. Ricerca degli spostamenti. 305
rorigino — — 0, si ha Qq = 0. Abbiamo dunque
X
M = 一） c
/jQ^ 一
+ z[bx + i| ~~ 卜 b、2"
+
+ 2； (i' + Jo 2/) — ^ "1 一 一 ^ 6i 一 ，
( ^2 一 ^2
*•
Passiamo ora alia ricerca di w, Integrando la (16)
si ha
= (" + «i a + "2 - +
essendo F una funzione incognita di x ed y. Con
i precedenti valori di w， w siamo certi di sod-
* II calcolo di ti e V potrebbe farsi direttamente e alquanto
piu speditamente, osservando che le (10) e (11) esprimono
che u + tv e funzione della variabile complessa x ii/ e
di z. Vedi: Poincarij, Lemons sur la theorie de V Slasticite.
Paris, 1892, pag. 169. Cesaro, 1. c., § xvi.
Marcolongo. 20
1 i6
2
2
a
1 12
o
ft
306 Cap, IX. § 4. Ricerca degli sposiamenti
disfare Alle equazioni (10)， (11), (12) e (13). Resta
dunque la sola (14) la quale si trasforma nella
Possiamo decomporre 】a. in due parti una
delle quali abbia il eguale a — 2 {b -\-biX + J/);
se questa parte e funzione intern Ai x ^Ay sara di
terzo grado al massimo : poniamo dunquo
le a, p ... [A essendo costanti arbitrario. Risulta
么2 F== + 2 a + 2 了+; r (6 S + 2 》'） +
se quindi poniamo
6 = ui = , 〉、 = ― bi , s = — b
2
risultera
e
TF, =
1
w = {a + Ui X + 02 y) z + ~ {b + X + y) ―
+ Tf,i
1 12
a
o,
op
Cap. IX. § 4, Ricerca degli spostamenti. 307
Per poter inoltre far si che to soddisfi alle con-
dizioni (9) conyiene sostituire alia la
sara quindi
e per le (9) :
b = ( 『)o ； b'
b"
'0
8 W
dy
Con qaesto abbiamo soddisfatto a tutte le equa-
zioni differenziali. La W h una fimzione armonica
a due Tariabili ； cioe armonica in ogni sezione
retta del cilindro. Ma deve inoltre soddisfare ad una
condizione al contorno. lofatti sulla superficie con-
yessa del cilindro, e quindi sul contorno di ogni
sezione retta, deve valere la (7) che equivale alia
d u , dw\ f \ ^ (dv . dw\ , 、 -
+ ； r- I cos {n^x) + \ — + ― | cob (w, y) =^ 0，
cioe, con un calcolo facile,
dW , .[ dx , dy\ ^ I dx dy\ ,
a n \ an an) \ an a ni
(y^x^ + (2 ― x) j/2 dx
2
d n
• a n)
308 Cap. IX, § i. Rieerca degti spostamenti
e pero la fanzione armonica W e determinata (a
meno di una costante) dai valori della sua deri-
vata normale al contorno.
Ora deve intanto aversi
- "~ ds =
- an
s essendo il contorno della sezione retta. Notiamo
che applicando il lemma di Gauss e tenendo pre-
sente che i ceutri di massa delle varie sezioni
stanno suU'asse 2^, si ha
x-—ds = I y~r~ c^s = —册 ff
an J an J
a n J
odx f dx , A
ir -7- as = \ Xy ― a s = . . . = 0.
a n J (in
Se quindi integriamo la (17) si ottiene
Dunque la TF, armonica in ogni sezione retta,
soddisfa al contorno la
dW ^ I dy dx\ , 、
io U J — 2/3— +
dn \ dn d fi,
+ 「丄 2 土 (2 ^ 荇 + x)W,i+》(18)
I 2 a n a n) '
+ bJi2 + .)xy- + —― 2 —"卜
Cap, IX, § i. Ricerca degli spostamenti 309
e per6 】a determinazione della W dipende dalla
forma del contorno.
Conviene porre
W=boBo + h Bi + 62^2 (19)
essendo le Bq^ Bi, armoniche e soddisfacendo
al contorno rispettivamente alle
d Bq dy dx
-=x - 一 y ——
d n dn d n
dB, xa;2 + (2 — dx
d n 2 dn
d y
+ (2 + )c)a?y
dn
) (20)
d Bo - , 、 d X ,
■^ = (2 + 一" +
X 2/2 + (2 — jt) 0?2 d y
2 dn
Riepilogando dunque possiamo dire che, come
si era asserito, si puo soddisfare (e in modo unico)
a tutte le condizioni imposte, ponendo
( I — \ \
w = — xiarc + a, —— [-ci2^y ] 一
f x^—y^ \
一叫 6i — + b2xy\-\-bQy z
, Id TFv 1 2 1 , 3
(21)
310 Cap. IX. § 4. Ricerca degli spostamenti
( I , 2/3 一 a;2
丄々 3 1F| 1 2 1 , 3
\dy'o 2 6 ^ (21)
10 = z (a-\-aiX + azP) +
1 TT, ldW\ {dW\ I
\ h \ dy k I
Si oalcolano ora subito le tre component! spe-
ciali di pressione che non sono nulle, cioe
一 ^ ^ — - ——
1 2 doo
Y. = - 2(1; \-boX-'{2 + ^)b,xy^) (22)
x2/2+(2 — ) c)a'2 a w
Zz = — E { a + -ha^ t/ + z (b^ X + b2
Xx ―— Yy Xy 0.
Cap. IX. § 4. Ricerca degli sposiamenti. 311
La soluzione trovata da per le componenti di
spostamento dei polinomi di terzo grado in a*, y， z
contenenti le sei costanti arbitrarie
Perche dunque la ricerca sia completa occorre far
vedere come le condizioni alia base superiore, cioe
le (8), permettano di individuare queste costanti.
Riferiamo perci6 i punti della base agli assi
principali d'inerzia baricentrici e diciamo a e M
raggi principali d' inerzia relativi agli assi ed x
e 0" Parea : quindi
S ocd^f =^ Sy d<5 = S X 1/ d<j =
Soi^tituendo le (22) nelle (8) e tenendo presenti
le posizioni preoedenti, si ha
Bz = Ea a
Mx = — lRy +E<J (aa P2 + I *2 B2)
312 Cap. IX, § 4. Ricerca degli spostanienti.
+ Y J[(2 一 一 (4 + x) x^y\d^-^
+ Y J [(2 -) c) it?3 一 （4 + — "2 j " +
J \ dy 00 ) )
Qaeste espressioni si possono notevolmente sem-
plificare. Infatti osseryiamo che
》i — ^\"&/ 十^ I dv
quiiidi
dW ^ ( d W ^
^ —— a <T= — I X— as:
d X J an
sostituendo a secondo membro il valore (18) e no-
tando che si ha
(•^2/ J— — f 丄，"
dy J C dx J f g dx J »
an J an J an
d s =— 3(T0L^:(xy^^^^ ds= 一 ecc
J an
risulta
|^" = |"<M(4 + 5>cK + (2 — X) p2,
e in modo analogo si trova la formula che si ot-
tiene da quosta scambiando x in y; onde
3/^ = J57ifi2a2, My=-E^x^ai. (23)
Cap. IX, § 5. Analisi della def. Est semp. 313
Non sembra invece facile trovare una espres-
sione semplice per Ms ， la cui determinazione di-
pende da quella della funzione W.
Appare ad ogni modo chiaro che la conoscenza
delle forze, che sollecitano la base superiore, de-
teriuiua ia modo assai semplice le costanti ； infatti
le (23) ci determineranno a, ai, a" 6。 i?. e final-
mente la espressione di 见， liaeare in bi,
determiner^ io-
§ 5 Analisi della deformazione. Estensione sem-
plice. Abbiamo gia osservato che la soluzione
espressa dalle (21) contiene linearmente sei co-
stanti arbitrarie indipeiidenti; quindi la deforma-
zione puo riguardarsi come risuUante di altre sei
che si ottengono supponeodo volta a volta nuUe
tutte le costanti ^irinfuori di una sola. Ma e
facile vedere che la deformazione di pendente dalla
sola costante non differisce sostanzialmente da
quella di pendente dalla sola a" infatti si passa
dalPuna all，altra scambiando x in y eA. u con v.
Cosi dicasi per b\ e b^] di guisa che in sostaoza
abbiamo da studiare quattro modi semplici di de-
formazione.
Supponiamo anzitutto nuUe tutte le costanti
meno a; avremo
w = — X a ^ ; V = —— I ay'、 io = az
e = (l — 2x) a.
d u V d w
dx c y dz
314 Cap* IX, § 6, Flessione iiniforme
Le forze sulla base superiore si riduoono alia
sola
La deformazione si riduce ad una estensione
semplice longitudiaale aocompagnata da una con-
trazione laterale uniforme, prodotta da una forza
applicata alia base superiore normalmente a questa
in modo da stirare il cilindro (a > 0). Ogni fibra
nel senso longitudinale si allunga nel rapporto di
1 a 1 + a; si contrae trasversalmente nel rapporto
di 1 ad 1 一 a>t; ogni fibra rettilinea resta retti-
linea dopo la deformazione ； ogni sezione piana
resta piana. La deformazione e indipendente dalla
forma della sezione retta.
§ 6. Flessione uniforme. 一 Supporremo nulle
tutte le costanti eccetto ^i. Le (21) e (23) ci danno
w = — 2 (^^ -力一 + «i $2
V = — y、 cti 00 y \ w z
e = (l — 2>c)aia;; Mp=-E<J^^ai
meatre le Rx、 … sono tutte nulle. La base supe-
riore e duaque sollecitata da una coppia situata
nel piano x z. Per avere una immagine di questa
deformazione ricercheremo come si trasformano le
fibre parallele all'asse z e le sezioni rette del cilin-
dro. II procedimento generale da seguirsi e il se-
guente : per ua punto a?, y della base inferiore si
conduca una fibra parallela alPasse ^？; un punto
qualanque variabile su questa sara iudividuato
Cap. IX. § 6, Flessione nniforme, 315
dalla propria z. Dopo la deformazione le coor-
dinate di questo punto siano x\ y\ e sara
X ^ x-\- = y + V， z' = Z + to;
elimiaando z tra queste equazioni otterremo le
equazioni della curva nella quale si trasforma la
libra.
Notando invece clie una sezione retta e defi-
nita dalla z、 eliminando tra 】e stesse le x ed y、
otterremo una equazione in x\ y', z\ in cui figura
z come parametro costante, che e Pequazione della
superficie trasformata della sezione retta. Appli-
cbiamo queste considerazioni general! al nostro
caso: avremo
a?' = a; — Y X ai {x^ ― \/) 一 2 «1
= y — X a? z =z + aiX
ed eliminando z si ha
1 1 ^'2
= x — --y. ai (x^ 一 2/2) — ― «1
2 i\ " 2 '(1 + a^xY
y' = y{l 一 X flfi = cost.
Dunque queste fibre restano in piani paralleli
al piano x z e si incurvano secondo parabole di
2° grado.
L'asse z cioe la fibra centralc si trasforma nella
刀' = —— 2；'3， \J == 0,
316 Cap. IX, § 6. Flessione uniforme
cioe in una parabola contenuta nel piano xz e
tangente all'asse z\ se, com，e lecito, si suppone
> tutte le parabole presentano la concavita
verso le x negative e le fibre s' inflettono tutte
alio stesso modo : di qui il Dome di flessione dato
a questa deformazione. II piano xz^ che contiene
la coppia, dicesi piano di flessione. L'estremita
deU'asse (0， 0, I) si abbassa di ai e questa
quantita dicesi sadta di flessione-
Essa e in generale molto piccola; e poiche
e dello stesso ordine di a^, la parabola dif-
ferira assai poco dal cerchio
che ha il centre sulP asse x e rsL^gio ； per
questo la deformazione prende anche il nome di
flessione uniforme o circolare.
Eliminando x ei y dalle equazioni precedente-
mente stabilite, cioe sostituendo nella terza ad x il
valore ricavato dalla prima, si ottiene, trascurando
i termini in
cioe la sezione z ― cost, resta plana, ma si inclina
sulla prima; questo piano taglia Passe x in ua
punto di ascissa e passa dunque pel centre
• ^1 •
del circolo in cui si trasforma I'asse z ； e poiche
le fibre perpendicolari alFasse z e contenute nel
Cap. IX §. 7. Ilessione non uniforme, 317
piano X z restano rettiliuee cosi esse si^incliue-
ranno sull'asse x restaado nel piano ocz e nor-
mali alParco circolare in cui si trasforma I'asse z、
Infine gli element! pei quali a: <0 si contrar-
ranno ； gli altri si dilateranno.
Fossiamo infine osservare che la costante de-
fiaira pure una flessione circolare nel piano y z e
che entrambe queste deformazioni non dipendono
dalla forma della sezione retta.
§ 7. Flessione non uniforme. 一 Supponendo
nulle tutte le costanti meno e ponendo
le formule srenerali ci dan no
v = h^z('p — oc y)
ir ― -- bi ― hi X + J, {By - m X — p y);
la funzione e armonica entro una sezione retta
ed al contorno soddisfa 】a
-I (2 4- yC)xy
d n 2 dH I ' d n
Inoltre si ha
Rx = Ec^n^ , By 二 It: 二
OKU
. o
5
2
1 ^ 6
2
一 .
. X 一 2
1
2
318 Gap. IX. § 7. Flessione non uniforme.
e dei mpmenti sussiste il solo Mz ， cioe
2 (1 + x) ( j [ 2 ^ 2
dB, 、. dBA , }
La deformazione dipende dalla conoscenza di Bi
e quindi dalla forma del contorno ； possiamo tut-
tavia assegnare alcune proprieta generali. Per ve-
dere in che cosa si trasforma una fibra longitu-
dinale elimineremo z tra le equazioni
m 一 ― ( 一 y^) 一 —z^\^ ecc.
2 o
ma se in qaeste al posto di z sostituiamo 一 to
e poi trascuriamo i termini deH'ordine di bi^ otte-
niamo
£0, = X — bi \ - + 4" X z\(x^ —— y2) — w z'
( b J
y' = y >^ h X y z' + hi p ；
quest ' ultima equazione rappresenta un piano pa-
rallelo aU'asse X; onde ogni fibra rettilinea pa-
rallela a si conserva piana e si trasforma in una
parabola di terzo grado il cui piano sMnclina sal
piano xz, II carattere generale di questa defor-
mazione ^ quello di una flessione. Lo spostamento
deH'estremita deH'asse del cilindro seeondo l，asse
X、 e
Cap. IX. § 8. Fless. non unif. di un oil, ell. 319
e dices! saeUa di flessione, Ci sono delle fibre il
cui piano resta parallelo al piano x ^ di flessione ；
per queste infatti dovendo aversi y， = y、 sara
%xy — p
cioe queste fibre costitaiscono un cilindro la cui
base e una iperbole equilatera.
Se nella espressione che da z\ al posto di x
ed y Bostituiamo i loro valori x* — u, y' 一 v e
trascuriamo i termini deU'ordine di J^^, otteniamo :
z' =z + bi (备 X* 一 x' y'^-\-Bi 一 m co' ― py'
essendo J9/ cio che diventa B\ quando al posto di
a? ed 3/ si sostituiscano edy'; questa e 1' equa-
zione della superficie nella quale s'incurva la se-
zione z ― cost; essa non e in generale piana e
varia col yariare di z,
Le ulterior! proprieta della defonnazione dipen-
dendo da Bi， determiniamo questa funzione nel-
ripotesi di una sezione ellittica.
§ 8. Flessione non uniforme di un cilindro el-
littico. 一 La sezione retta sia una ellissi di equa-
zione
La funzioni x e — 3 t/^ sono armoniche ；
poniamo
Bi = o:x + p {.t ^ 一 3 a? 1/2)
320 Cap. IX. § 8. Fless. non tmif. di un ciL elL
a e p essendo due costanti da determinarsi in
modo da soddisfare la coadizione al oontorno ； la
quale, per cssere 4~ , rispettivamente pro-
d n a n
porzionali a — « , , diventa
or
dB^ X dBi y % +{2 - y)y^ X
― ~ 一 ― -4"
dco dy 2
+ (2 + >0f"，
cioe
X 3P, , 2、 6p 2
十 十 l2—J"J^'
2
a I'espressione equivalente a (— + renderemo
II secondo membro e omogetieo di terzo grado
in a? ed y ; non cosi il primo ； ma sostituendo ad
+ ,
^a^ b'
anche il primo membro omogeneo di terzo grado
in cc ed y, Dal paragone dei termini simili ri-
sulta
donde
a^\2a^(i + x) + J2j
a
3a^ + P
― 一 (4 + x) + P ( 2 -jO
- 6(3a'V6') —一
Cap, XL § 8. Fless. non unif, di un cil, ell. 321
In tal cast), poiche si tratta di una sezione con
due assi di simmetria, riflettendo che
dy dx
e dispari in y e pari in a?, risulta
e quindi
Si potrebbe anche mostrare che tale risultato e
valido per qualunque sezione con due assi di sim-
metria *.
Nel caso di un cerchio si ha:
5, = — 3 + 2x)^
4 ( )
e poiche
risulta
4
e si puo formare respr^ssione completa di ic, Le
curve w = cost, sono dette curve di egual distor.
Clebsch, 1. c , pag. 103-
Marcoi^oj^go. 21
322 Cap. IX. § 9. Torsione.
sione e sopra una determioata sezione retta sono
curve di terzo ordine.
§ 9. Torsione. 一 Supponendo final men te nulle
tutte le costanti mono 6。， abbiamo
u = bQz{y + m)， = 一 6。 (0? — p)
bo (Bq — m X — p y), 6 =
e le component! del sistema di forze della base
superiore si riducono alia sola Mz , il cui valore e
丄 W- = ^Tf^ 卜 + +
+
si ha cioe una coppia contennta nel piano della
base, detta coppia di torsione. La funzione Bq^ ar-
monica su ogni sezione retta, soddisfa al contorno la
d Bn d y d X
- — - =x- ~ 一 y —— ：
d n d n dn
e inoltre •
Id Bo\ Id Bo\
^ Iq ^ dy fo
Trasportiamo gli assi parallelamente a loro stessi
in un punto Oi di coordinate 一 m; cioe po-
nianio
x^-x -p, 2/i = y + m
巾 = "0 — mx —py.
Cap. IX. § 9. Torsione. 323
Quindi
u^bozt/i; v = 一 boSsoOi; = 6。 巾，
La fanzione ^ e, come Bo, armonica in a
piu al contorno
d ^ dy dx dx dy
d n an an an an
cioe
dVi dor.
an a n a n
L^espressione di Mz si trasforma agevolmente
osseryando che
fl^ d Bo "0 7^
d^i JoVi J J
Ma:
fXidG = fxd (^— p(T = 一 p< SVi d f! = m^
^ ~ rf<r= 一 X. ds = --\Xi^ -T^ ds +
d iPi J an J an
J d n Joyi
324
Cap. IX. § 9. Torsione
quindi
2(1 + x)
.4-
「f 9 中 d^\. \
Ma ff (a2 + ； )2)， (7 (p2 + 1^2) rappreseiitano i mo-
menti d'inerzia della sezione rispetto ai nuovi
assi Vi ed or" la loro somma esprime il momento
rispetto al punto 0^ ， o rispetto all'asse z passante
per Oi . Diciamo / tal momento e chiamiamo \ ：一 q
il rapporto dell' integrale ad J, cioe poniamo
allora
II fattore q ( fattore di torsione) dipende dalla
forma del contorno e il fattore che nella espres-
sione precedente accompagna 6。 dicesi rigidita di
torsione.
Studiamo in breve la deformazione. L'asse Oi z
dicesi asse di torsione; lo spostamento del puuto
in cui una fibra parallela alPasse incontra una
data sezione retta si riduce ad una rotazione in-
torno all'asse di torsione di ampiezza 一 ac-
compagnata da unatraslazione costante 6。 ^ lungo
Passe; quindi le fibre longitudifmli si trasformauo
in taote cliche cilindriche. La componeute to dello
1
1
r
Cap. IX. § lo. Tors, di un cilindro elUtt 325
spostamento e indipendente dalla sezione retta
che si considera, ma dipende dalla forma del con-
torno. La sezione 2： — noa resta piana; s' incur va
io un certo modo e tutte le altre s' incurvano egual-
mente, subiscono cioe una stessa distorsione. L'asse
di torsione non si altera. Studiamo un caso par-
ticolare. *
§10. Torsione di un cilindro ellittico ♦. 一 Se
,il contorno e circolare, poiche t~ e sono pro-
an an
porzionali ad x ed y, si ha
d Bo dy dx ^
a n an a n
quindi
Bq = cost = 0，
onde anche
m = p = e q = l*
L'asse di torsione coincide coirasse del cilindro;
w essendo nulla le sezioni rette non subiscono di-
storsione ； infine
• La tratiaziono di vari casi particolari per la ricerca di tv
ha dato luogo a gran numero di pubblicazioni : accenniamo
solo a quelle del Tcbazza, Equilibrio di un^asta parallele-
pipeda rettangolare, Mem. letituto veneto, 18, 1874.
Padova, II prohlema di Saint- Venant per un prisma ret-
tangolare. Naovo Oimento. 10, 1881. Vedi anche Estensione
del problema di Saint- Venant. Rend. Acc. Line, agosto
1890 e relativa a corpi costituiti da fibre curvilinee.
326 Cap. IX. § 10, Tors, di un cilindro ellitt
Nel caso di una sezione ellittica la condizione
al contorno e
^ dBo y dBo a2 - b2
a2 go? 一 g aH^ •
Ponendo
BQ = Axy,
essendo A una costante, risulta ^^BQ = e la
condizione al contorno ci da subito
j4 ―
a^ — h^
a2 + J2'
quindi
m = p = Q
D —
^0 = ^.^2^
Passe di torsione coincide coll' asse del cilindro.
Calcoliamo il fattore q.
Si ha
4 J 4
dy
4 a^ + b^
Cap. IX. § 10. Tors, di un cilindro ellitt. 327
donde
9 =
(a2 + ft2)2
见 =-2(1 +^) 4^1^''
Poiche per i punti della sezione z = Q si ha
la sezione suddetta si trasforma nel paraboloide
iperbolico
Gli assi della sezione ellittica non si defohnano :
il primo ed il terzo quadrante ellittioo si elevano ；
gli altri due si abbassano.
Ricapitolando potremo dire che la deformazione
del cilindro neiripotesi del § 2 comprende : una
estensione semplice, due flessioni uniformi, due non
uniformi e jSnalmente una torisione : e pu6 riguar-
darsi come sovrapposizione di queste sei speciali
deformazioDi.
Molti dei precedent! risultati possono estendersi
al caso di tio cilindro non isotropo *.
• Kel Cap. VI delTopera del Love si fcrova infatti una par-
ticolaregf^iata diBcnssione del problenia di Saint-Yenant nel-
I'ipotesi di una sostanza criBtallina aVente tre assi di sim*
metria. Se il cilindro e ieotropo e se ei eappone che ten-
sloni agenti Bulla superficie laterale Biano eepreBBe da poii-
nomi razionali interi in z, il problema si puo ridurre ad und
di Saint-Yenalit. Vedi Almansi, Sop"a la deformazione def
cilindri sollecitati lateralmente. Rend. Acc. Lincei.5, 19 mag-
gio 1901.
CAPITOLO DECIMO
DEi'OBMA^IONE DELLE. PIASTEE CILINDRICHE
O PROBLEMA COMPLEMBNTA&E DI SAINT- VENANT.
§ 1. Posizione del problema. 一 Consideriamo
un eilindro, le oai basi corrispondano a z = zt:k,
soUecitato da forze distribaite soltanto suUa super-
fide conyessa mentre le due basi siano libere;
quindi su queste si abbia
Xz= Yz = Z^'^ 0; (1)
e salla sup^rficie conyessa :
Xn=^X.^+ Y:c% eco. (2)
a n a n
Se l，altezza e molto piccola rispetto alle altre
due dimeiisioni del cilindro abbiamo ci6 che chia-
masi una piastra cilindrica. Ma noi supporremo
h quialsiasi. Le forze di massa siano nuUe ； vo-
^liamo investigare quelle speciali deformazioni per
le qaali le (1) valgano in tutto il cilindro. In tal
caso considerando il cilindro come V assieme di-
Cap, X. § 2, Bicerca degli spostamenti. 329
tante sezioni parallels alle due basi le pressioni
interne normal! alle ^ezioni sono nulle, e le sezioni
sono soggette a sole pressioni tangenziali. Poiohe
in tal caso
si conclude che sulla superficie conyessa del ci-
Hndro le forze sono parallele alle basi. Questo
problema, che pu6 dirsi in certo qual 動 do com-
plementaro di quelle di Saint- Venant, e stato pro-
posto e risoluto da Clebsch *.
§ 2. Ricerca degli spostamenti. ― Le equa-
zioni (1)， ricordando le esprossioni delle corapo-
lienti special! di pressione in funzione delle com-
ppiienti di deformazioae (form. 2, Cap. preced.), ci
danno
1^ + 1^ = 。
d « a a?
dy dz
+ - ~ ― © = 0.
Le equazioni indefinite si riducono poscia a
d Xx , d Xp 一 d Yx d Yy =
十"^ ， dy ； ,
(3)
(4)
(5)
Clebsch, 1. c.， pag. 148*
330 Cap. X, § 2* Ricerca degli spostamenti
le quali a loro volta equivalgono alle seguenti
1 d G
1 a e ^
Quindi le v, w soddisfano a cinque equa-
zioni. ]fc anche opportune considerare la seguente
A2"r"VI^ = o (8)
1 一 2x^2：
che per6 e una coasegaenza di (3), (4)， (5). De-
rivando la (6) ris petto e z e sostituendo a ― il
valore ricavato dalla (3), otteniamo
一 — H = •
Derivando invece la (8) rispetto ad x si deduce
Quindi
e in modo analogo si prova che
dydz "
Cap. X. §• 2. Ricerca degli spostamenti. 331
Riflettiamo poi che, per 1， assenza di forze di
massa, la dilatazione cubica © e una funzione ar-
monica ； quindi dalla (5) si deduce
叭 IrJ =
e per6 dalla (8) ancora
2
=0.
Dalle equazioai ottenute si deduce quindi che
^ =C08t"
z
e la (5) ci
integrando
= cost = 一 C;
w = f 、一 zF -、 z^C (9)
essendo fi^F due fanzioni di x ed y.
Dalla (5) ricayiamo
: ^ = ^—^{Cz + F); (10)
con ci6 la (5) risalta soddisfatta. Per soddisfare
la (8) dobbiamo avere
矗 ^
332 Cup. X. § 2. Rlcerca degli spostcimenti:
e questa, doveiido esser valida per qualunque va-
lore di z, si spezza nelle altre due
F-= 0， ,1 + LzJi (7 = 0.
opportune sostituire alia fi im，altra fuDzione
che soddisfi la =0; pero uotando che
•2 . 4/2'
M 平卜 1，
bastera porre
"卜 L^c^，
essendo
e la (9) ci dark quindi
w = f^ zF—^-^^^ {x^ + y^) —^z^] (11)
\q f e F Bono armoniche in ogni sezione retta.
Cognita ^o la (3) ci fara conoscere u e la (4) v;
infatti
du dF , 1 — x C df
ed integrando
w = 9 H ■ ~ -xz-^-z —^+ - ― (12)
Cap. X § 2, Ricerca degli spostamentu 333
e cosi
了 、 + (13)
<p e + essendo funzioni Ai x y> Ma ora debbono
essere verificate anche le (6) e (7) le quali coi
precedenti valori jci danna
, 1 + y-dF
do © ― ― "-
(14)
sice.he 9 e + sono funzioni biarmoniche di x ed y,
Le quattro funzioni P, ©, J/ non sono del tut to in-
dipendenti. Infatti abbiamo due diverge espres-
sioni per O ； una e la (10); I'altra si . ottiene deri-
vando rispettivamente le (12), (13), (11) rispetto
a, y, 2 e poi sommando, ed e
L^?- ―〜 S+l^
X d ④ dy
onde
X d ① d,y、
la quale permette di eliminare dalle formule pre，
cedenti la F; dunque ricapitolando possiamo dire
che se f、 9， \ sono tre funzioni di ed 3/ tali che
AsjT 二
十^ 上 (L? + W) = 。 i
_x doo^doo^ di/l } (15)
. 1 + X /；) C£> ^山 1
334 Cap. X. § 3. Carait. gen.、 ecc, Fless. sfer.
e C ana costante, le formule risolutive del pro'
blema sono
• X /a? , 8
T 1 — X &十 ^
1 一 X \dx dyj 2 I
Le V, w risultauo fanzioni intere di secondo
grado in z.
§ 3. Carattere generate della deformazione.
Flessione sterica. 一 Nelle formale precedenti
C， ?， + e le loro derivate compariscono linear-
mente e pero potremo riguardare la deformazione
come risultante dalla soyrapposizione di altre tre;
una corrispondente alia costante C ； uua alia sola
f e una finalmente alle sole f e
Ci limiteremo a fare una soiumaria discussione
di questi tre casi. Consideriamo anzitutto la de-
formazione corrispondente alia costante C che po-
tremo sempre supporre positiva,
Cap. X § 3. Caratt gen.^ ecc. Fless. sfer. 335
Le formule (16) ci danno
1 — >t ^ 1 一
w =^ - C{x^ + y') - ^ z\
Di qui deduoiamo per le componenti di pres-
sione che non sono nulle
Xx = Yp = 一 ― ~ Cz ； Xp = ；
e quindi
Xn = — ^Cz cos (n, x) ；
y« = — 「 C z cos (w, y) ； = 0.
Lungo una stessa geueratrice (esseado costanti
cos (w， x) e cos (n, y)) queste forze, per due valori
eguali e oontrari di z essendo eguali e contrarie,
danno luogo ad una coppia il cui piano h normale
alle generatrici del cilindro e la cui grandezza
non dipende dalla generatrice che si considera. La
deformazione e dunque prodotta da coppie agenti
al contorno. Notiamo poi che C h dello stesso
ordine di u, t ？， ic.
Per trovare la superficie nella quale si trasforma
336 Cap. X. § 3, CaraiL gen" ecc. Fless. sfer
una sezione retta o una fibra normale al piano xy、
dovremo considerare le equazioni
, 1 ― X ^ , 1 一 )C ^
= x ^-^-—Gxz\ y =y + 飞 "~ Cyz,
； 卜！ ^C?(a?2 + J/2) 一 》•
Eliminando ed y traveremo la Buperficie nella
quale si trasforma la sezione z = cost. Sostituendo
nella terza al posto dixeiy rispettivamente (V' 一
y， 一 V e trascurando i termini in C\ otterremo
2 4 X
4 X
equazione di uq paraboloide di rotazione intorno a;s;
i vari paraboloid! corrispondenti alle varie sezioni
rette sono tutti congruenti e volgono la concavita
verso le z negative. Quelle corrispondente alia
sezione . mediaua z ~ 0, e
Se ;s e molto piccolo rispetto x ed y、 z'^ e tra-
scurabile di fronte -s'; I'equazione precedeiite dif-
ferira poco dalla
Cap, X § 4. Flessione non uniforme. 337
che e quella di una sfera avente il centro sul-
I'asse z ad una distanza
C(l 一 x)
(lalla origine.
Elirainando invece tra le equazioui precedenti
la z troveremo le trasformate delle fibre parallele
alFasse z. Sostituendo nella prima al posto di
一 10 abbiamo
cc' = x + Cx 卜' + C{xHy')+Y'
e trascarando i termini in (P, otteniatno
1 一 X
2x
e cosi
〜和^
le fibre considerate si trasformano in rette inclinate
sull' asse delle z, che incoDtrano nel centro della
sfera dianzi considerata. Cioe le fibre Dormali al
piano X y restano rettilinee e si conservano normali
alia superficie trasformata del piano oc y.
11 carattere generate di questa deformazione e
queilo di una flessione ； dicesi flessione sferica.
§ 4. Flessione non uniforme. 一 Consideriamo
la deformazione corrispondente alia funzione ar-
Marcolonqo. 22
338 Cap, X、 § 4. FlesBione non uniforme.
monica f. Le componenti di spostamento 8oao
d f d f /. cfc A
doo dy
Inoltre
^ ^ E gy. 二 E J"
Le forze distribuite sulla superfieie convessa del
cilindro, lungo ogni.generatrice, si riducono ad una
coppia variabile da generatrice a generatrice. Tale
deformazione ha dunque il carattere generale di
una flessione, ben distinta pero da qaella prece-
dentemente considerata e che dices! flessione non
tmiforme. Lo studio particolareggiato di questa
deformazione esige la conoscenza della fuazione
armonica f; ora osserviamo che per i punti del
piano ； 5 = 0， si ha
u = v = 0; w = f;
oioe questi punti si spostano normalmente al piano
12； = 0. La f sark completamente determinata se
imponiamo la condizione che i punti della periferia
della sezione mediana eubiscano spostamenti de-
terminati ； ohe in tal caso la determinata dai
suoi valori al contorno. Tale condizione equivale
a dare la curva nella quale si trasforma il con-
torno della sezione mediana. La determinazione
di 尸, come sappiamo, e assai semplice per un
contorno circolare.
2 •/
凡
1
r
Cap. X § 5. thform, corr, atle due furiz., ecc, 339
§ 5. Deformazione corrispondenfe alle due fun-
zionl «? e Estensione. 一 Le componenti di spo-
stamento sono in tal caso
1 — X 2 8a? ^doo dyj
1 一 ^ ^doo dyJ 1
Calcolando le componenti di
Xy si trova che esse sono della forma B
e quindi, essendo A q B fanzioni di x ed y、 esse
non cambiano mutando z in ― -s; dunque le forze
distribuite lungo una generatrice danno luogo ad
una forza uuica variabile colla generatrice; il carat-
tere generale di questa deformazione e quelle di
una estensione.
Per i punti della sezione mediana, = e pero
tale sezione resta piana: posto come al solito
0?' = 0? + «o H- «2 《2; = y + "0 + l?2 ^^；
= z{i ― Wi)
risulta
z'
z
1 一 ll\
cioe, entro i soliti limiti di approssimazione,
z^ — z^
340 Cap, X. § 5. Deform, corr, atle due fms:" ecc.
e quindi ancora
le quali rappresentauo la curva nella quale si
trasforma una fibra parallela all'asse z. Ma da
queste si deduce
一 ih y, n (^+ Wo) 一 "2 (y + «?o)
onde tale curva e una parabola contenata in un
piano Dormale al piano mediano.
Le ulteriori proprieta di qaesta deformazione
dipendono dalla conoscenza di <p e limitiamoci
a coQsiderare un caso particolare.
Vediamo se t« e 1; possono riuscire indipen-
denti da z. Dovrk essere
allora
X
= — -I ^2
1 一） t
(17
e si ha una estensione uniforme: Le (15) direntano
cioe
一 dccdy dV^'~Sy^dt/'^d^i ，
2 - a
- 」SJ
s
o
c
II
-
山-
V,
a-! ^
e in modo analogo
Cap. X, § 5. Deform, corr, alle due funz" ecc, 341
donde
d9 d '}
8 = cost. (18)
dy dec
Le (17) e (18) possono scriversi
dx dy dx\ 2 / ' dy\ 2
'dy'^dx~dy\ "-" 2 ~~ 广^ 1 2 ~
posto adunque
^ 9.x oc y 一 p X
9 = ~~ 2 + ?i， 2 ~ ' + 化
cpi e +1 essendo armoniche, risulta
+ 化 =0， 3li-3J^ = 0:
doo 、 dy dy doo
quindi e ®i sono rispettivamente la parte reale
e il coefficiente della parte immaginaria di una
fanzione della yariabile complessa co + iy. In tal
caso abbiamo
"= 一"^ pa?++(xy + +i
10 = 一 a z
1 — >t
1=1 1 一 2x
X
la dilatazioue cubica e uniforme.
342 Cap. X. § 5. Deform, corr. alle due fmz.、 ecc
La deformazioDe si puo supporre come risaltante
dalla sovrapposizione di altre tre. La prima avendo
per componenti
ypj/, — y 0,
corrisponde ad una rotazione del ciUndro intorno z.
La seconda ha per componenti
11 x
Le forze in superficie si riducono ad una trazione
uniforme e norinale alia superficie stessa, come
si vede subito.
Pogto
化 + Y); y =y\^ + 2
z ~z\ \ 一
risulta che le fibre parallele all'asse x restano ret-
tilinee; i loro punti si abbassano mentre la fibra
si sposta parallelamente a se stessa. Le sezioni
rette restano piane avvicinandosi al piano me-
diano.
La terza ha per componenti
？ 1, 1^1， 0,
e le sezioni rette restano piane.
Notiamo da ultimo che mediante le (16) sareb-
be age vole formare le espresBioni general! delie
Cap. X、 § 5. Deform, corr. alle due funz" ecc, 343
Xx , Fy, Xy e quindi dare le forme delle Xn e
Yh che risultano di secoudo grado in z. *
• II calcolo delle Xx , ecc, si pu5 fare direttamente senza
conoBcere le "， v, w in modo assai elegante come del reeto
fa il Kirchhoff pel problems di Saint-Venant, Vorl, U. math*
Physik. Mecanik, pag. 399, Leipzig, 1883; vedi una nota del
prof. Tedone, Sulla deformazione delle piastre di grossezza
finita. Rend. Acc. Lincei, marzo, 1901.
Per maggiori particolari si pu5 coneultare il Clebsch e epe-
cialmente la tradazione francese di Saint-Yen ant e Flamant.
CAPITOLO UNDEGIMO.
I PROBLBMI DEL PROF, VOIGT
E LA DETEBMINAZIONE
DEIiLE COSTANTI ELASTICHE DEI CRISTALU
§ 1. Posizione del problema. ― I problemi ri-
soluti dal prof. Voigt costituiscono una generaliz-
zazione del problema di Saint- Venant ； essi permet-
tono di assegnare dei metodi general! per la de-
terminazione delle costanti elastiche dei cristalli
e ricevono una importante applicazione nello stu-
dio dei fenomeni piezoelettrici di un ciliadro cri-
stallino In questi problemi si considera un oi-
lindro cristallino coUe generatrici parallels al-
I'asse z soggetto a forze distribuite, in modo op，
* Vedi i Theoretische Studieii, citati e precisamente la
2* parte : Unters, des elastischen Verhaltens eines Cylinders
axis l-rys. Subs, auf dessen Mantelftdche kerne Krdfte wirken,
wenn die in seinem inern wirJcenden Spannungen Idngs der
Ctflinderaxe constant sind,
** Voigt, Allgemeine Theorie der piezo-und-pyroelectriachen
Ersch. an Kryst. Abh. der K. Gesel. zu Gottingen. 37, 1890,
Cap. XL § 2. Ricerca di una def. cost.^ ecc. 345
portuno, soltanto suUe due basi e si cerca se sono
poBsibili delle deformazioni per le quali le com-
ponenti speciali di pressione risaltino costanti
lungo tutto Passe del cilindro cioe indipendenti
da z. Tale condizione equivale a supporre che anche
le componenti di deformazione siano indipendenti
da z.
§ 2. Ricerca di una deformazione costanfe
i lingo I'asse del cilindro. ― Le sei componenti
di deformazioDe cioe
debbono risaltare indipendenti da z. La terza ci
dice subito che w deve contenere linearmente la z、
cioe deve eseere della forma
essendo W e fanzioni di x ed y, Anche
^ e ^-^ sono linear! in e quindi dalla quarta
dx dy • •
e quinta delle (1) risulta che tale propriety com-
pete pure a ^ e e per6 u e v sono funzioni
di secondo grado in z, cioe
/IV
+
9
，
，
，
9
+
u 一 ^
346 Cap. XL § 2. Ricerca di una def, cost., ecc.
JjQ U e V sono funzioni di a? ed y. Le compo-
nenti di deformazione asBumono quindi la forma
7 , ^dU, , -2 而,
&十 go?— 十- 十 十 ji"^ 十
e perche risultino indipendenti da e necessario
che sia anzitutto
一 —— ―. Q
dy . dy
cioe Vi ed TJ^ debbono essere funzioni di y sola-
mente e Fi e F2 delia sola x. Inoltre
― V ； -3 1 ~ = •
dy dx dy dx
Da queste due ultime si ricava subito che
d F, d V, , d F, dU^
dx dy dx dy
CSV
r
Gap. XI, § 2. Ricerca di una def. cost.f ecc. 347
e k essendo costanti. Quindi
Fi = A;a? + «i, Vi = — ky +
Kg = « - ^4 = 一 a y — 〃i
aj, *2, essendo delle costanti. La funzione
iVi risulta poi determinata dalle
a W, d『i ,
di qui
g2 w. 『1
- 一一 - = a. ~ = —— a
dor'dy ' dydx
onde a = e
essendo una nuova costante. Le funzioni U、
F, W restano arbitrarie.
Risulta dunque
1 \
u= ？ 7 4-2；(- A;y + *2) — y ^, 2；2
1 ((2)
La determinazione di queste tre funzioni arbi-
trarie di X ed y non puo ottenersi in altro modo
che specializzando ulteriormente le condizioni del
problema. E cio noi faremo in due modi diversi.
348 Cap* XL § 3. Eic&rca, ecc. p. forze hit, parall
§3. Ricerca di una deformazione costante lungo
I'asse del cilindro e in cui le forze interne sono
parallele a I I'asse. 一 Cio equivale a supporre che
tutte le component! di pressione siano nulle ad
eccezione di Zz. Ora e
，；一 s"; 『87 一"；
-^=9i <^ + 9%y "^9^-= — S33 Zz ,
in virtu delle relazioni della pag. 171.
Danque Zz e quindi e § sono linear! in x
d X d y
ed y; quindi
[/ = -i- a, 0：2 + 6^ a; 2/ + rfi a? + Y
essendo ai, 61, … cosfcanti ed y ed X rispetti-
vamente fanzioni della sola y e della sola x. Ma
anche
e lineare in a; ed 2/ ; danque sara lineare in
CD Q — lineare in y、 cioe X sark di secondo grado
dy
Cap. XL § 3, Micerca^ ecc- p. forze int. parall. 349
in a? e Fdi secondo grado in y, Risulta infine che
quinui -^, come pure ~^、 sono rispettivaraento
linear! in x e y q pero infine ？ 7, V, W sono fun-
zioni di secondo grado in a: ed y; cioe
？ 7=-^«1 a'3 + Ji a? y + 、o y& 十 di + y + ^
F^yag a?2 + . . .
^^=Y«3^^ + …
In to tale dunque abbiamo 24 costanti ； ma pos-
siamo sempre supporre che resti fisso il centre
delle coordinate ； cioe
w = t? = 2c = per X = y = z =
e qaindi
e che il punto a? = y = Oe z-l (estremita del-
Fasse) resti suIFasse stesso durante la deforma-
zione e quindi
1 ； 1 ；.
350 Cap. XL § 3. Ricerca^ ecc. p. forze int. paralL
onde infine otteniamo
1 1 \
La deformazione consta della sovrapposizione di
un certo numero di deformazioni parziali ； alcune
di queste possono agevolmente interpretarsi.
Supponendo infatti nulle tutte le costanti meno
^1, si ha
le quali formule definiscona una fiessione nel pia-
no xz.
Cosi la costante definisce una fiessione nel
piano y z,
Se la sola costante e di versa da zero si ha
abbiamo cioe una estensione semplice. Finalmente
supponendo diversa da zero la sola k risulta
w = t; = 0:
le quali definisoonc una torsione.
w =
Cap. XL § 3. Ricerca^ ecc. p. forze int. parall. 351
Dalle (3) rioayiaino i valori seguenti per le com-
ponenti di deformazione
a = aiX + b^y + di\ b^b^x + c^y + '
Bicordando poi che tutte le component! di pres-
sione sono nuUe ad eccezione di Zz ， che e lineare
in X ei y e quindi della forma
avremo il seguente sistema di equazioni
C2i a + C22 h +
Cz\ ft + C32 & f
+ Cj6 ^ =
+ C26 A =
+ h =
+ ^66 A = ；
essendo Crs i coefficienti isotermici di elasticity.
Sostituendo in queste alle a, 6, . . . h i valori (4) i
primi membri si trasformano in funzioni lineari di
X ed y, le quali dovendo essere niille della forma
352 Cap. XI, § 3. Hicerca, eec. p. forze int. parall
6r, X + (?2 y, per qualunque valore di X ed y,
danno luogo a tre siBtemi di equazioni lineari ；
il primo di qaesti si ottiene ponendo a zero i
termini noti ed e
e poiche il determiaante formato coUe c e posi-
tiyo, si ha
c?i~^2 = ^3 = ^3 + ^9^1 — + -~g[l=d2^ei=Q.
Eguagliando a zero, oppure a (tj o a G^2 nelle
precedenti equazioni i termini in x ed y、 avremo
altri due sistemiVil primo dei quali e della forma
Cr^ai + 62 + Crt 9l + Cr, {h 十&) + "3 +
dove 7*= 1, 2, 4, 5, 6; per r = 3 il secondo mem-
bro e eguale a (？^; I'altro sistema e
Crl h + C,, Ca + C,>3 ffi + Cr, C3 + Cr^ (63 一 +
dove f = 1， 2, 4, 5, 6; per r = 3 il secondo inem-
bro e eguale a .
Diciamo r 11 determiaante formato colle Ct's ； i
moduli di elasticity Smn (vedi § 4 del Cap. 5。) sono
+ €re{h + Ci) =
Cap. XL § 3, Ricerca、 ecc, p. forze int. paralL 353
gli element! aggiunti di Cmn in r divisi per F ；
quindi si ha
一 $31， TT ~' ， TT ^ ^33
or ''' G,
， (？ 1 "33, 仏
― ^34
(？ 2
，
"2 + h
G、
% ；
bj
a
2
==532,) (5)
2
Cs 一
% , q' ^ ^34
= % ，
ft
G
2
Da questa ricaviamo pel coflSciente di torsions
il valore
mk
Le componenti di spostamento assumono una
forma piu semplice, se supponiamo nulla la rota-
zione di un elemento intorno all' origins secondo
Fasse cioe
一一 =
dy doc
cio che da
^1 = ^2 ,
ed essendo nulla la loro somma, risulta
6| = c/g =
Marcolongo.
23
354 Cap. XL § 3. Ricerca^ ecc, p. forze int. parall
Quiiidi
1 1 I
1 1 I I 一 z
1 一 . 1
2 ^ ' V。 " ' 2
I
2
Le component! dello spostamento del punto medio
八 I \
X = y=:OyZ = - I Bono
del cilindro
che dan no il mezzo di calcolare la cosi detta saetta
di flessione.
. La detemiDazione delle costanti si puo ottenere
merce la conoscenza del sistema di forze che sol-
lecita la base superiore, i cui punti riferiremo al
sistema di assi d'inerzia. Infatti e facile vedere che
Rx = Q, By = 0、 Bz = -SZzd<J
Mx =— iyZz d <J=^G: joe yd (J + G^iy^ d<5=G^<s^^
e cosi
cioe, per le (5)，
Mx = — C0t2; My = — i^(7 p2
S33
Cap* XI. § 3. RicercGj ecc. p. forze int, par all. 355
e pero nel punto di mezzo del cilindro e
！ (—一 S33， " = ^2iS、33，t^ =
colle quali si ba un mezzo sperimentale per deter-
minare
Quanto al coefficiente di torsione si ha
1 IMx , My_
Se il corpo ha un piano di simmetria p. e. il
piano X y， come si e visto al § 7 del Cap. 5。, si ha
e quindi
S35 ― ^34 ― 0，
onde
A; = 0;
se Vasse del cilindro coincide con mi asse di sim-
metria cristallografica la torsione e nulla e si ha
una flessione pura*
La flessione dipende da %• Notando che
si deduce
I _ c
— "―
^33
ina il secoudo membro e, per defiuizione, il mo-
356 Cap, XL § 3. Ricerca, ecc. p. forze int. par all
dulo di Young E, onde
一 1
^83 二
Considerianio il caso piu particolare, in cui il
cilindro e soggetto a semplici pressioni normali
alia base: di guisa che sia
Bz = -SZzd^ (4)
ed inoltre
Ita: = Ily=Mz=0
f y Zz d (J = S a: Zz d (T = 0.
Riferiamo i punti della base agli assi d， inerzia
baricentrici : allora
Ma tenendo presenti le (3) e inoltre
- du
risulta
— («1 a? + y + ^i) = Zz.
Moltiplicando questa equazione per d a- d
1/ cl<r Buccessiyamente ed integrando a tutta una
sezione retta si ha subito
Gi = = ; di = m Sis
(love
Cap. XL §3. Ricerca^ ecc. p. forze int. paralL 357
Dall'equazione
一 (62 + C2 2/ + -2) = % Zz
coUo stesso nietodo si deduce
= ; C2 = 0; €2 - m s,3
Considerando luvece i due valori di -; r— si ottiene
d z
9i =0, (^2 = 0, g& ― m S33.
Abbiamo poi le altre equazioni
— (hx + c^y + ez)'-kx = 54^ Zz
一 {a^oo + 63 y + + & J/ = S53
一 "a + t?2) — (Cl y + -1) = §63 ,
e qaindi alio stesso modo si trae
63 -(- A: = 0, 03 = 0, e^ = m S43,
"3 = 0， bs 一 A; = 0, ds = m S53,
o, = 0, Ci =0, rfj + ^1 = m S(j3.
Possiamo supporre che la rotazione di un ele-
mento intorno alia origine secondo I'asse z sia
nulla cioe
— 8」—
dy
per a/=y = 21 = 0； quindi ^2 = ^1 e pero rultima
equazione ci da
1
«1 ~= 2" ，" S(J3'
358 Cap, XI, § 3, TticercUy ecc. p. forze int. par at!*
Le formule che danuo le componenti degli spo-
stamenti sono
( 1 \ ) (7)
w = m (§53 ^ -t- S43 y + S33 z).
E le relative componenti di deformazione sono
a = msi3, b =^m c = m 533,
Inoltre
C ― "~" %3
quiudi
m = —— = —Zz
a
cioe la distribuzione delle forze sulla base e uni-
forme.
Misurando dunque 】a deformazione di un paral-
lelepipedo retto ritagliato nella sostanza crista!-
lina, misurando cioe le dilatazioni degli spigoli e
gli scorrimenti, si ba un mezzo speriraentale per
determinare alcune delle s e precisamente
肩
Sollecitando invece alio stesso modo la faccia
Cap. X § 3. Ricerca^ ecc. p. fovse int. par all. Bb9
X z troveremo
SlSs? %， • ♦ • ， S(52i
e sollecitando lo, y z troveremo
verremo cioe a determinare 15 del 21 moduli di
elasticita.
Resterebbero a determinare i sei moduli
S44, %， %ii S55, Sso, % ；
la ricerca dei quali dipende dalla risoluzione di
un altro problema.
Se inv6oe di assoggettare il prisma ad mm pres-
sione uniforme, lo deformassimo con una coppia
giacente nel piano superiore otterremmo un altro
metodo (che omettiamo) per la deteminazione dei
coefficienti s ； ma si otterrebbero i coefBcienti di
prima e pero il metodo non pu6 valere che come
metodo di prova. *
• Non posBiamo nataralmente entrare nei particolari dei
vari metodi del Voigfc. Chi desiderasse approfondire la que-
Btione coDsulti, oltre il lavoro fondamentale citato a pag. 177，
i seg^uenti:
Allf/emeine Formeln fiir die Bestimmting der Elasticitdts-
consfatiten von Krystallen durch die Beob. der Biegung und
Drilhing von Prismen. Wied. Ann. 16， pagine 278, 398. 1882.
U. d» Torsion eines recht. Prismas aus homogener Kryst,
Suhstanz. Ibidem, 29, pag. 604. 1886.
Vedi pure; Compendio delle ricerche del prof, Voigt suU
Velasticita dei cristalli ； per A. Sella, Nuovo Cimento, Z^, pa-
gine 5， 137", 218. 】891; 30， pag. 61, 1891* Ivi trovasi pur6
an'ampia letteratura eal soggetto. Yedi aneora la Fisica
cristalloffrafca del Voigt, tradotta da A. Sella ^ Maniiali
Hoepli.
360 Cap. XL § 4, Ricerca di una seconda deform
§ 4. Ricerca di una seconda deformazione. 一
Ferme restando le ipotesi del § 2, supponiamo che
siano nuUe le componenti
Xx =^ Xy = Yy ^ Zz 二 0,
ciofe diverse da zero soltanto
Xz ^ Yz,
le quail in ogni sezione retta soddisfano la
― h ― ~ = (8)
ed. al contorno la
Xz cos (w, 0)) + y《 COS (n, y) = 0. (9)
Anche iu questo caso si tratta della determi-
nazione delle funzioni U, V, W delle formule (2).
La (8j esprime intanto che
X ——吩 Y 一^
A" dy、
6 quindi la (9), notando che
d 'V
cos (w, y) ― cos (s, =
ds
d y
COS (n, a?) = — cos (s, y) ― 一 3~ 1
a s
diventa
Cap. XL § 4. Eicerca di una seconda deform. 361
cioe al contorno si ha
Q = cost.
In altre parole I'equazione del contorno e
12 == cost. = 0.
D'altra parte
= S^i 冗 + ffatZ + = — — S35 Zx
e non sussistendo alcuna relazione tra s.;^ e %)
occorre che le derivate di ^ siano linear! in x
ed y e pero che " sia di secondo grado in a; ed i/;
il contorno quindi e una conica che assumeremo
ellittica (0 circolare).
Kisulta Bubito allora che e sono li-
neari in on ed y e cosl pure le altre derivate;
quindi come nel caso precedente V\ F, W risul-
tano polinomi di secondo grado in x ed y. Per
questo nuovo probleraa valgono dunque le stesse
formule (3).
Occupiamoci della determinazione delle costanti.
Porremo
2a = 7w(^+g 一 1
m essendo una costante.
Quindi e
0? y
Yz^m -zs Xz = — m T 亡
362 Cap. V. § 4. Ricerca di una seconda deform
e pero risulta
Rx ― By = Jtz = Mx = Mj/ = 0,
mentre
ma, pei valori gia trovati alia pag. 326, risulta
subito
2Mz = -
cioe la deformazione e prodotta da una coppia
agente nel piano della base. La formula precedente
determina m. Cio posto la determinazione delle
costanti si fa come nel problema precedente.
Infatti, col metodo solito, daU'equazione
一 0? + 6i 2/ + di) =
risulta
e cosi
m
^2= c
m
= 一 — r-S
a
2 ^34 >
a"
oa y ■
s"a2 l5jT ，脚
m
Q = p % ，
m
ff2 二 S35 ,
d^=0
-2=0
m ,1 7 八
C3 = 歹 2%，-3+ 2^'~^
Cap. XL § 4. Biccrca di una seconda deform. 3G3
«2 + *1 = - -2 8(54, + Ci = ^2^r5 ， -1 + ^^2 = 0.
Queste equazioni determinano tutti i coefficient.
La costante k, che misura la torsione, e data da
• — 十^— 2
e, se la sezione e circolare, da
It = - (s" + S55) •
Se quindi dopo aver assunto una direzione di
assi coordinati nel corpo si ritagliano tre cilindri a
base circolare e colle generatrici parallele agli
assi X, y, z e si assoggettano a forze che nelle
basi abbiano la distribuzione precedentemente detta
e si misurano le corrispondenti torsioni k、 /《！， Ic^
avremo, oltre k、 le
, My , , , J Mx ,
K = — T (»55 + %) ； h - ""- r + Ha)
e potremo quindi detefminare i moduli
S", $55，
Coi valori precedentemente trovati per le costanti^
le componenti (6)di spostamento sono espresse dallo
364 Cap. XL § 4, Ricerca di una seconda deform.
La niisura di un coefBciente di dilatazione li-
neare o dello scorrimento mutuo di due rette or-
togonali dara il mezzo di determinare gli altri tre
moduli incogniti.
Accenniamo ad alcune proprieta della deforma-
zione.
La sezione piana cost, si trasforma nella
superficie
assumendo per piano di riferimento il piano stesso
della sezione. La superficie trasformata e un pa-
raboloide. Tenendo presente la espressione di w
si vede che i termini a secondo grado in x ei y
dalle formule
+ z
z
a'
1 .„ i( 564
v = — — m 1 -
2
a
m 2 SoA
or
一方 «35
or
+
2
+
5
,w 2
2
6
2
4
2
a
1 -2
II
4 2
Cap, XL § 4, Ricerca di una seconda deform. 365
sono costanti, non dipendono cioe dalla specials
sezione che si considera; e poiche la ourvatura in
un punto qualunque di tale superficie dipende dai
soli termini a secondo grado, si deduce che tutte
le sezioni rette si trasformano in paraboloidi
aventi la stessa curvatura.
Consideriamo allora la sezione mediana
che si trasforma nella
2 。- - m L (与 -裏) + 2 h ― 【？) X y
Diciamo ri e i raggi di curvatura di quelle
sezioni piane dellu superficie che hamio per tan-
genti gli assi oc ed y, neU'origiDe. Avremo
1 d^^ w 1 m
r, - 8a;2 = 一 "2 - = j2
le quali danno una semplice interpretazione del
modulo S45.
In quale linea si trasforma Fasse del cilindro ？
Si ha, come al solito,
^ = -"2^2 hi^il — ^y, V =^^2%-(《 一^
eliminando z
00' 534 63 m , ,、
y % 2ti2 34 、
Fasse si trasforma iu una parabola coDtenuta in
uu piano passantc per I'asse 《. La curvatura, nel-
366 Cap, XI, § 4. Ricerca di una seconda deform
I'origine, della proiezione sul piano x z dipende
da S34 e quella della proiezione sul piano y z di-
pende da %; di qui una interpretazione seraplice
di questi due moduli.
Le componenti della saetta di flessione pel punto
medio sono
e quindi
se Vasse del cilindro e un asse di simmetria cri-
stallografica, una coppia il ciii asse ^ l，asse del ci-
lindro , produce una torsione pura , ciob senza
flessione.
Si potrebbe ancora risolvere un problema piu
generale, nell' ipotesi che le componenti di pres-
sione siano della forma
Ai + Bi z
essendo le Ai e Bi indipendenti da z *.
Si possono infine anche ricercare le soluzioni
del problema di equilibrio nel caso in cui le forze
non sollecitano piu le basi, ma invece la superficie
laterale ； risolvendo, in casi particolari, pei cilindri
cristallini il problema analogo a quelle di Clebsch
risoluto al Cap. 10"*,
* Vedi: Theoretische Studien. Precisamente la parte 3».
** SoMiGLiANA, Ricerche sulla deformazione ed i fmomeni
piezoelettriciin un cilindro cristallino. Annali di Mat., 20， 1892.
8o〇
MANUALI HOEPLI
Pnbblicati a tntto Ottobre 1903.
Ministero dell' Istruzione
Gabtnetto
del Sottoseg^etario di Stato
Roma, 3 nov. 1900.
lU.mo Signore
Comm. Ulrico Hoepli
Editore
MiLANO.
La collezione dei Manuali
Hoepli, ricca ormai di quasi
700 uolumif forma la piu vasta
enciclopedia di scienze, lettere
ed arti ftnora apparsa in Ita-
lia. Meritano lode certamente
e gli autori, che in forma lu-
cida e breve hanno preparato
eosi oalido ausilio alia giouentu
stndiosa^ e Veditore che ha sa-
puto scegliere, tra le varie di-
icipline, quelle che meglio val-
gono a formare un complesso
di cognizioni indispensabili alia
eultura moderna.
flrmato :
Enrico Panzaccui.
Sotto Sezrtiario di Stato
Ministero della Pubhl. Istruiione.
II Ministro
per I'Agricoltura, 1' Industris
e il Commercio
Roma, 25 ott. 1900.
111. sig. Comm. U. Hoepli,
Milano.
La larga accoglienza fatta
alia collezione dei manuali, e-
diti dalla Sua benemerita Casa,
deve certo formare la migliore
e piu ambita ricompensa per la
S. V. Illma, che con intelli-
gente cura ne dirige la pub-
blicazione.
Questo Ministero ha avuto piu
volte occasione di fermare la
sua attenzione sui lauori che
piu direttamente riguardano
V agricoltura, la zootecnia e le
Industrie ad esse attinentiy tro -
oandoli rispondenti alio scopo,
che la S. V. Ill ma si propone
di conseguire.
Mi torna quindi gradito di
esprimerne a Lei il mio sincero
compiacimento^ mentre Le au-
guro che sempre maggior fa-
uore abbia ad incontrare code-
sta Sua utile raccolta
flrmato : Carcano.
i^Citi. delVAgr.f Ind. e Comm.
ELENCO DEI MANUALl HOEPLI
Acque miner, e term.
Anatom. e fisiol. oomp.
Anatomia microscop.
Anatomia vegetale
Animali parasa. nomo
Aotropologia ,
Batteriologia
Biologia animale
Botanica
Cane
Gavalio
Goleotteri
Oolombi domestioi
Coniglicoltura
Cristallo^afia
Ditteri
Eiiibriol e morfol. gen.
Fiorl artiftciali
Floricoltura
Stoda Naturale.
Fisica cristallografica
FiBiologia
Id. vegetale
Frntticoltura
Frntta mihori
FuDghi mangereooi
Geologia
Imenotteri ecc.
Insetti nocivi •
Id. utili
Ittiologia
Lepidotteri
Majale
Malattie crittog.
Metalli preziosi
Mineralogia teener.
Id. descritt.
Naturalista preparat.
Naturalista viaggiat.
Orticoltura
Ostricoltura e mitii.
Paleoetnologia
Paleontologia
Pi ante e fiori
Pietre prezioae
Piscicoltnra
Pollicoltura
Pomologia
Protistologia
S.elviooltnra
Sismologia
Tabacco
Tartufi e funghi
Tecnica protistol.
Uccelli canori
Valcanismo
Zoologia
Medicina, Ghirorgia, Igiene.
Acqae miner, e term.
Analisi chimica qual.
Anatomia e fis. comp.
Anatomia microscop.
Anatomia topograf.
Animali parass. aomo
Antropometria
Aromatici
Assistenza infermi
Id. pazzi
Batteriologia
Biologia animale
Chimica appl. a. igiene
Chimica clinica
Cbimica legale (toss.)
Chirurg. operativa
Climatologia
Disinfez. (Pratica d.)
Embriologia
Epilessia
Farmacista
Parmacoterapia
Fisiologia
Fototerapia
Cavi telegrafici
Correnti elettr. altera.
Distiilazione dol iegno
Blettricita
Elettrotecnica
Elettrochimica
Idroterapia
Igiene della bocca
Id. del lavoro
Id. vita pubblioa
Id. della pelle
Id. privata
Id. rural e
Id. Bcolastica
Id. veterinaria
Id. della vista
Immunita malattie
Impiego ipodermico
Infortnni d. montagna
Legislazione sanitaria
Lace e salute
Malatt del paesi caldi
Malattie del sangne
Materia medica
Medicatnra antisett.
Medico pratico
Microbiologia
Microscopio
Morte vera e app.
Elettricita.
Fulmini e parafulmini
Galvanizzazione
Qalvanoplastica
Galvanostegia
Illuminazione elettric
Blagnetie. e elettricit^t.
Nevraatenia
Nntrizione bamb.
Organoterapia
Ortofrenia
Ostetricia
Pellagra
Protistologia
Psiohiatria
Psicologia fisiol.
Psicoterapia
Bachitidc
£adioterapia
Bontgen (Baggi)
Seraejotica
Sieroterapia
Soccorsi d'nrgensa
Spettrofotometria
Terapia infanzia
Tisici e sanatori
Ufficiale sanitario
Veleni
Zoonosi
Metallocromia
BOntgen (Baggi di)
Telefono
Telegrafla
Telegrafia senza ftli
UnitE asaolute
6
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
Tecnologia, Ingegneria, Gostrazioni, ecc.
Abitazioni anim. dom.
Architettura
Aritmetica e Geom. op.
Asfalto
Atlante di macchine
Antomobilista
Caloestruzzo
Calci e cementi
Calderaio
Gasa deiravvenire
Case operate
Ciclista
Coltivazione miniere
Gonti e calcoli fatti
Cnbatnra legnami
Curve circolari
Decoraz. e indast. art.
Dinamica
Disegnatore meccan.
Disegno assonometr.
Id. ^eometrico
Id. industriale
Id. di projez. ort.
Id. (Gramm. del)
Dizionario tecnico
Fabbricati civili
Algebra elementare
Id. compl. lanal.
Id. Id. Ilequaz.
Id. (Eaeroizi di)
Aritmetica pratica
Id. razionale
Id. (Eaerc. di)
Id. e geom. d. op.
ABtronomia
Id. naatica
Id. n. autico test.
Galcolo infin. I calc.diff
Id. II iutegrale
Id. in d. variaz.
Id. (Esercizi di)
Celerimensnra
Compensazione errori
Computisteria
Conti e calcoli fatti
Cabatura legnami
Curve circolari
Determinanti
Disegno assonometr.
Fabbro ferraio
Falegname-ebanista
Fognatara cittadina
Id. domestioa
Fonditore in metalli
Fotogrammetria
Gaz illnminante
i&nomonica
Idraalica
Imitazioni e succed.
Incandescenza a gaz
Industrie (Piccole)
Infortuni snl lavoro
(Mezzi p. prevenirli) Prospettiva
Ingegnere civile
Ingegneria legale
Lavori marittimi
Lavori in terra
Leggi lavori pnbblici
Leghe metalliche
Macchine a vapore
Id. agricole
Id. per cucire
Macohinistae fuochist.
Marmista
Meccanica
Matematiche.
Disegno geometrico
Id. industriale
Id. di projezioni
Id. topografico
Economia matematica
Bserciz.d. geom. elem.
Id. di Trigonom.
Enclide (L，) emendato
Pormulario di matem.
Fotof^rammetria
Fnnzioni analitiche
Id. ellittiche
Geometr. anal. d. piano
Id. Id. d. spazio
Id. descrittiva
Id. metr. e trig.
Id. pratica
Id. proj. d. piano
Id. Id. d. spazio
Id. para
Id. etrig. d.8fera
Gnomonica
Gruppi ditrasformaz.
Gravitazione
Meccanico
Meccanismi (500)
Miniere
Modellatbre meccanio.
Molini
Momenti resistenti
Montatore d. macchine
Operaio
Orologeria
Peso metalli
Prontuario d. agricoi-
tore e d. ingegnere
ruralo
Begolo calcolatore
Besistenza d-materiali
Scaldamento e ventil,
Sidernrgia
Stereometria
Stramenti metric!
Tavole d'alligazione
Tempera e cementaz.
Termodinamica
Tornitore
Zolfo
Interesse e sconto
Logaritmi
Logica matematica
Logismografla
Matematica (compl.di)
Matematiche superiori
Metro logia
Peso metalli
Problemi di geometr.
Prospettiva
Bagioneria
Id. d. cooper.
Id. industrial.
Eagioniere (pront. d.)
Begolo calcolatore
Bepertor. di matemat.
Stereometria
Stramenti metrici
Telemetria
Teoria dei numeri
Id. d. ombre
Termodinamica
Triangolazioni topog.
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
Amministrazione pubblica
Diritto e Giarispradenza.
Assicnrazione
Id. e stima danni
Avarie e sinistri mar.
Beoeflcenza
Bonifiche
Oatasto
Chimioa applicata
Codice del bollo
Id. doganale
Id. civile
Id. proced. civile
Id. commercio
Id. pen.eproc.pen.
Id. di marina
Id. pen. p. Teserc.
Id. del teatro
Id. d. perito mis nr.
Cod. e leggi qs. dltalia
Compatisteria
Conciliatore
Oontabilit^ comanale
Id. delloStato
Cooperative rurali
Cooperazione
Curatore dei fallimen.
Debito pabblico
Digesto
Diritti e dov. d. cittad.
Diritto amministrativ.
Id. civile
Id. coramerciale
Diritto costitnzionale
Id. Ecclesiastico
Id. Intern, pabbl.
Id. Id. private
Id. penale
Id. Id. romano
Id. romano
Economia politica
Esattore comanale
Estimo dei terreni
Id. rnrale
Posrnatnra cittadina
Qiurato (Man. del)
Qiurisdizione volont.
Giustizia amministr.
Igriene scolasdca
Id. veterinaria
Imposte dirette
lafortuni sal lavoro
Ingegneria legale
Interesse e sconto
Ipoteche
Lavoro donne e fane.
Legge comanale
Id. sai lav. pubbl.
Id a. ordia. giad.
Id. infort. 8. lavoro
Id. s propr. letter.
Id. 8. diritti d'ant.
Id. 8. priv. iDdnstr.
Legge 8. sanitib e sicu-
rezza pubblica
Legge snlle tasse di re-
gistro e bollo
Legislazione sanitaria
Legislazione rnrale
Logismografia
Mandate commerciale
Notaio
Ordinam. Stati d'Eur.
Id. Id. f. d'Eur.
Paga giornaliera
Posta
Produz. e commer.vino
Prontuario d. agricolt.
Id. d. ragion.
Proprietario di case
Ragioneria
Bagioneria d. Cooper.
Id. industriale
Bicchczza mobile
Scienza d.finanze
Scritture d'affari
Socialismo
Societa di mut. soccor.
Id. industriali
Sociologia generale
Statist! ca
Testamenti
Trasporti e tariffe
Valori pubblici
Archeologia, Belle Arti.
Amatore oggett. d'arte
Anatomia pittorica
Antichitk greche
Id. priv.d. rom.
Id. pubbl. rora.
Armi antiche
Araldica
Aroheol. d. arte greca
Id. d. arte etr. rom.
Architettnra
Armi antiche
Artl grafiche fotomec.
Atene
Calligrafia
Colori e pittnra
Decoraz. e ind. artist.
Dieegno
Id. (Gramm. del)
Piorl artificiali
Fotosmaltografla
Gioielleria, orefloeria
Quida nnmismatica
Litografla
Luce e colori
Majoliche e porcellane
Marmista
Mitologia
Monete greche
Id. Tomane
Monogrammi
Nninismatica
Ornatista
Paleografia
Paleoetnologia
Pittnra italiana,
Id. ad olio
ProBpettiva
Ristauratore dipinti
Scoltnra
S tori a dell'arte
Teoria d. ombre
Topografia di Roma
Vocabolarietto nnmis.
Vocabolario araldico
8
ELEJICO DEI MANUALI HOEPLI
Storia e Geografia.
Acqne minerali
Alpi
Astronomia (L') n. an-
tico testainento
Atiantest. geog.d. Ital.
Id. geog. univera.
Cartografia
Climatologia
Commercio (Storia d.)
Cosmogratla
Cristoforo Colombo
Cronologia
Id. scop. geog.
Dizionario alpino
Id. geogratico
Dizionario dei comuni
Italia
Dizionario biograflco
Esercizi geograflci
Etno^afia
Qeografla
[d. classica
Id. flsica
Id. commercial.
Geologia
Islamismo
Leggende popolari
Manzoni A.
Mare
Mitologia
Omero
P&leoetnologia
Prealpi bergamasche
Prontuario di geograf.
£ivolnzione francese
Shakespeare
Sismologia
Statistica
Storia antica
Id. d. artemilitere
Id. del commercio
Id. d' Italia
Id. di Prancia
Trt. dUnghilterra
Id. e cronologia
Topografla di Bora a
Yalcanismo
Erudizione, Bibliografia, ecc.
Am a tore oggetti d'art.
Id. di maioliche
Armi antiche
Atene
Antografi
Bibliografia
Biblioteoario
Class! flcaz. d. scienze
Grittografla
Dizionario bibliograf.
Id. biografico
Id. stenograf.
Id. abbreviat.
Enciclopedia Hoepli
Epigrafia latina
Errori e pregiudizi
Evoiuzione (storia d.)
Grafologia
Leggende popolari
Litografla
Paleoetnologia
Paleografia
Raccoglitore
Stenogratia
Stenografo
Tipografia
Filosofia, Pedagogia, Beligione.
Bibbia
Bnddismo
Didattica
Dlritto ecclesiastico
Estetica
Etica
Byolnzione
Filosofla morale
Qiardino infantile
Grafologia
Igiene scolastica
Imitazione Cristo
Logica
Mitologia
Psicologia
Id. fisiologica
Id. mnsicale
Protezione animali
Ortofrenia
Beligioni dell' India
Sordomnto
Arte militare, Nautica.
Amatore oggetti d'art
Armi antiche
Attrezzatura navale
Ayarie e sinistri mar.
Canottaggio
Codice cavallereaco
Gostrnttore oavalc
Disegno ecostruz.navi
Doveri macchin. naval.
Duellante
Esplodenti
Pilonauta
Plotte moderne
Ingegnere nay ale
Lavori marittimi
Macchinista navale
Marine da guerra
Marino
Meccanica dei macchi-
nista di bordo
Nautica stimata
Pirotecnia
Scherma
Storia arte militare
Telemetria
Ufflciale
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
9
Letteratura, Linguistica, Filologia.
Miisica, Sport.
Ar.robatica e atietica
Alpinismo
Aiuatore oggetti d'art.
Armonia
Arnii antiche
Aucomobiliata
Ballo
tiiliardo
Cacciatore
Cane (Allevatore del)
Oiinottaggio
Canto (II)
Can tan te
Cavallo
Ohitarra
Ciclista
Co dice cavalleresco
Dizionario alpino
Id. tilatetico
Dizionario delle corse
Duellanie
PiLonauta
Ginnastica feraminile
】d. maschile
Id. (Storia d.)
Giuochi ginnastici
Giuoco del palione
liifortuni d. montagns
Lawn-Tennis
Mandolinista
Nuotatore
Pianiata
Proverbi sul cavalio
Paicoiogia musicale
Scacchi
Scherma
Storia dell a musica
Sirumentazione
Strumenti ad arcc
Arabo parlato
Arte del dire
Converaaz. Ital.-Ted.
Id. Ital-Fran.
Corrisp. comm. Italian.
Id. Id. spagn.
Id. Id. franc.
CrittoiT^afia
Dantologia
Dialetti italic!
Id. grechi
Dizion. abbrev. iatine
bibliografico
Eritreo
Milanese
OlandeBe
Tedesco
univ.in41ing.
Dottrina pop.in41iag.
Enciclopedia Hoepli
Eseroizi groci
Id. latini
Id. di tradazione
dollagraram. franc.
Keercizi di traduzione
dclla gramm. tedesc.
Filologia classica
Florilegio poet, greco
Fonologia italiana
Id. latina
Kraseologia francese
Giottologia
Grammatica albanese
Letteratura aorveg.
Id. Persian a
Id. provenz.
Id. romana
Id. spagnaol.
Id. tedeaca
Id. ungherea.
Id. slava
Lingua gotica
Lingue d'Africa
Id. neo-latiiie
Id. stranlere
Metrica d. greci e rom.
Morfologia greca
Id. italiana
Omero
Paleografia
Kelig. e ling, di India
Rettorica
Bitinica italiana
Sanscrito
Shakespeare
Sintassi francese
Sintassi latina
Stilistica
Siilistica latina
Tavole divina comm.
Tig re
Traduttore tedesco
Verbi greci
Id. latini
Vocabol. lingua Ruasa
Volapnk
Grammat. dan.-norv.
ebraica
Francese
OaLla(Orom.)
Greca
Greca-mod.
Inglese
Italiana
Latina
Oiandese
Portoghese-
Brasiliana
Grammat. Bamena
Id.
Eussa
Id.
Slovena
Id.
Spagnuola
Id.
Svedese
Id.
Tedesca
Id.
Turca osm.
Leggende popolari
Leueratura albanese
Id.
american.
Id.
araba
Id.
assira
Id.
catalana
Id.
dramm.
Id.
ebraica
Id.
egiziana
Id.
francese
Id.
greca
Id.
Indiana
Id. inglese
Id. italiana
1 1 1 1 1 1
ddddddddd 丄
Elenco completo dei MANUALI HOEPLI
disposti in ordine alfabetico per materia.
L. c
Abitazione degli animali domestici, del Dott. u. Barpj»
di pag. xvi-372, con 168 incisioni 4 ―
Abltazioni 一 vedi Fabbricati civili.
Abitazioni poiiolari 一 vedi Case operaie.
Abiti per signora (Confezione di) e I'arte del taglio, com-
pilato da Emilia Cova, di pag. vni-91, con 40 tavole . 8 ―
Abbreviature ― vedi Dizionario abbreviatnre ― Dizionario ste-
no^rafico.
Acetilene (L，） di L. castellani 2.* ediz, di p. zvi-164 . 2 一
Acido solforico, Acido nitrico, Solfato sodico, Acido mu-
riatico (Fabbrieazione dell*), del Dott. V. Vender, di
pag. vin-812, con 107 incisioni e molte tabelle . . . . 8 50
Acque (Le) minerali e termali del Regno ditalia, diLuiGi
TiOLi. Topografla - Analisi - Elenchi - Denominazione delle
acqne - Malattie per le qnali si prescrivono • Comnni in
cui scatoriscono - Stabilimenti e loro proprietary - Acque e
fanghi in commercio - Negozianti d'acqne minerali, di pag.
XXil-552 - . . 6 50
― vedi anche Legislazione delle.
Aorobatica e atletica di A. Zucca, di pag. xxx-267, con
100 tavole e 42 incisioni nel testo 6 50
Acustica — vedi Luce e euono.
Adulterazioni e falsificazioni (Dizionario delle) degli all-
menti, del Dott. Prof. L. Gabba {h in lavoro la 2» ediz.).
Agricoltore (Prontuario dell') e dell'ingegnere rural e, del-
ring. V. NiCCOLl, 3* edizione riveduta ed ampliata, di pa-
gine XL-500, con 30 incisioni 5 60
一 (II libro dell') Agronomia, agricoltura, indnstrie agricole
del Dott. A. Bruttini, di pag. xx-446 con 803 figure . 8 50
Agronomia, del Prof. Careqa di Mubicce, 3* ediz. rive-
duta ed ampliata daH'aDtore, di pag. xn-210 1 60 .
Agronomia e agricoltura moderna, diG. Soldani, 2» ed.
di pag. vni-416 eon 134 incisioni e 2 tav. cromolit. . . 8 50
Agrumi (Coltivazione, malattie e commercio degli), di A.
ALOI, eon 22 incisioni e 5 tavole cromolit" pag. xn-288 8 50
AlCOOi (Fabbrieazione e materie prime), di F. Cantamessa
di pag. xn-807, con 24 incisioni 8 ―
Alcool industriale, di G. Ciapetti. Produzione dell' al-
cole indmstriale dal pnnto di vista ileiragricoltnra italiana,
applicazione dell' alcole denatnrato alia fabbrieazione del-
I'acGto e delle vinacce, alia produzione della forza motrice,
al riscaldamento e alia illnminazione con 105 illustrazioni,
(li pag. xiI-262 8 一
Algebra complementare, del Prof. s. Pincherle ：
Parte I. Analisi Algebrica, di pag. viU-174 . . . . 1 50
Parte II. Teoria delle equazioni, pag. rv-l69 con 4 inc. 1 fiO
ELENCO DEI MA^UALl HOEPLI
11
L. c.
Algebra elementare, del Prof. s. Pincherle, 8» ediz. di
pag. VIiI-210 e 2 inoisioni 1 50
― (Eseroizi dij, del Prof. S. Pincherle, di pag. vm-185,
con 2 Incisionl • 1 50
Alighieri (Dante) 一 vedi Dantologia.
Alimentazlone, di G. Strafforello, di pag. vm-122 . 2 —
Alimentazione del bestiame, dei Proff. mbnozzi e Nic-
COLI, di pag. xvi-400 con molte tabelle 4 ―
Atlattamento ― vedi Nutrizione del bambino.
Ailigazione per I'ora e per I'argento ― vedi Leghe - Tavole.
AllumlniO (L，)， di C. PORMENTI, di pag. XXVm-324 . . . 8 50
A，o6 — vedi Prodotti agricoli.
Alpi (Le), di J. Ball, trad, di I. Cremona, pag. vi-120 . 1 60
Alpinismo, di G. Bbochebel, di pag. vin-3i2 .... 8 —
Amalgams 一 mcU Leghe metallicbe.
Amatore (L') di oggetti d'arte e di curiosita, di L. De
Mauri, di 600 pag. adomo di namerose incis. e marefae.
Contiene le materie se^enti: Pittura - Incisione - Scoltnra
in avorio - Piccola scoltura - Vetri - Mobili - Smalti - Ven-
tagli - Tabacchiere - Orologi - Vasellame di stagno - Armi
ed armature • Dizionario complementare di altri inflniti og-
getti d* arte e di curiosity, di pag. xn-580 6 50
Amianto 一 vedi Imitazioni.
Anaorammt. 一 vedi Enimmistica.
Analisi Chimica qualitativa di sostanze minerali e organiche
e ricerche tossicologiche, ad uso dei laboratori di chimica id
genere e in particolare delle Scuole di Farmacia, del Prof. P.
E. Alessandbi. 2» ediz. intieramente rifatta, di pag. xii-
884, con 14 inc. numerose tabelle e 5 tav- cromolitografiche 5 ―
AnalUI di sostanze alimentarl. ― vedi Chimica applicata all' Igiene.
Anaiisi delle Urine. ― vedi Chimica clinica.
Analisi del vino, ad uso dei chimici e dei legali, del Dott.
M. Barth, tradnzione del Prof. B. COMBONI, 2& edizione
Italiana interamente rivedata ed ampliata dal traduttore.
di pag. XVI- 140. con 8 inc. interoalate nel testo . . . 2 —
Analisi VOlumetrica applicata ai prodotti commerciali e In-
dus triali, del Prof. P. E. Alessandri, pag. x-842. con inc. 4 50
Ananas. ― vedi Prodotti ftgricoli.
Anatomia e fisiologia comparate, del Prof. r. besta, di
pag. vn-218 con 84 incisioni 1 50
Anatomia microscopica (Tecnica di), del Prof. D. Carazzi,
di pag. xi-211, con 5 incisioni 1 50
12
ELENCO DEI MANUALl HOEPLI
L. c
Anatomia pittorica, del Prof. A Lombardini, 2» ediz. ri-
yednta e ampliata, di pag. viii-168, con 58 inc. ... 2 —
Anatomia topografica, del Dott. Prof. c. Falcone, di
pag. xv-895, con 80 inoisioni 8 —
Anatomia vegetale, del Dottor a. Tognini, di pagine
XVI-274 con 41 inoisioni 8 -
Animal i da cortlle, del Prof. p. bonizzi, di pag. xiv-288
eon 89 incisioni. (La 2» ediz. h in preparasione).
Animali (Gii) parassiti dell' uomo, del Prof. p. Mercanti,
di pag. iv-179, con 33 incisioni 1 &0
Antichita greche, del Prof. v. Inama. (In lavoro).
Antichitk private dei romani, del Prof. N. Mobeschi. 8*
edizione interamente rifatta del Mannale di W. KOPP, di
pag. xvi-181 con 7 incision! *. . . 1 60
Antichitk pubbliche romane di J. G. Hubert, rifacimento
delle antichitii romane pnbbliohe, sacre e militari di W.
KOPP, tradnzione del Dott. A. WiTTGENS, di pag. xiv-
824, eon 18 fig^nre intercalate ne] testo e una pianta . . 3 ―
Antisettioi 一 vedi Medicatnra antisettica.
Antologia stenografica, di B. Molina (In lavoro),
Antropologia, del Prof. G. Canestrini, 8* ediz., di pag.
VI- 239 con 21 incisioni 1 50
Antropometria, di R. Livi, di pag. vm-287 con 32 incis. 2 60
Apicoltura, del Prof. G. Canestrini, 3» ediz. riveduta di
pag. iv-215 con 43 incisioni 2 —
Appaltl ― vtdi Ingegneria legale.
Arabo parlato (L，) in Egitto, grammatica, frasi, dialoghi
e raccolta di oltre 6000 vooaboli del Prof. A. Nallino.
(Nnova ediz. daXVArabo volgare di De Sterlich e Dib
Khaddaq) di pag. xxvm-386 4 一
Araldica (Grammatica), di P. Tbibolati, 4» ediz. rifatta
da G. Di Cbollalanza. (Tn lavoro).
Aranci ― vedi Agmmi.
Archeologia. Arte Greca, del Prof. i. gentile (esaarito).
i in preparazione una nnova ediz. rifatta del Prof. S. Bicci
Archeologia e Storia dell arte italica, etrusca e romana.
8* ediz. intier. rifatta. Un vol. di testo con intr. bibliogr.
ed appendici sulle nltime scoperte e question! archeol. di
pag. XXXiv-346 con 96 tav. nel testo a cara del Prof. 8.
Ricci e un vol. di 79 tav. e in. a cura del Prof. I. Gentile 7 &0
Architettura (Manaale di) itaiiana, antica e moderna, di
A. Melani, 4* edizione completata ed arricchita, con 136
tav. e 67 incis. intercalate nel testo di pag. XXV-559 7 50
KLittiNCU UKl MAIM u Ala iiur^rijx
L. c.
Argentatura ― vedi Galvanizzazione ― Galvanoplastica 一 Qalva-
noBte^a ― Metallocromia ― Metalli preziosi ― Picoole industr.
Aromaticl e Nervini neiralimentazione. i condimenti, I'ai-
oool (Vino, Birra, Liquori, Rosolii, ece.). Cafife, Thh Matfe,
Guar ana, Noce di Kola, ecc. ― Appendice sull'uso del
Tabacco da fumo e da iiaso ； del Dott. A. Valenti . . 3 ―
Aritmetica pratioa, del Prof. Dott. p. Panizza. 2» edi-
Kione riyedata, di pag. vm-188 1 50
Aritmetica razlonale, del Prof. Dott. p. panizza, 4* edi-
xione ri^ednta di pag. xn-210 1 60
一 (Esercizi di), del Prof. Dott. P. Panizza, di p. vni-150 1 60
Aritmetica (L') e Geometria deH'operaio, di bzio Giorli,
di pag. xn-188, con 74 figure 2 —
Armi anticbe (Gaida del raccoglltore e deiramatore di) di
J. Gelli. di pag. vm-888, oon 9 tavole faori testo, 482
ineisioni nel testo e 14 tavole di marche 6 50
Armonia (Mannale di), del Prof. G. Bernardi, con prefa-
sione di B. Rossi di pag. xn-288 8 50
Arte d0l dire (L'), di D. Ferrari, Mannale di rettorica
per lo stadente delle Scnole secondarie. 6» ediz. corr., (10,
11 e 12 migliaio), pag. xvi-850 e qnadri sinottici . . . 1 50
Arte d6lla ''nemoria (L'), sna storia e teoria (parte scien-
ttflca). Mnemotecnia Trifonne (parte pratica) del Qenerale
B. Plebani, dl pag. xxxn-224 con IS illnstr 2 50
/^rte mineraria. ― vedi Miniere (Coltivazione delle).
rte Mlutare 一 vedi Memoriale del Medici pratici.
ArtllLe) graflche fotomeccanlohe, ossia la EUografla nelle
diverse applicaz. (Fotozincotipia, fotozincografla, fotocro-
molitograj&a, otolitografla, fotocoUografla, fotosilografla,
tricromia, fotocoUocromia, elioinoisione, ecc. secoado i me-
todi plft recenti, con nn Dlzlonarietto tecnico e un cenno
atorico sulle arti graflche; 8» ediz. corr. e aocrescinta ed
In parte rifatta, con molte illnstr. di pag. xvi-288 . . . 2 —
Asfalto (L'), fabbricazione, applicazlone, dell'Ing. E. Ri-
0HBTTI. con 22 inoisioni, di pag. viil-152 2 ―
Asslourazione in generale, di u. gobbi, di pag. xii-sos. 8 ―
Assiourazione sulla vita, di c. Pagani, di pag. vi-iei.. i 50
AssiOUrazioni (Le) e la Stima dei danni nelle aziende ru-
ral!, con appendice sui mezzi contro la grandine, del Dr.
A. Capilupi, di pag. vm-284, 17 ineisioni 2 50
As8i8tenza degrinfermi neH'ospedale ed in famiglia, del
Dott. C. Galliano, 2» ediz., pag. xxiv-448, 7 tav. . . . 4 50
Assistenza del pazzi nel manicomio e nella famiglia, del Dr.
▲• PiERACClNi, e prefaz. del prof. B. MORSELLi, pag. 250 2 60
Astronomia, di J. N. Lockyer, naova versione libera con
note ed agginnte del Prof. G. Celoria, 4» ediz. (esaurito,
e in lavoro 】a 5， -edizione).
L. C.
Astronomia (L，) nell'antico testamento. di G V. SCHIA-
PARELU, di pag. 204 1 50
Astronomia nautica, del prof. Q. Naccari, di pag. xvi-
820, con 45 incis. e tav. numeriche B ―
Atene. Brevi cenni snlla cittk antica e moderna, segnitl da
nn saggio di Bibliografla descrittiva e da una Appendioe '
Nmnismatica, di 8. Ambbosoli, con un panorama e una
pianta d'Atene, 22 tav. e varie incisioni nel testo . . . 8 60
Atlante geografico-storico d'ltalia, del Dott. G. Garollo,
24 tav. con pag. vin-67 di testo e nn'appendice ... 2 —
Atlante geografico universale, di r. Kiepert, 26 carte
con testo. GU Stati della terra del Dott. G. Gabollo.
10» ediz. anmentata e corretta (dalla 91.000* alia 100.000*
copia) pag. vm-88 2 —
Atietica ― vedi Acrobatica.
Atmosfera 一 wdi Igroscopi e igrometri.
A ttrezzatura, manovra navale, segnalazioni marittime
e Dizionarietto df Marina, di P. imperato, 8» edizioue
ampliata, di pag. xXEV-648, con 830 incis. e 28 tav. in
cromolit. riproducenti le bandiere maritt. di tntte le naz. 6 60
Autografl (L'amatore d，), del conte E. Bud AN eon 361 fac-
slmili di pag. xiV-426 4 60
Autografl (Raccolte e raccoglit. di) in Italia di C. Vanbian-
CHI, di pag. xvl-876, 102 tav. di facsimili d'aut. e rit. . 6 50
Automobilista (Nanuaie dell') e guida del meccanico con-*
duttore d'automobili. Trattato snlla costrnzione dei vei-
coli semoventi, dedicate agli antomobilisti italiani, agli
amatori d'antomobilismo in genere, agli inventori, ai di-
lettanti di m^ccanica ciclistica, ecc, di G. Pedretti, di
pag. xxiv-480, con 181 incisioni 6 60
Avarle e sinistri marittimf (Manual e del regolatore e li-
quidatore di) del Rag. V. Rossetto. Appendice ： Breve
dizionario di terminologia tecnico navale e commerciale
marittimo inglese-italiaiio. Eagguaglio dei pesi e misure
inglesi con le italiane. Di pag. xv-496, con 25 fig. in 6 tav. 5 50
Avicoltura ― vedi Animali da ortile ― Colombi ― Pollicoltura.
Awoienamentf ― vedi Veleni.
Bachi da seta, del Prof. F. Nenci. 8» ediz. con note ed
aggiunte, di pag. xii-800, con 47 incis. e 2 tav. . . . 2 50
BafisticB 一 V9di Ami anticlie ― Esplodenti ― Pirotecnia ― Sto-
ria dell'arte militare.
BallO (Mann ale del) di F. Gavina, di pag. vm-249, con 92
figure. Contiene : Storia della danza - Ball! girati - Co-
tillon • Danze local! - Feste di ballo - Igiene del hallo. 2 50
Bambini 一 vedi Nntrizione dei ― Ortofrenia ― Terapia.
Barbabietola da 7Ucchero ― vedi Zncchero.
ELENCO DEI MANUALl HOEPLI 16
L. c.
Batter lologia, dei Professori G. e N* Canestbini, 2* ediz.
In gran parte rifatta, di pag. x-274 con 87 ineis. . . . 1 50
Beneficenza (Manuale della), del Dott. L. Castiglioni, con
appendice snlle contabllit^ delle istituzioni di pnbblica
beneficenza, del Bag. G. Bota, di pag. xvi-840. • . . 8 60
Bestiame (ll) e ragricoltura in Italia, del Prof. B. al-
BERTI, di pag. vin-812, con 22 zincotipie 2 50
― Vedi Abitazioni di animali 一 Alimentazione d. bestiame
― Cavallo ― Coniglicoltura ― Igiene veterinaria ― Ma-
jale - Poliicoltura - Eazze bovine - Zoonosi - Zootecnica.
Biancheria (Disegno, taglio e confezione di), Mannale teo-
rico pratico di E, Bonetti, con nn Dizionario di nomen-
olatura, 2» edizione riveduta e anmentata, di pag. xvi-
202 con 50 tavole illustrative e 5 prospetti 8 —
BIbbia (Man. della), di G. M. Zampini, di pag. xn-808 . 2 50
BIbllografla, di G. Ottino, 2» edizione riveduta, di pag.
IV-166, con 17 incisioni 2 —
Bibliotecario (Manuale del), di G. Petzholdt, tradotto
snlla 3* edizione tedesca, con nn'appendice originale di
note illustrative, di norme legislative ed amministrative
e con an elenco dellfiipabbliche biblioteche italiane e stra-
niere, per cura di G. BiAGi e G. PUMAGALLI dl pagine
XX-864-CCXin 7 60
BlliardO (II giuoco del), di J. Gelli, di pag. 2V-179, con
79 illastrazloni * 2 50
Blografla 一 vedi Cristoforo Colombo ― Dantologia ― Dizionario
biograflco ― Manaoni ― Napoleone I ― Omero ― Sbakespeare.
Biologia animale (Zoologia generale e speciale) per Natu-
ralisti, Medici e Veterinarii del Dott. G. Collamabini,
di pag. x-426 con 28 tavole 3 —
Bolio -一 vedi Codice del bollo ― Leggi registro e boUo. •
Bonificazfoni (Mannale amministrativo delle) di C. Mez-
ZANOTTI, di pag. xn-294 8 —
Borsa (Operaz. di) ― vedi Debito pnbblico ― Valori pubblici.
Boschi ― vedi Selvicoltura.
Botanica, del Prof. I. D. Hooker, traduzione del Prof. N.
Pedicino, 4» ediz., di pag. vni-134, con 68 incisioni , 1 60
Botti ― vedi Enologia.
Bronzatura ― vedi Metallocromia ― Galvanostegia.
Bronzo ― vedi Leghe metalliche.
Buddismo, di E. PavoLINI, di pag. XVI- 164 1 60
Burro ― vedi Latte 一 Caseificio.
Gacciatore (Manuale del), di G. Franceschi, 2» edizione
rifatta, di pag. xni-315, con 41 incisioni 2 50
Caeio 一 vedi Bestiame — Caseificio 一 Latte, ecc.
-affe ― vedi Prodotti agricoli.
16 ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
―
Calcestruzzo (Costruzioni in) ed in cementi armati, di g.
Vacchelu, 2* edizione, di pag. xvi-851 con 280 figure 4 一
Caici e Cementi (Impiego delle), per ring. L. Mazzocchi
di pag. xn-212 con 49 incisioni ......... 2 —
CaloolazionI meroantili e bancarie ― vedi Conti e Calcoli fatti ―
Interesse - sconto ― Prontuario del ragioniere 一 Monete ingl.
Caicolo infinitesimale, del Prof. B. Pascal: *
Parte I. Caicolo di^eremiale, 2* edizione riveduta di
pag. xil-8】l con 10 incisioni 8 —
f, II. Caicolo tntegrale, 2" edizione completamente
rifatta di pag. vin-829 8 —
B III. Caicolo delle variazioni e caicolo deUe dif-
ference finite, di pag. xn-300 . . . • . 8 —
一 Esercizi dl caicolo infinitesimale (Caicolo differenziale
e integrale), del Prof. B. Pascal, di pag. xy-872 . . . 8 —
Calderaio pratico e costruttore di caldaie a vapore, e
di altri apparecchl indastriali, di G. Belluomini, di pag.
xn-248, con 220 incisioni g ―
Calligrafia (Manuals di). Cenno storico, cifre numeriche,
materials adoperato per la scrittara e metodo d'insegna-
njento, con 55 tavole di modelli dei principali caratteri
conformi ai programmi, del Prof. E. PftRCOSSi, con 88
facsimili di scrittare 8 ―
Galore (II), del Dott. E. Jones, trad, di U. PORNARI, di
pag. Vin-296, con 98 incisioni 8 —
CampicellO (II) SCOlastico. Impianto e coltivazione. Ma-
nuale di agricoltura pratica per i Maestri, dei Dottori E.
AziMONTi e C. Campi, di pag. xi-175, con 126 incisioni 1 50
Canoelliere 一 vedi Conciliatore.
Candeie ― vedi Indnstiia stearica.
Cane (II) Razze mondiali, allevamento, ammaestramento, ma-
lattie con una appendiee : I cani dell a spedizione polare
di S. A. R. il Duca degli Abruzzi, di A. Vecchio, 2» edi-
zione rifaUa, di pag. xvi-442, con 152 inc. e 63 tavole
delle quali 12 a colori pa disegni originali dell' autore . 7 50
Canottaggio (Manuale di), del Cap. G. Cjroppi, di pagine
XXlV-466, con 887 incis. e 91 tav. cromolit. . • . . . 7 50
Cantante (Man. del), di L. Mastrigli, di pag. xn-182 . 2 一
Cantlniere (II). Manuale di vinificazione per uso dei canti-
nieri, di A. Strucchi, 3» edizione riveduta ed aumentata,
oon 52 incisioni unite al testo, una tabella completa per
la riduzione del peso degli spiritl, ed un'Appendice sulla
produzione e commercio del vino in Italia, di pag. xvi-256 2 一
Canto (II) nsl sua meccanlsmo, di p. Guetta, di p. vni-
258, con 24 incisioni 2 50
Carborundum ― vedi Imitazioni.
Carburo di calcio ― vedi Acetilene.
、 ELENCO DEJ. MANUALl HOEPLl 17
Carta (Indastria della), deli'lng. L. Sabtori, di pag. vn-
826, con 106 iQcinioni e 1 tavola 5 50
Carte fotografiche, Preparazlooe e trattamento, di L. Sassi.
di pag. xn-858 3 50
Carte geograflohe 一 vedi Atlanta.
Cartografia (Mannale teorico-pratico della), con an santo
della storia della Cartografia, del Prof. E. Gelcich, di
pag. vi-257, con 87 ilLastrazioni 2 —
Casa (La) deiravvenire, deir Ing. Pedrini. Vade mecam
dei eostruttori, del proprietari di case e degli inqailini.
Baccolta ordinata di principl d' ingegneria sanitaria, do-
mestica ed urbana, per la costrazione di case igieniche,
civili, operate e rastiche e per la loro manutenzione, di
pag. xv-468, con 218 incisioni 4 50
Catt oolonlche — ved* Bconomia fabbricati rarali.
Case operaie e abitazioni popolari, di e. Mageini, (in lav.).
CaseificiOy di L. Manetti, 4» ediz. nuovamente ampliata
dal Dr. G. SABTORI di pag. xn-280, con 49 incisioni . 2 ―
Catasto (II nnovo) italiano, di E. Bruni, di pag. vn-346 • 8 ―
CavallO (II), del Colonnello C. VOLPINI, 8* edizione rived.
ed ampliata di pag. vi-283 con 48 tavole .... 5 50
Cavi telegrafici sottomarini. Costruzione, immersione, ri-
parazione, deli'lng. E. J on a, di pag. xvi-888, 188 fig. e
1 carta delle comunicazioni telegrafiche sottomarine . . 5 50
Cedrl 一 vedi Aginmii.
Celerimensura e tavole logaritmiche a quattro decimali del-
ring. F. BORLETTi, di pag. vi-148, con 29 incisioni . . 8 50
Celerimensura (Mannale e tavole di), deli'lng. G. Orlandi,
di pag. 1200， con quadro generale d'interpolazioni . . . 18 ―
Celluloids ― vsdi Imitazioni.
Cementazione ― vedi Tempera.
Cementi armati 一 vedi Calcestruzzo ― Calci e cementi.
Ceralacca ― vedi Vernici e lacche.
Ceramiobe ― vedi Maioliche e porcellane ― Fotosmaltografi&.
Chlmlca, del Prof. H. E. ROSCOE, 5* edizione rifatta da E.
BiCCi, di pag. xn-228, con 47 incisioni 1 50
Chimica agraria, di a. aducco, 2» ediz. di pag. xn-5i2 3 5C
Chimica analitica (Elementi scientific! di), di W. OSTWALD,
trad, del Dott. BoLis, di pag. xvi-284 2 50
Chimica applicata airigiene. Guida pratica ad 議 degli
UflSciali sanit.. Medici - Farmacisti - Commereianti - Labo-
ratori d'igiene, di merciologia, ecc, di P. E. Alessandbi,
di pag. xx-515, con 49 incisioni e 2 tav 5 50
Chimica clinica, del Prof. B. Supino, di pagine xn-202. • 2 ―
Chimica legale, (Tossicologiaj, di N. Valentini, di pa-
gine xn-243 2 5(
CtllmiCO (Mannale del) e delPindustriale. Raccolta di ta-
鎵魏 - ' lg， ELENCO DEI MAIJUALI HOEPLI
戰' ' •' ― ] ~ L c.
: belle, di dati fisici e chimici e di process! d'analisi tecniea,
K ad uso del chimici analitici e tecnici, del direttori di fab-
ftf briche, del fabbricanti di prodotti chimici, degli stadenti di
chlmica, ecc, ecc" del Dottor L. Gabba, 8* edizione am-
； pliata, riveduta ed arricchita delle tavole snalitiohe di
^、V; H. Will, di pag. xix-457» eon 12 tavole 5 50
^r" Chiromanzia e tatuaggio, note di variety ricerche storiehe
:g : ' , e scientiflche, coirappendice di nn'inchiesta con risposte
P;/ di Perrero, Lombroso, Mantegazza, Morselli ed altri di G.
f\. L. Cerchiaki, di pag. xx-828, con XXIX tav. e 82 inc. 4 50
I'f' Chlrurgia operativa (Man. di), dei Dottori R. stecchi e a.
、、- ; Gardini, di pag. vill-322, con 118 incisioni 8 —
l; Chitarra (Mannale pratico per lo studio della), di A. PiSANi,
f -^-- di pag. xvi-116, con 86 figure e 25 esempi di mnsica. . . 2 ―
i《 CIClista, di I. Ghebsi, 2» ediz. complet. rifatta del " Mannale
" del Ciclista „ di A. Galante, di pag. 244, 147 inc. . . . 2 50
'， CImlteri ― vidi Ingegneria legale.
Civilta araba (Islamismo) del prof. Italo Pizzi (in lav.).
Classificazione delle scienze, di c. trivebo, p. xvi-292 • s ―
^ Cilmatologia, di L. De Mabchi, pag. x-204 e 6 carte • • . 1 50
Cloruro di sodio ― vedi Bale.
Codice CavaliereSCO italiano (Tecniea del duello), di J.
人 Gelli, 9» ediz. rifatta, di pag. xvi-283 2 50
)， ' Codice del bollo (II). Nuovo testo unico commentato colle
• risolozioni amministrative e le massime di ginrispm-
denza, ecc, di E. COBSI, di pag. c-564 4 50
Codice civile de! Regno d' Italia, accuratamente riscon-
trato sul testo nfficiale, corredato di richiami e coordinato
dal Prof. Aw. L. Pbanchi, 2» ediz. di pag. 2S2 . . . 1 50
Codice di commercio, accuratamente riscontrato snl testo
nfficiale, corredato di richiami e coordinato dal Prof. Aw.
L. Pranchi, 2» ediz. di pag. lv-158 1 60
Codice doganale italiano con commento e note, deii'Aw.
E. Bruni, di pag. xx-1078 con 4 inc 6 60
Codloe di marina mercantile, secondo ii testo nfficiale,
:、 corredato di richiami e coordinato dal Prof. Aw. L. Fran-
CHI, 2» ediz. di pag. iV-290 1 50
Oodice metrico internazionale 一 vedi Metrologia.
Codice penale e di procedura penale, secondo ii testo
ufflciale, corredato di richiami e coordinato dal Prof. Aw.
L. Pranchi, 2» ediz. di pag. lV-230 1 60
Codice penale per I'esercito e penale militare maritti-
mO， secondo il testo nfficiale, corredato di richiami e coor-
dinato dal Prof. Aw. L. Franchi, 2» ediz. di pag. 17^ . .1 60
Codice del perito misuratore. Raccolta di norme e dati
pratici per la misurazione e la valutazione d'ogni lavoro
ELENCO DKl MANUALI HOEPLI
19
L. c.
edile, prontnario per preventivi, liqnidazloni, coUaudi, pe-
rizie, arbitramenti, degli Ingegn. L. Mazzocchi e E. Mab-
ZORATI, di pag. xin-498 con 116 illustrazioni & 50
Codfoe di procedura civile, accnratamente riscontrato snl
testo nfficiale, corredato di richiami e coordinate dal Prof.
Aw. L. Fbanchi, 2* ediz. di pag. 167 1 60
Cod Ice sanitarlo 一 vedi Legislazione sanitaria.
Cod ice del teatro (II). Vade-mecnm legale per artisti lirici
e drammatici, impresari, capicomici, direttori d'orchestra,
direzioQi teatrali, agenti teatrali, gli avvoeati e per il pub-
blico, deU'Avv. Tabanelli, di pag. xvi-828 8 —
Codici e leggi usual i d'ltalia, riscontrati sul testo ufficiale
coordinati e annotati dal Prof. Aw. L. Pbanchi, raceolti in
qaattro grossi volnmi 】egati in pelle flessibile 36 ―
Vol. I. Codioe civile - dl procedura civile - di oommercio
• penale - procedura penale - della marina mercantile - pe-
nale per I'esercito - penale militare marittimo (otto codici)
2* edizione, di pag. vni-1261 8 50
Vol. II. Parte I. Leggi usnali d'ltalia. Raccolta coordinate
di tutte le leggi special! piti importantl e di piti ricorrente
ad estesa applicazione in Italia; con annessi decreti e rego-
lamenti e disposte secondo rordine alfabetico delle mater
Dalla voce " Abbordi in mare „ alia voce " Istruz. pubblica
(Legge Casati), " di pag. viii-1864 a 2 colonne 9 ―
Vol. II. Parte II. Dalla voce : Laghi pubblici alia voce :
VoUure cata^tali con appen., pag. vni-l 869-2982 a 2 col. 12 ―
Vol. III. Leggi e convenzioni sui diritti d'autore, rac-
colta generale delle leggi italiane e straniere e 4i tnttl
i trattati e le convenzioni esistenti fra r Italia ed altri
Stati a cura della Society italiana degli antori, 2* edi-
zione interamente rifatta dal prof. L. Pranchi, di pagine
vn-617, legato in tntta pelle flessibile 6 60
Cognac (Pabbricazione deli e dello 8plrito di vino e distil-
lazione delle fecce e delle vinacce, di Dal Piaz, con
note del Cav. G. Pbato, di pag. x-168, eon 87 incisioni 2 一
Coleotterl italiani, del Dott. a. Griffini, (Entomoiogia i)
di pag. xvi-884, con 215 inc. . . , 8 —
CoHezlonl ― vedi Amatore d'oggetti d'arte ― Amatore di maioli-
che ― Armi antiche ― Anto^rafi ― Dizionario fliatelico.
Coiombf domestic! e coiombicottura, del Prof. P. Bonizzi,
2* edizione rifatta a cura della SociGti Colombifila floren-
• tina di pag. x-211, con 26 flprnre 2 ―
Cotorazione del metaill ― vedi Metallocromia.
Colorl (La scienza dei) e la pittura di L. Guaita, p. 248 . 2 一
Color! e vernici, di O. Gorini, 8» ediz. totalmente rifatta,
per c 'M di G. Appiani. di pag. X-282, eon IB incisioni 2 ―
Combu»tlbm 一 xedi Tmitazioni.
20
ELENCO DEI MA^iUAU HOEPLl
L. c.
Commedia ― vedi Letteratara draromatica.
Comverciante (Manuale del) ad uso della gente di com-
mercio e degli Istitati d'lstrnzione commercials, corredato
di oltre 200 moduli, qnadri, esempi, tavole dimostrative
e prontuari di C. Dompe, di pag. vi-629 5 50
CommerciO, (Storia del) di B. Larice, di pag. xvi-886 . 8 ―
Cofflmerolo 一 vidi Codice ― Corrispondenza oommeroiale 一 Com-
putieteria ― Geografia commerciale 一 Industria rocchero 一
Mandftto ― Merciologia ― Produzione e commercio del vino 一
Ragioneria ― Scritture d'affari ― Trasporti e Tariffe ― Donti
fatti 一 Monete.
Compensazione degli errorl con speciale applicazione ai
rillevi geodetic!, di p. crotti, pag. iv-S60 2 ―
Complement} di geometria elementare, del Prof, di c.
Alasia, di pag. xv-244, con 117 figure . . . . . , 1 50
Complemento dl matematica 一 {vedi Matematioa).
Compotftore-tipoorafo Manuale deU'allievo), di S. Landi 一 vtdi
Tipogrftfia, vol. II.
COBiputlsteria, del Prof. V. GiTTi :
Vol. I. Compnstiteria commerciale, 5» ediz., (9 e 10®
migliaio) di pag. iv-184 1 50
Vol. II. Compntist. finanziaria, 8* ediz., pag. vm-166 . . 1 50
Cenputisteria agraria, del Prof. L. Petri, seoonda edizio-
ne rifatta, di pag. vm-210 150
Comuni del Regno d， Italia ― vedi Dizionario.
Concia delle pelli ed arti affini, di G. Gorini, 8» edizione
interamente rifatta dal Dott. G. B. Fbanceschi e G. Ven-
TUROLI, di pag. ix-210 2 —
Concllfatore (Manuale del), dell'Avv. G. Pattaccini. Guida
fteorioo-pratica con formulario completo pel Gonciliatore,
Cancelliere, Usciere e Patrocinatore di cause. 4» edizione
ampliata daU'autore e messa in armonia con rnltima legge
28 Inglio 1895, di pag. xn-461 8 ―
Concimi, del Prof. A. Funaro, 2* edizione rinnovata e ac-
crescinta, di pag. xn-266 2 ―
Conoimi fosfatici ― vedi Fosfati ― Chimica agraria.
CoafBzlone d'abiti ― vedi Ablti.
Coiilgliooltura pratica, di G. Ligciardelli, 2* ediz., di
pag. vni-248, con 53 incision! e 12 tavole in tricromia . 2 50
Conservazione delle sostanze alimentari, di G. Gorini,
8* edizione intieramente rifatta dai Dott. G. B. Fbance-
schi e G. Venturoli, di pag. vm-256 2 —
Conatgli pratioi 一 vedi Ricettario domestico ― Indnstriale 一 8oc-
oorsi d'nrgenza.
Contabilltk COmunaie, secondo le nuove disposizionl legi-
slative e regolamentari (Testo unico 10 febbraio 1889 e R.
Deer. 6 Inglio 1890), del Prof. A. De Brun, pag. Vin-186 . 1 50
Contabilitk domestlca, Nozioni amministrati vo-contabil i ad
aso delle famiglie e delle scuole femminili, del Rag. 0.
Bergamaschi, di pag. XVl-186 1 60
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI 21
L. c.
i' Contabilita generate dello Stato, deii'Avv. E. Bruni, 2* •
r edizione rifatta, pag. xvi-420 S 一
ContabliiiA delie ittituzioni 6\ p. beneficenza ― vedi Benefioenza.
Conti e CalCOli fatti, dell'Ing. I. Ghersi, 93 tabelle e iatru-
ziooi piatiche sal modo di nsarle. (Misure, Pesi, Monete,
Tennometro, Gas e Vapori, Areometri, Alcoolometri, Solu-
zioni zaccherine, Pesi specifici, Legnami, Carboni, Metalli,
Divisioni del tempo, Paga giornaliera, Interessl e Annualit^,
Rendita, Potenze e Radid, PoUgoni e Poliedri regolari, Sfe-
rs, Circolo, Divisione della circonf., Pendenza, pag. 204. . 2 fiO
Contratti agrari ― vedi Mezzeria.
CoDversazione italiana e tedesca (Manuaie di), ossia guida
eompleta per chiunque voglia esprimerai con propriety e
speditezza in ambe le lingne, e per servire di vade mecum
ai Tiaggiatori, di A. PiORi, 8» edizione rifatta da G. Catta-
NEO， pag. XIV-400 8 60
Conversazione itatlana-francese 一 v. Fraseoiogia
Cooperative rural!, di oredito, di lavoro, di produzione, di
assicnrazione. di mntno soocorso, di consumo, di acqnlsto
di materie prime, di vendita di prodotti agrari. Scopo, costi-
tnzione, norme ginridiche, tecniche, amministrative, compn-
tistiche, di V. NICCOLI, pag. vni-362 8 &0
Cooperazione nella sociologia e nella legislazione, di f.
ViRGiLn, pag. xn-228 1 60
Correnti elettriche alternate semplici, bifasi e trifasi. Ma-
nuaie pratlco per lo studio, costrazione ed esercizio de-
gli Impianti elettrici, dell'Ing. A. Marro, di pag. xrv-
615-LXiv, con 218 incisioni e 46 tabelle 6 60
Corrispondenza oommerciale poliglotta, di g. Prisoni,
campilata sa di an piano speeiale neile lingne ital., francese,
tedesca, inglese e spagnnola, di cui ciascnna forma in ah
stessa I'originale e le altre ne sono la traduz. o la chiave :
L ― PARTE ITALIANA : lanuaie dl Corritpondenza Commerclale
Italiana corredato di facsimili dei vari docmnenti di pratioa
^ornaliers, segaito da nn Glossario delle principali voci ed
espressioni attinenti al Commercio, agli Affari marittimi, alle
Operazioni bancaiie ed alia Borsa, ad nso delle Scnole, dei
Banchieri, Negozianti ed Indastriali di qnalnnqae nazione, cha
desiderano abilitarsi alia moderna terminologia e nella corretta
fraseolagia mercantile Italiana, di pag. xx-444 4 一
II. ― PARTE SPAGNUOLA: Manual de Correspondencia Comercial
Espanola, accompadado de facsimiles de los varies documentos
de aso cotidiano, segoido de an Diccionario Espatiol-Italiano
qae contiene las principales voces empleados en los Negocios
mercantile^ y maritimos y los terminos mas importantes del
Banco, de la Contabilidad y de la Bolsa, corapuesto para uso
de las Escaelas, de los Banqueros, Negociante e indnstriales de ！
cnaiqiiiera naci6n que desean habilltarse en la moderna term" J
Dologiay en la corrlente fraseoiogia mercantil espanola.p. xx-440. 4 一 i
i
ELKNCO DEI HANUAU HOEPU
lESCA (in UToro).
I nn DIxioBuio delle
mlMl Mle -
ton. Saf termlMl I'lie ― C*tbI1o ― Proverbi.
Tno agttardo alFTTniverso, di B. M. La Let a.
eon 11 Incision i e B tavole , . . '
Btltl ― ndt Dirltti e doyerl ― Ordrnn
ivale (HMiule del], di G. Rossi, pa|
)g. inUnialaee nel teslo e 6S tabelle .
eonetrlca,
" NI, p.
a, flslca e ohimloa, appiicata si
p. XVI-367, 284 inc. nel teste . 8
imbOi di V. Bellio, pa£. rv-lB6 e 10 incia. . 1
tl Fu^W ― MMattie crlttogualcbe ― Tutofl.
B) dtplonmttco, militare e commerclKle, os9ia
■e e decifrue le coiriBpondenie segrete. Bog-
ie Scoperte e delle esplorazioni geogral-
I I4^a tatto II secoto XX del Prof. L.
ptg. vm-18T . 4
egunl {PronCurio par la), di Q. Belluo-
eorretti ed teerascdnto, pag. ZSO ！
Ida della p«lll ― Imllukml.
lllimenti (Manoale leorleo-tiniloo del. Com-
Iziale nel coneordato pTBTentivo e piwdurs
llimenti dell'ATv. Molina (In lavoro).
HmMorfl dl ogg«ttl d'ktte ― Maioliche e parcel -
.ntirhe ― Aattwrafl.
隨 iipt 一一
liiil
議 f sl!,l
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
28
L.C.
Curve Circolari e raccordl. Manaale pratico per il tracoisi-
mento delle curve in qnalnnqne sistema e in qualsiasi caso
partieolare nelle ferrovie, s trade e canali e per il eompnto
generali dei raccordi circolari con speoiali applicazioni al
tracciamento dei raddoppi del Binario delle derivazioni e
degii scambi ferroviari (In sostitazione del mannale del
Kronhke), di C. Febrabio, pag. xi-264, con 94 incis. • . 8 60
Dantologia, del Dott. G. a. Scartazzini, 2» edizione. Vita
e Opere di Dante Alighieri, pag. vi-408 8 —
Danze ― vedi Ballo.
Oatteri 一 vedi Prodotti agricoli.
Debito (II) pubbliCO italiano. £egole e modi per le operazioni
sni titoli che lo rappresentano, di P. AzzoNi, pag. vin-876 8 一
Oeoorazione dei metalii ― vedi Metallocromia.
Deoorazioni del vetro ― vedi Specchi ― Fotosmaltolo^a.
Decorazioni e Industrie artistiche, deii'Architetto A. Me-
LANI, 2 volumi, pag xx-460, con 118 incisioni 6 —
OentI 一 vecU Igiene dell a bocca.
Determinanti e applicazioni, di E. Pascal, pag. vBt-880 • 8 ―
DIagnostIca ― vtdi tsemeiotica.
Dialetti iialicL Grammatica, iscrizione, versione e lessico,
di 0. Nazari, pagine xvi-364 8 —
Dialetti letterari greci (epico, neo-ionico, dorico, eolico),
del Pof. G. BONINO, pag. xxxn-214 1 60
DIdattica per gU alnnni delle Scnole normali e pei maestri
elementari, del Pof. G. Soli, pag. vni-814 1 60
DigestO (Il)， del Prof. G. PEREINI, pag. iv-134 1 60
Dilettanti di pittura 一 vedi Pittnra ad olio.
Dinamica elementare, di g. Cattaneo, p. vni-i46, 25 fig. i 60
Dinamite ― vedi Esplodenti.
Oiritti e doveri dei cittadini, secondo le istituzioni deiio
Stato, per uso delle pubbliche Scuole, del Prof. D. Maf-
FIOLI, 10* edizione, (dal 26 al 30« migliaio) con una appen-
dice snl Codice penale, pag. xvi-229 1 60
OirlttI d'Autore 一 vedi Leggi sui.
Diritto amministrativo, giusta i programmi governativi
ad uso d. Istltnti teenici, di G. LORis, 5» ed. pag. XX-474 8 ―
Diritto civile (Compendio di), del Prof. G. LORIS, giusta i
programmi governativi ad uso degli Istituti teenici, 2» ediz.
riveduta, corretta ed ampliata, pag. xvi-885. . . ... 8 一
Diritto civile italiano, di c. albicini, p. vin-i28 ... i 60
Diritto commerciale italiano, del Prof. E. Vidari, 2» edi-
zione diligentemente rivednta, pag. x-448 8 一
Diritto c«raunaie e provinciale ― vedi Contabilit^ comaiiale ― Di-
ritto amBiinistrativo ― Legge comunale.
Diritto COStituzionale, deli Aw. Prof. F. p. CONTUZZI, 2»
edizione, pag. xvi-370 8 —
Diritto ecclesiastICO, vigente in Italia. 2* ediz. riveduta
ed ainpliata di G. Olmo, pag. XVT-48B 8 —
V
24 ELENCO DKl MANUALl UOEPLi f>
L. C.
Diritto internazionale privato, deii'Aw. Prof. F. P. con-
TUZZI, pagine xvl-322 8 — ！
Diritto internazionale pubblico, deirAw. Prof. p. p. con-
Tuzzi, pagine xu-320 • 8 ―
DirittC penale, deirAw. A. Stoppato, 2» ediz., (in lavoro)
Diritto penale romano, di c. Ferrini, pag. vni-860. • . 8 ―
Diritto romano, di C. Ferrini, 2» ediz. rif., pag. xvi-178 . l 50
Disegnatore meccanioo e nozioni tecnlche general! di Arit-
metica, Geometria, Algebra, Prospetiiva, Besistenza del
materiali, Apparecchi idraulici, Macchine semplici ed a va-
pore, Prepulsori, ece. per V. GOFFi, 8* ed. riv., corretta e
grandemente ampliata, pag. xiv-552, con 477 figure. . . 6 50
Disegno. I principii del Disegno, del Prof. C. BOITO, 4* edi-
zione, pag. iv-206, con 61 silografle 2 —
Disegno (Grammatica del). Metodo pratico per iinparare il
disegno, di E. RONCHETTI, di pag. vi-190, con 34 figure,
62 schizzi intercalati nel testo e nn atlante a parte con
45 lavagnette, 27 foglietti e 84 tavole. (Indivisibili) • • 7 50
Disegno assonometrico, del Prof. P. paoloni, pag. iv-i22;
con 21 tavole e 23 figure nel testo 2 —
Disegno geometrico, del Prof. a. antilli, 2» ed., pag. vm-
88, con 6 figure nel testo e 27 tavole litografiche . . . . 2 ―
Disegno, Teoria e Costruzione delle Navi， ad 腿 del Pro-
gettisti e Costruttori di Navi - Capi tecnici, Assistenti e Di- '
segnatori navali - Capi operai carpentieri - Alunni d'lstitnti
Nautici, di E. GiORLl, pag. vm-238, eon 310 incisioni . . 2 &0
Disegno industriale, di B. Giorli. Corso regolare di dise-
gno geometrico e delle proiezioni. Degli sviluppi delle su-
perfici dei solid!. Delia costr'izione del principali organi
delle macehine. Macchine utensili. 3* ediz., pag. vm-192, 奢
eon 300 problemi risolti e 848 flKure 2 50
Disegno di proiezioni ortogonali, del Prof. D. Landi, di
pagine viii-152, con 192 incisioni 2 一
Disegno topografiCO, del Capitano G. Bertelli, 2» ediz.,
pagine. vi-137, con 12 tavole e 10 incisioni 2 一
Oisinfezione (La pratica della) pubblica e privata per i Dot-
tori P. B. Alessandri e L. Pizz 皿, 2» edizione, pag. vni-
258, con 29 incisioni 2 60
Oistillazione del I eg no (Lavorazione dei prodotti della). Ace-
tone, Alcool metilico, Aldeide formica, Cloroformio, Acido
acGtico, Acetato di piombo, Acetato di sodio . Industrie
ehUrochimiche. Ossidi di piombo, Minio, Biacca, Sbda
caustica, Clorati, Cromati, dell' Ing. P. Villani, di pagine
XIV-812 B 50
Oistillazione delle Vinacce, e delle frutta fermentate.
Fabbricazione razionale del Cognac. Estrazione del
Cremore di Tartaro ed utilizzazione di tutti i resi-
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI 2 &
―
dui della distillazione, di M. Da Ponte, 2* edizione ri-
fatta, contenenti le leggi Italiane sngli apiriti e la legge
Austro-Ungarica, pag. xn-875, con 68 incision! . . . . 8 &0
Ditteri italiani, di Paolo Lioy {Entomologia III), pag.
vn-866, con 227 incisioni 8 —
DizionariO alpino italiano. Parte 1»: Vette e vaUchi ita-
liani, dell'Ing. B. BiGNAMi-SORMANi. ― Parte 2»: ValU
lombarde e Umitrofe alia Lombardia^ dell'Ing. C. Sco-
LABI, pag. XXn-310 8 50
DizionariO di abbreviature latine ed italiane usate nelle
carte e codici 8pectalmente del Medio Evo, riprodotte
eoa oltre 18000 segni incisi, aggiantovi un prontaario di
Sigle Epigrafiche. I monogrammi, la nnmerizzazione ro-
mana ed krablca e i segni indicant! monete, pesi, misu-
re, Goc, per cara di Adeiano Cappelli, Archivista-Pa-
leografo presso il R. Archivio di Stato In Milano, pagine
LZU-483, con elegante legatura in cromo 7 60
DizionariO bibliografico, di c. arlia, pag. lOO . . . . i 60
DizionariO Biografico Universale, del Professor Dottor
G. Garollo. (In lavoro).
DizionariO del comuni del Regno d'ltalia, secondo ii Cen-
simento del 10 febbraio 1901, compilato da B. Santi, di
pag. XLVl-175 8 —
DizionariO Eritreo (Piccolo) Italiano-Arabo-Amarico, rac-
eolta dei vocaboli piii asnall nelle principali lingue parlate
nella Colonia Eritrea, di A. Allori, pag. xxxili-203 . . 2 60
DizionariO filateliCO, per il raccoglitore di francobolli con
introduzione storica e bibliografiea, di J. Gelli, 2» ediz.,
con Appendice 1898-99, pag. LXiii-464 4 50
DizionariO fotograflCO pei dilettanti e professionisti, con ol-
tre 1500 voci in 4 lingue, 500 sinonimi e 600 formal e di
L. GiOPPi, pag. vni-600, 95 incisioni e 10 tavole . . . . 7 60
DizionariO geografico universale, del Prof. Dott. G. Ga-
ROLLO. 4* edizione del tatto rifatta e molto ampliata, di
pagine xil-1451 . . . 10 —
DizionariO gotico ― vedi Lingua gotica.
DizionariO italiano olandese e olandese-italiano, di A.
NUYENS, in-16, di pag. xi-948 8 —
DizionariO milanese-italiano e repertorlo italiano-mila-
nese, di Cletto Arrighi, pag. 912, a 2 colonne, 2» ediz. 8 60
DizionariO Numismatico ― vedi Vocabolarietto nnmismatico.
DizionariO rumeno ― vedi Grammatica ramena.
DizionariO Stenografico. Sigle e abbreviature del sistema
Gabelsherger-Noe, di A. Schiavenato, pag. XVI- 156 . . 1 60
26
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
L.C.
Dizionario tascabile (Nuovo) italiano-tedesco e tedesco-
itallano, compllato sni migliori vocabolari moderni e prov-
TiBto d'nn'accnrata accentaazione per la pronuncia dell'ita-
liano, di A. FiORi, 8* edizione, pag. 798* completamente ri-
fstta dal Prof. Q. Cattaneo 8 50
Dizionario tecnico in quattro lingue dell'Ing. B. Webber,
4 volami:
Vol. I. Italiano-Tedesco-Prancese-Inglese, 2» ediz. com-
pletamente riveduta e anmentata di circa 2000 ter-
mini tecnici, pag. xii-558 6 ―
Vol. II. Deatsch-Italienisch-Franzosisch-Englisch, (esan-
rito, h in lavoro la 2* edizione).
Vol. III. Fran^ais-Italien-Allemand-Anglais, pag. 509 . • 4 一
Vol. rv. Englisch-Italian-German-French, pag. 659. . . 6 ―
Dizionario tecnico-navale e commerelale marittimo inglese-italiano.
一 Vedi Avarie e sinistri marittimi.
Dizionario (Piccolo) del termini delie corse, di o. vol-
PINI, di pagine 47. (Esanrito).
Dizionario turoo ― vedi Grammatica turca.
Dizionario universale delle lingue italiana, tedesca in-
glese e francese. dlsposte in nnico alfabeto, 1 volume di
pag. 1200 a 2 colonne 8 —
Dizionario Volapttk 一 vedi Volaptik.
Oogane ― vedi Codice doganale 一 Trasporti e tariff e.
Doratura ― vedi Galvanizzaz ― Galvanostegia ― Metallocromia
Dottrina popolare, in 4 lingue, ( Italiana, Francese, Inglese
e Tedesca). Motti popolari, frasi commerciali e proverbi,
raccolti da G. Sessa, 2* edizione, pag. iv-112 2 —
Doveri del macchinista navale, e condotta della macchina
a vapore marina ad uso del macchinista navali e degli Isti-
tuti nautici, di H. LiGNAROLO, pag. xvi-308 2 60
Oramml 一 tedi Letteratnra drammatica. •
Duellailte (Manuale del) in appendice al Codice cavalleresco,
di J. Gelli, 2» edizione, pag. vm-256, con 26 tavole. . . 2 50
Ebanltta ― vedi Falegname ― Modellatore mecc. ― Operaio.
Eduoazione del bambini ― vedi Ortofrenia ― Sordomnti.
ECOnomia matematica (Introduzione alia), dei Prof. F. VlR-
GULU e C. Garibaldi, pag. xn-210, con 19 incisioni . . i 60
EconODlia polftica, del Prof. W. S. Jevons, tradnzione del
Prof. L. COSSA, 4» ediz. riveduta, pag. xvi-179 1 50
EdlllzJa 一 vedi Fabbric. civili ― Inge^eria civ. ― Ingegn. leg.
Elettrjcitil, del Prof. Pleeming Jenkin, tradnz. del Prof.
R. Ferrini, 8» ediz. rived., pag. xn-287, con 40 incisioni . 1 50
Elettrochimica (Prime nozioni elementari di), del Professor
A. CossA, pag:ine Viii-104, con 10 incisioni 1 50
ELENCO DKl MANUALl HOKPLl
27
L. c.
Elettrotecnica (Manuale di', di Grawinkel-Strecker, trar
dnzione italiana dell'Ing. Flavio Dessy, pagine xvi-816,
oon 846 figure 9 60
Elettroehlmiohe (Industrie) 一 vedi Distillazione del 】egno.
Ematolooia ― vedi Malattie del sangae.
Enbriologia e morfologia generate, del Prof. g. Catta-
NEO, pag. z-242, con 71 incisioni 1 60
Enoiolopedia del piurista ― vedi Codici e leggi nsnali d' Italia.
Enoiclopedia Hoepli (Piccola), in 2 grossi vol. di 8875 pag. di
2 col. per ogni pag., con Appendice (146740 voci) . . . . 20 —
Eneraia fisica, del Prof. S. Ferrini, pag. vm-187, con 47
incisioni. 2* edizione interamente rifatta 1 60
Enimmisflca. Gnida per comporre e per spiegare Enimmi,
Sciarade, Anagrammi, Logogrifi, Rebus, ecc, di D. TOLO-
SANI (Bajardo), pag. xii-516, con 29 illustr. e molti esempi 6 60
Enologia, precettl ad nso degli enologi italiani, del Professor
0. Ottavi, 4» edizione interamente rifatta da A. Strtjo
CHI, con una Appendice sal metodo della Botte nnitariapei
calcoli relativi alle botti circolari, dell'Ing. agr. R. Bassi,
pag. xvi-304, aon 38 incisioni 2 50
Enologia domestica, di R. Seenagiotto, pag. vin-288 • 2 一
Entomologia di A. Griffini b P. Lioy, 4 volnmi {vsdi Coleottori
一 Ditteri ― Lepidotteri ― Imenotteri).
Epigrafia latina. Trattato elementare con esercizi pratici e
facsimili, con 65 tav. del Prof. S. Kicci, pag. xxxn-448 . 6 50
一 vtdi Disionario di sbbreTiature latine.
Epilessia. Bziologia, Patogenesi, Cura, Dr. P. Pmi, p. x-277 2 60
Eritrea (L，> dalle sue origini a tntto ranno 1901. Appnnti
cronistorici con annessi 1 carta ed 1 schizzo, un' appen-
dice di note geografiche e statistiche e di cenni sal Be-
nadir e sni viaggi d'esploraz. di B. Melu, di pag. xiI-164 2 —
Eritrea 一 vedi Arabo parlato ― Dizionario eritreo, ― Ghramma-
tioa galla ― Lingae d' Africa ― Prodotti agricoli del Tropico
― Tigr^ italiano.
Error! e pregiudizi VOlgarl, confatati coUa scorta della
scienza e del raziocinio da G. Stbafforello, 2* edizione
accrescinta, pag. xn-196 1 60
Etame degll Infermi ― vedi Bemeiotica.
Esattore COmunale (Manuale deir), ad uso anche dei Rice-
vltori provinciali, Messi esattoriali, Prefetti, Intendenti di
flnanza, Agenti imposte, Sindaci e Segretari dei Comnni,
Awocati, Ingegneri, Ragionieri, Notai e Contribuenti, del
Bag. R. Mainardi, 2» ediz. rived, e ampl.， pag. xvi-480 ， 6 60
Esercizi geograflci e quesiti, sull'Atlante geografioo
universale di R. Kiepert, di L. Hugues, 3» ediz. rifatta
di pagine vni-208 1 60
Esercizi sulfa geometria elementare, del Prof. s. Pin-
CHERLE, pag. viii-1 30, con 50 incisioni 1 60
te\, per la 4» clasge giauaaiale In
mi eiemtn. dx Ungaa greca, del Pro
L. V. BiacoNTi, 2» ediE, rlffttta, dl p.
INAHA.
I, pa«. xn-8
igral 纖 一 hA Bteuogr&fii.
L. V. BiacoNTi, 2" ediE, rifatta, dl p. XXVI-381 .
tlni ODD regole (Morfologla generale), i" ' ~ "
ETI, pa«. XU-SBZ.
tradi
*rot O. Prat, pag. vi-188
doM M， vocBbolario a complenif
ui tednot, di a. adlbe, a* ad., p. vm-
cadMe dl _ -
dl fabbrlcarli, a fi. Uolina, p. xx-soo s
a ― tiA' Ingegnsiia legkle.
idt Profnniere ― LlqugrliU ― BlwtUiio li
Inkm a oonplemeito delta nrammatioB
"―' O. Pbat, pag. VI-188 .
vocBbolario a (
i Q. Adlbe, a* ad., p. vm-!8l. 1
Trigononetria piana, cob
9tl dal Prof. C. Alasu, f*g.
irii, Si fi.
temnl. Qaramii del miaa ipoleeui e dells
rtixlone del Mneiii, delllng. P. Filotini, fag.
:on 3 InelsionI |
ale, del Prof. CiBEOA DI HnBICCB, psg. Vl-IM. !
nenti di) del Prof. 0. VlDABI, dl pag- XVI-SS4 + S
di B. Malfatti, 2* eih. Inter, rifnsa, p. vi-300. 1
em en data del P. Q. Saccheri, tradnilone e
BOCCABDrai di pag, xXIV-12e coil 66 inc. . 1
Carlo Fbnizia, con bia-
'■989 - . S
[, Z' edls.
appro gatl dalle
lonistica, pag.
d economia dei), 2' ediaione
. ― .._ -bbricati rnrali ,, di V. Nic-
'ag. XVI-335, con 125 flgnre 8
ArllmeHcs dell'Dpemio ― Jioudltore ― Meccnuioo ―
Tornitere.
rata (Mannala pralica del), di G. BELLnoUQd,
essoria ed indiapenssbile al fabbrl fneinatorl, agli
iri meccanici. umajnoll, conozzleri, cairadoii,
EollelUnal, ftimlsU, costratlorl il strnmenti me.
emtnn, di arnesi mall, di ferrunentl In ge-
tattl qnBlll ebe W dilettano nei lavori in ferro
laid, dl fag. Tni-242, 纖 234 iDOisioni . . . i
ed ebailsfa. Katm del legnaml, maDlera dl
i, propuarli, eoloiMi e verniclorll, loro onbatnra,
r.DOMrar, S* ed. di pag. xii-m. coa 104 Inelsioni S
ELKNCO DEI MANUALI HOKPLI
29
L. c
Falllmenti (Vedi Curatore di).
Fanoiuiii 一 (idioti, imbecilli, tardivi, ecc.) v. Ortofremia.
Farfalle ― vedi Lepidotteri.
Farmacista (Mannale del), del Prof. P. E. Alessandri, 2*
edizione interamente rifatta e anmentata, corredata di tatti
i naovi medicamenti in uso nella terapeutica, loro prophet^,,
caratteri, alterazioni, falsificazioni, usi, dosi, ecc.， pag. xvi-
781, con 142 tavole e 82 incisioni 6 50
Farmacoterapia e formulario, del Dott. p. piccinini, di
pag. vni-882 . . , 8 50
Ferrovie ― vedi Codice doganale ― Curve ― Ingegneria legale
Macchin. e Faochista ― Trasporti e tariffe.
Fllatelli ― vedi Dizionario filatelico.
Filatura. Mannale di filatura, tessitura e lavorazione mecca-
nioa delle fibre tessili, di E. Gbothe, tradazione suH'ultima
tedesca, pag. viii-414, con 105 incisioni &一
Filologia olassica, greca e latina, del Prof. v. Inama,
di pag. xll-195 1 60
Fllonauta. Quadro generale di navlgazione da diporto e con-
sign ai principianti, con nn Vocabolorio tecnico piil in aso
nel panfiliamento, del Cap. G. Olivabi^ pag. xvi-286 . . 2 fiO
Filosofia morale, del Prof. L. Friso, 2' edizione riveduta
ed anmentata, dl pag. xvi-850 S ―
Fillossera e le princlpali malattie crittogamiche della vlte
con specials riguardo ai mezzi di difesa, del Dott. V. Pe-
^LION, pag. vm-802, con 89 incisioni S ―
、 Fllugello 一 vedi Bachi da seta.
Fiorl artificiali, Mannale del fiorista, di 0. Ballerini,
pag. XYl-278, con 144 incisioni, e 1 tav. a 36 colon . . . 3 50
― vtdi anche Pomologia artificiale.
Fisica, del Prof. 0. MURANI, con 243 incisioni e 3 tavole, 6*
edizione, completamente rifatta del Mannale di Fisica di
Balfoub Stewart pag. xvi-4li 2 —
Fisica cristallografica, W. Voigt, trad. a. Sella. (In lav.).
Fisiologia, di Foster, tradnzione del Prof. G. Albini, 8*
edizione, pag. xn-168, con 18 incisioni 1 50
FItiologIa comparata ― vedi Anatomia.
Fi8iologia vegetale, del Dott. Luigi Montemartini, pag.
XVl-280, con 68 incision! 1 60
FloriCOltura (Manuale di), di C. M. Fratelli RODA, 3» ed. ri-
veduta ed ampliata da G. Eoda, pag. vin-262, con 98 inc. 2 50
Florileglo poetico greco, del Prof. v. Inama. (in lavoro).
Flotte moderne (Le) 1896-1900, di E. Bucci di santafiora.
Complemento del Mannale del Marino, del C. De Amezaga,
pagnne iV-204 6 ―
80
ELENCO DKI MANUALI HOEPLl
50
50
. L.C
Fognafura cittadina, deii'ing. D. spataro, pag. x-684, con
220 figure e 1 tavola in litografia 7 ―
Fognatura domestlca, deiring. a. Cerutti, pag. vm-42i,
con 200 incisioni . . 4 —
Fonditore In tuiti 舊 metalli (Manuaie del), di g. Belluo-
MINI, 2* edizione, pag. viii-150, con 41 incisioni . ... 2
Fonologia itallana, di L. Stoppato, pag. vin-i02. . . . i
Fonologia latina, del Prof. 8. consoli, pag. 208 .... i
Forestd ― vcdi Ingegneria legale 一 Selvicoltura.
Formagaio ― t«d* Caseiflcio ― Latte, burro e cacio.
Formole e tavole per il calcolo deile risvolte ad arco
Ciroolare, adattate alia divisione centesimal e ad uso de-
gli ingegneri, di P. Borletti, di p. xii-69, legato . . . 2 50
Formulario scolastico di maiematica elementare (aritme-
tica, algebra, geometria, trigonometria), di M. A. Rossotti,
di pag. xvi-192 1 50
Fosfiiti, iierfosfati e concimi fosfatici. Pabbricazione ed
analisi del Prof. A. MiNOzzi, di pag. xn-301 con 48 inc. 8 50
Fotooalchi ― vedi Arti graflohe ― Chimica fotografica 一 Poto-
grafla industriale ― Process! fotomeccanici.
Fotoooilografia ― vedi Processi fotomeccanici.
Fotooromatografia (La), del Dott. L. Sassi, pag. xxi-i38,
con 19 incision! 2 —
Fotografia industriale (La), fotocalchi economici per la ri-
produzione dl disegni, piani, narte, musica, negative foto>
graflche, ecc., del Dott. LuiGi GiOPPi, pag. vin-208, con
12 incisioni e 5 tavole fuori testo 2
Fotografia ortocromatica, del Dott. c. Bonacini, pagine
XVI-277, con incisioni e 5 tavole 8
Fotografia pei dilettanti. (Come dipinge U sole), di G.
MUFFONE, 5* edizione rifatta ed ampliata, pag. XX-38S,
eon 99 incisioni e 11 tavole 3 ―
Fotogrammetria, Pototopografia praticata in Italia e appli-
zione della fotogrammetria all'idrografia, dell'Ing. P. Pa-
eANINl. pag. xvi-288, con 56 figure e 4 tavole. . . . 8 50
Fotolltoorafia ― vedi Arti graflche ― Processi fotomecc.
Fotosmaltosrafia (La), applicata alia decorazione indu-
striale delle oeramiche e del vetri, di A. Montagna, pag.
vm-200, con 16 incisioni nel testo 2 —
Fototerapia e radioterapla ― vedi Luce e salute.
Fototipogrftfla 一 vedi Arti graficbe ― Processi fotomecc.
Fragole v§di Fratta minori.
Franoia 一 vedi Storia della Francia.
Francobolii ― vedi Dizionario fllatelico.
Fraseologia francese-italiana, di E. Baroschi Soresini,
pag. VIll-262 2
Fraseologia ilaliana-tedesca ― vedi Conversazione ― Dottrina po-
poiare.
Frenastenia — vedi Ortofrenia.
50
50
50
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
81
L. c.
Frumento (II), (come si coltiva o si dovrebbe coltivare in
Italia) di B. Azimonti, 2* edizione completamente rifatta
del Manaale " Frumento e mais „ di G. Cantoni, di pa-
gine XVI-276 2 60
Frutta mi nor I. Fragole, poponi, ribes, uva spina e lamponi,
del Prof. A. PUCCI, pag. vm-198, con 96 incisioni . . 2 50
FrutU fermoBtate 一 vedi Distillazione
FruttiCOltura, del Prof. Dott. D. Tamaro, 8» edizione, di
pag. XVin-219, oon 81 incisioni 2 —
Frutti 疆 rtlflclall ― t«di Pomologia artificiale.
Fulmini e parafUlmini, del Dott. Prof. Canestrini, pag.
vni-166, oon 6 incisioni 2 —
Funghi mangerecci e funghi veienosi, del Dott. p. ca-
VABA, di pag. xvi-192, con 43 tavole e 11 incisioni . . 4 60
Funzioni analitiche (Teoria delle), di G. Vivanti, paglne «,
vm-482 (volume doppio) 8 ―
Funzioni ellittiche, del Prof. E. Pascal, pag. 240 . i 60
Fuoohlsta 一 ved4 Macchinista e faochista.
Fuoohi artifiolall ― vedi ― Esplodenti ― Pirotecnia
Gallinacel 一 vtdi Animali da cortile ― Colombi ― PoUicoltnra.
Galvanizzazione, putitura e verniciatura dei metalli e
galvanoplastica in generate. Manuals pratico per I'in-
dastriale e I'operaio riguardante la nichelatara, ramatura,
ottonatnra, doratnra, argentatnra, stagnatura, zincatura,
acciaiatura, anttmoniatnra, cobaltatura, ossidatura, galVHr
Qoplastica in rame, argento, oro, ecc, in tutte le varie
applicaz. pratiche, di F. Werth, di p. xvi-824, con 158 inc. 8 50
Galvanoplastica ed altre applicazione deU'elettrolisl. Qal-
vanostegia, Elettrometallnrgia, Affinatura dei metalli, Pre-
parazione deirallnminio, Sbianchimento della carta e delle
stoflfe, Risanamento delle acque, Concia elettrica delle
pelli, ecc, del Prof. R. Perrini, 8* edizione, completa-
mente rifatta, pag. xn-417,^con 45 incisioni 4 ―
Galvanostegia, deir Ing. I. Ghebsi. Nichelatura, argenta-
tura, doratnra, ramatara, metallizzazione, ecc. pag. xii-
824, con 4 incisioni 8 60
Gastronomia (Terminologia gastronomica italiana e fran-
cese) di B. Borgorello, con 800 Menus. (In lavoro).
Gaz itiuminante (Industria del), di V. Calzavara, pag.
xxxn-672, con 875 incisioni e 216 tabelle 7 50
― vedi IncandescenEa a gaz.
Gelslcoltura, del Prof. D. Tamaro, pag. xvi-175 e 22 inc. 2 —
Geografia, di G. grove, tradnzione del Prof. G. Galletti,
2» edizione riveduta, pag. xil-160, con 26 incisioni . . 1 60
82 ELENCO DEI MANLALl HOICPLI
： ―
Geografia ClaSSica, di H. F. Tozeb, traduzione e note del
Prof. I. Gentile, 5* edizione, pag. iv-168 l 60
Geografia commerciale economlca. Europa, Asia, Ocea-
nia^ Africa^ America, di P. Lanzoni, 2* edizione, di
pag. vn-870 8 —
Geografia llsica, di a. Geikie, traduzione di A. Stoppani,
8» edizione, pag. iv-182, con 20 incisioni 1 60
Geologiay dl a. Geikie, traduzione di A. Stc ppani, qnarta
edizione, Hveduta snll'iiltima edizionn inglese da G. Meb-
CALLif pag. xa-176, con 47 incisioni 1 50
Geometria analHica dello spazio, del Prof. 'P. aschieri,
pag. vi-196, con 11 incisioni 1 60
Geometria analitica del piano, del Prof. p. aschieri, di
pag. VI-194, con 12 incisioni 1 50
Gemnetria descrittiva, del Prof, aschieri, pag. vi-222,
con 103 incisioni, 2* edizione rifatta 1 60
Qeometria elementare ― vedi Esercizi di Geometria pnra 一 Com-
piemen ti di Geometria ― Problemi di Geometria elementare.
Geometria e trigonometria del la sfera, del Prof. c. ala-
SIA, pag: vni-208, con 34 incisioni 1 60
Geometria metrica e trigonometria, del Prof. s. Pin-
CHERLE, 6» edizione, pag. iv-158, eon 47 incisioni. . . 1 50
一 v*di anchs Esercizi di Trigonometria.
Geometria pratica, deiring. Prof. G. Erede, 8» edizione
rivednta ed aumentata, pag. xii-258, con 184 ineis. . . 2 ―
Geometria projettiva del piano e della Stella, del Prof.
P. Aschieri, 2» edizione, pag. vi-228, con 86 incisioni. . 1 60
Geometria projettiva dello spazio, del Prof. f. aschieri,
2* edizione rifatta, pag. vi-264, con 16 incisioni . . . 1 60
Geometria pura elementare, del Prof. s. Pincherle, 6»
edizione, con I'aggiunta delle figure sferiche, pag. vm-
176, con 121 incisioni . . . .• 1 &0
Ghiacci 一 vedi Indastria frigorifera.
Giardino (li) infantile, di P. conti, pag. iv-218, 27 tav. 8 一
Ginnastica (Storia della), di F. Valletti, pag. vill-181 • 1 60
Ginnastica femtninile, di P. Valletti, pag. vi-112, 67 ill. 2 一
Ginnastica maschile (Manuale di), per cura di J. Gelli,
pag. vin-108, con 216 incisioni 2 —
― vedi anche Ginochi ginnastici.
Gioielleria, oreficeria, oro, argento e platino, di e. Bo-
SELLI, pag. 336, con 125 incisioni 4 ―
― vedi anche Metalli preziosi ― Pietre preziose.
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
83
L.c
Giuochi ginnastlci per la gioventu deile Scuole e del po-
polo, di P. Gabrielli, pag. xx-2】8， con 24 tavole . . 2 50
Giuoco (II) del pallone e gli altri affini. Giuoco del caicio
(Foot-Ball), del] a palla a corda (Lawn-Tennis), della palla
al mnro (Pelota), della palla a masiio e dello sfratto, di
G. Pranceschi, di pag. VIii-214, con 34 incisioni . . 2 50
GiuratO, (Manual e per il) del D.' A. Setti. 2* edizione ri-
fatta, di pag. xiV-246 2 50
urisdizione VOlontaria (Manuale della) e degli affari da
trattarsi in camera di coasiglio, del Dott. A. Formentano
(In lavoro).
6iii8tizia amministrativa. Principl fondamentali, Compe-
tenze dei Tribunali ordinari, Competenza della IV Sezione
del Consiglio di Stato e delle Giunte provincial! arami-
nistrative e relativa proeedura, di C. Vitta, p. xii-427 . 4 ―
Giottoloaia, del Prof. G. de Gregorio, pag. xxxn-818 . 8 —
Gnomomca ossia rarte di costruire orologi solari, lezioni
popolari di B. M. La Leta, pag. vm-160, con 19 figure. 2 -
Bomina elastica ― vedi Imitazioni.
Grafologia, di C. Lombboso, pag. v-245 e 470 fac-simili . 8 ―
Grammatica albanese con le poesie rare di Variboda,
del Prof. V. LiBBANDi, pag. xvi-200 8 -
Qrammatloa Araba ― vedi Arabo parlato.
Srammatioa aratdica - vedi Araldica ― Vocabolario araldico.
Srammatica ed esercizi pratici della lingua danese-
norvegiana con an snpplemento contenente le principali
espressioni tecnico-nautiche ad nso degli nfficiali di ma-
rina che frequentano i man del nord e gli stretti del
Baltico, di G. Prisoni, pag. xx-488 4 50
Grammatica ed esercizi pratici della lingua ebraica,
del Prof. I. Levi fa Isacco, pag. 192 . . ... . . . 1 60
Grammatica francese, del Prof. G. Pbat, seconda edi-
zione rived nta, pag. xil-299 1 BO
Grammatica e dizionario della lingua dei Galta (oro-
monica), del Prof. E. Viterbo:
Vol. I. Galla-Italiano, pag. vin-152 2 50
Vol. II. Italiano-Galla, pag. LXIV-106 2 50
8r 簾！ nmatio 饞 gotioa ― vedi Lingna gotica.
Grammatica greca. (Nozioni elemental! di lingua greca),
del Prof. Tnama. 2* edizione, pag. xvi-208 1 50
Grammatica della lingua greca moderna, del Prof. R.
LOVERA, pag. vi-154 1 60
Grammatica inglese, del Prof. L. Pavia, pag. xii-260 . i 50
Grammatica Italiana, del Prof. T. Concari, 2» edizione
riveduta, pag. xvi-230 • 1 50
Grammatica latina, L. Valmaggi, 2» ediz., pag. viii-256 i 50
Grammatica della lingua olandese, M. Morgana, p. viii-i 24 8 ―
S4
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
L.c.
I Grammatica ed esercizi pratici deha lingua portoghese-
brasi liana, del Prof. g. Prisoni, pag. xn-26T .... 3 —
Grammatica e vocabolario delta lingua rumena, del Prof.
Grammatica russa, del Prof. Voinovich, pag. x-272 . . 8 —
Qrammatica tanscrita ― vedi Sanscrito.
Grammatica del la lingua slovena. fisereizi e vocabolario
del Prof. Bruno Guyon, pag. xvi-814 8 —
Grammatica spagnuola, del Prof, pavia, di pag. ix-194 1 50
Grammatica della lingua svedese, del Prof. B. pAroli,
pagine xv-298 8 —
Grammatica tedesca, del Prof. Pavia, 2» ed., di p. rmi-272 1 50
8rammatica Tigri ― vedi Tigrh italiano.
Grammatica turca OSmanli, con paradigmi, crestomazia,
e glossario, di L. BONELLI, pag. vni-200 e 5 tavole . . 8 ―
Qrandfne ― tedi Assicnrazioni.
Qranturco 一 vecU Pmniento e mats 一 Indnstria dei molini.
Gravitazione. Spiegazione elementare delle priucipali per-
tnrbazioni nel sistema solare, di Sir G. B. Airy, trada-
zione di P. Porro, con 50 incisioni, pag. xxii-176 . . 1 50
Qrecia antica ― vtdi Archeologia (Arte greca) 一 Mitologia greca
― Monete greche ― Btoria antica. •
Gruppi continui di trasformazioni (Parte generale della
teoria), di E. Pascal, di pag. xi-378 S ―
Guida numismatica universale, contenente 6278 indirizzi e
cenni storico-statistici di coUezioni pnbbliche e private, di
munismatici, di society e riviste nnmismatiche, di incisioni,
di monete e medaglie e di negozianti di monete e libri di
n 誰 ismatica, di P. Qnecchi. Quarta ediz., di pag. xv-612 8 一
Quttaperca ― vedi Imitazioni.
Humus (L')， la fertility e I'lgiene dei terreni cultural!
丽 drauHca, T. Perdoni, pag. XXVin-392 con 801 flg. e 3 tav. 6 50
idrografia ― vedi Fotogrammetria
Idroterapia, di G. Gibelli, pag. lv-288, con so incis. • .2 —
― vecU anche Acqne mineral! e termali del Regno d'ltalia.
Igiene della Bocca e dei Den 化 nozioni elementari di 0-
<1ontolo^a, di L. Coulliaux, di pag. xvi-880, e 28 inc. 2 60
Igiene del lavoro, di Trambusti a. e Sanarelli, pagine
vni-262, con 70 incisioni 2 60
Igiene della pelle, di A. Bellini, pag. xvi-240， 7 ircis. . 2 一
Igiene privata e medicina popolare ad uso delle famiglie,
di C. Bock, 2» edizione italiana cnrata dal Dott. Giov.
Galli, pag. XVl-272 2 50
Igiene rurale, di a. Cabraboli, pagine x-470 .... 8 ―
Igiene scolastica, di A. Repossi, 2* ediz., pag. iv-246. • 2 —
Igiene veterinaria, del Dott. u. Barpi, pag. viii-228 . • 2 —
Igiene della vista 8otto il rispetto scoiastico, del Dott.
A. LOMONACO, pag. xri-272
R. LOVERA, pag. Viil-200
del Prof. A. Casali, pag. XVi-210
ELENCO DEI MANUAL! HOEPLI
L. c.
Igiene delta vitapubblicaeprivaia, G. Paballi, p. xn-250 2 50
Igroscopi, igrometri, umidita atmosferica, del Prof. P.
Cantoni, pag. xn-142, con 24 incisioni e 7 tabelle . . 1 50
UluRiinazione ― vedi Acetilene ― Gaz. illam. ― Inoandescenza.
Illominazione elettrica (Impianti di), Manuale pratico del-
ring. E. PiAZZOLi, 5* ediz. interamente rifatta, (9-10 mi-
gllaio) seguita da un'appendice contenente la legislazione
Italiana relativa agli impianti elettrici, di pag. 606， con
264 inoisioni, 90 tabelle e 2 tavole 6 60
Imbalsamatore ― vedi Natn^alisia preparatore ― Natnralista
viaggiatore ― Zoologia.
Imenotteri. Nearotteri, Paeudoneurotteri, Ortotteri e
Rincoti italiani, del Dott. E. Griffini (Bntomologia IV),
pag. XVl-687, con 248 incisioni 4 60
imitazione di CristO (Delia), Libri quattro di Gio. Ger-
SENio, volgarizzamento di Cesabe Guasti, con proemio
e note di G. M. Zampini, pag. LVl-396 3 60
Imitazioni e succedanei nei grandi e piccoli prodotti indu-
Striali. Pietre e materiali da costruzione, Material! re-
frattarii, Carborundum, Amianto, Pietre e metalli preziosi,
Galvanoplastica. Cuoio, Linoleum, Seta e fibre tessili
diverse, Paste da carta, Materie plastiche, Colle e gomme,
Gomma elastica e Guttaperca, Avorio, Corno, Ambra,
Madreperla, Celluloide, Viscoso, Cere e grassi, Materie
concianti, Legno, Agglomerati di carbone, di segatnra, di
snghero, Polvere piriea, CaflF^, Profumi, Vetrerie, ecc,
deiring. I. Ghersi, di pag. xvi-591, con 90 incisioni . 6 50
Immunity e resistenza aile malattie, di A. galli Va-
LEBIO, pag. Vm-218 1 60
Impiego ipodermico e la dosatura dei rimedi, Manuale
di terapeutica del Dott. G. Malacbida, pag. 805 . . . 3 —
ImpOSte dirette (Rlscoss. delle), E. Bruni, pag. viii-158 . 1 50
Inoandescenza a gaz, (Pabbneazione delle reticelle) di L.
Castellani, pag. x-140, con 83 incisioni 2 ―
Inchlostri ― vedi Ricettario industriale ― Vernici ecc.
Incisioni ― vedi Amatore d'oggetti d'arte e di cnrlositk.
iiidovinein ― vedi Enimniistica.
Industria (L，） frigorifera di P. Ulivi. Nozioni fondamentali,
macchine frigorifere, raffreddamento dell'aria, ghiaccio ar-
tificial e e naturale, dati e calcoli numerici, nozioni di fi-
sica e cenni sulla liquefazione dell'aria e dei gaz, di pa-
gine XII -168, con 36 figure e 16 tabelle 2 ―
Industrie eleitrochimiche 一 vedi Distiliazione del legno.
Industrie (Piccole). Scuole e mnsei indastriali - Industrie
agricole e rurali - Industrie manifatturiere ed artistiche,
di I. Ghersi, 2* ed. completam. rifatta del Manuale delle
Piccole Industrie del Prof. A. Ebrera, pag. xn-872 . 8 50
Infanzia ― vedi Terapia delle malattie dell' ― Giardino infantile
― Nntrizione ― Ortofrenia ― Sordomuto.
Inf ezlone ― vedi Disinfezione ― Medicatnra antisettica.
65 tav. e 176 tgiae lUmostrative .
(Uezzl tecnlcl per prevenirli) di 1
XXll-253. 000 26； incisiODi . . .
U A^ODomm ― ProQlnano deU ogric.
Je dell ingegnare civile e tadastnate,
a, SO' eaizione mooinc&ia e iDmen-
Iglialo), COD 2^1 fig., pag. xiv-428 . .
lotto Id frsDoese da F. U/
ronto&rio dl A. ClONONl,
per tecHici e giuristi (Uftnnaie dii, dai-
Commeato ed iikatrazione 。。！ i la piik r*>
bum: Beapaiuablliti - Parizift - SerrltA -
" -Legga di sr---' "-
ipMpdarione ■
ay - Boniflchd - Telefonl - Appstfi - '.
■ DerlTuioni di acqne pubbliohe - H
intiohitib, eec, pag. Tni-662
dtU d'lB§:liilerra.
dell'ltaliano aetle Scnols Beeondaria.
co-piatica con eaempi. del Prof. C. Tba-
KVI-254
Prof. P. PBAMCGSCIUNI. pag. VTU-264,
W. P. Rbancbschini, di sa,s. Xu-IGO,
iQLiAKDi, 2' edisioue
I, del Prof. E. Oaqli
la, pagine Tin-198 .
Datisma ― Bpiiitiemo ― TelepmCliL
a), di A. Babbeko, pag. 171-2*7 . . +
？ rot I. PIZZI, di pag. Tin- 194. , . , :
del Dotl. A. GbivfinIi can 244 in oil.
di mare e d'aeqaft dolM, di p. XTUI-469 ■
'cof.l
ELENCO DEI MANLALI HOEPLI
81
L. c.
Lavori in terra (Manuale di), deiriag. B. Leoni, pag. xi-
305, con 38 incisioni 8 一
Lavoro (ii) delle donne e del fanciulli. Nuova legge e re-
golamento 19 giagno 1902 ― 28 febbraio 1908. Testo
atti parlamentari e commento, per cara dell'Avv. E. No-
SEDA di pag. xv-174 • 1 50
Lawn-Tennis, di v. Baddeley, prima tradazione italiana
con note e aggiunte del trad., pag. xxx-206, con IB illustr. 2 60
Legge (La nuova) comunale e provinciale, annotata da E.
Mazzoccolo, 4* edizione, interamente rifatta eon I'ag-
gianta del regolamento e di 2 indici, pag. xii-820 . . . 7 50
Legge 8ui lavori pubblioi e regolamenti, di L. Fbanchi,
pag. iv-llO-cxLvni . • i 50
Legge lavoro donne e fanciulli 一 vedi lavoro.
Legge suH'ordinamento giudiziaho, deirAw. L. Pranchi,
pag. IV-92-CXXVI 1 60
Leggende popolari di E. Musatti. 8* ediz. di p. vm-i8i i 50
LeggT e convenzioni sul diritti d'autoro ― vedi Codici e leggi u-
snaU d' Italia, vol. III.
Leggi per gl'lnfortunii sul lavoro, deii'Avv. a. Salva-
TORE, pag. 812 8 ―
Leggi e convenzioni sulle privative industria", disegni,
modelli di fabbrica, marchi di fabbrica e di commercio, di
L. Pranchi. (In lavoro).
Leggi suUa sanita e sicurezza pubblica, di L. Franchi,
pag. IV-108-XCn 1 60
Leggi sulle tasse di Registro e Bollo, con appendiee, del
Prof. L. Pranchi, pag. iv-124-cii 1 50
Leofli usuaii dMtalia 一 vedi Codici e leggi.
Leghe metalliche ed amalgame, aiiuminio, nicheiio, me-
talU preziosi e imitazione, bronzo, ottone, monete e me-
daglie, saldatnre, deU'Ing. I. Ghersi, p. xvi-481, con 15 inc. 4 ―
Legislazione delle acque di D. Cavalleri, di pag. iv-274 2 50
Legitlazione Mortuaria ― ted* Morte.
Legislazione sanitaria italiana, (La nuova) di E. Noseda.
di pag. Vin-570 - . . • 6 ―
Legislazione rurale, secondo il programma goyernativo per
gli Istituti Tecnici, deU'Avv. E. Bruni, pag. xi-423 . . 8 ―
Legnami ― vedi Cnbatura dei legnami ― Falegname.
Leg no artificiale 一 vedi Imitazioni.
Legno (Layorazione dei prodotti di distillazione del) ― vedi Di-
still azione.
\ Lepidotteri italiani, del Dott. A. Griffini (Entomol. 11)，
pag. xni-248, con 149 incisioni 1 50
Letteratura albanese (Manuale di), del Prof. A. stratico,
pag. XXIv-280 8 ―
Letteratura americana, di G. Strafforello, pag. 158 i 60
Letteratura araba, del Prof. l. Pizzi di pag. xii-388 . 3
― vedi anche lalamisTno.
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
89
Lingue dell'Africa, dl R. Cust, versione italiana del Prof.
A. De Gubernatis, di pag. iv-110 i 60
Lingua latina vedi Dizionario di abbreviature latine — Epigrafl»
― Bsercizi ― Pilolo^a classica ― Fonologia ― Qrammaticft
― Letteratnra romana ― Metrica —— Verbi.
LinQue germaniclie ― vedi Grammatica danese-norvegiana inglese
olandese, tedesca, svedese.
Lingua Turca (htnanli ― vedi Grammatica.
Lfngue neo-latine, del Dott. e. Gobba, pag. 147. . . . 1 50
Lingue Straniere (Studio delle), di C. Mabcel, ossia I'arte
di pensare in una lingua straniera, tradnzione del Prof.
DAMIANI, di pag. xvi-186 1 60
LlnolBUffl ― vedi Imitassioni.
LIquidatore di sinistri marittimi 一 vedi Avarie e sinistri marit-
tinii.
Liquorista, di A. Rossi, con mo ricette pratiche. Mate-
riale, Materia prime, Manipolazioni, Tinture, Essenze na-
turali ed artificialii Fabbricazione dei liquori per mace-
raaione, digestione, distlllazione, con essenze, tinture, eec.，
Liquori special!, Vini aromatizzati, pag. XXxn-660, con
19 iiicisioni nel teste 6 ―
Litografia, di C. Doyen, di pag. vm-261, con 8 tavole e
40 figure di attrezzi, ecc, oecorrenti al litografo ... 4 一
LIuto ― vedi Chitarra ― MandoliniBta — Strnm. ad arco.
Logaritmi (Tavole di), con 6 decimali, di 0. Muller, 6»
ediz., aumentata delle tavole dei logaritmi d'addizione e
sottrazione per cnra di M. Eaina, di pagine xxxvi-191.
(11， 12, 18» migliaio) 1 50
Logica, di W. Stanley Jevons, traduz. del Prof. C. Can- •
T0NI,、5* ediz. di pag. vm-166， con 15 incision!. . . . 1 50
Logica matematica, del Prof. c. Burali-Porti, p. vi-i68. l 60
Logismografia, di c. Chiesa, 8» ediz., pag. xiv-172 . . 1 60
Logogrifi 一 vedi Enimmistica.
Lotta ― vedi Pugilato.
Luce e COlori, del Prof. G. Bellotti, pag. x-167, con 24
incisioni e 1 tavola 1 60
Luce e suono, di B. Jones, tradnzione di U. Fornabi, di
pag. viii-386, COD 121 incisioni 8 一
Luce e salute. Fototerapia e radioterapia del Dott. A.
Bellini, di pag. xn-362, con 65 figure 3 50
Macchine (Atlante di) e di Caldaie, con testo e note" di
Tecnologia, di pag. xv-80, con 112 tavole e 170 figure in
iscala ridotta 3 —
Macchine a vapore, (Mannale del coatruttore di), di H. Hae-
DER. Edizione italiana compilata snlla 5* edizione tedesca,
con notevoli aggiunte dell'Ing. E. Webber, pag. xvi-452,
eon 1444 incisioni e 244 tabelle, legato in bulgaro rosso . 7 一
Macchine agricole. del Conte A. Cencelli-Perti, di pag.
Vin-216, eon 6« incisioni 2 ―
40
ELENCO DEI MAMUALI HOEPL
L. C.
Macchine per cudre e ricamare, dell'ing. Alfredo Ga-
LASSINI, pag. vn-280, con 100 incisioni 2 50
Macchlni8ta e fuochista, del Prof. G. Gautero, riveduto
e ampliato dall'lng. Prof. LOBIA, 9» ediz. con Appendice
snlle Locomobili e le Locomotive e ool Regolamento snlle
caldaie a vapore. pag. xx-194, con 84 incisioni .... 2 —
Macchinista navale (Mannale del), di M. LiGNAROLO, 2» ed.
rifatta, pag. xxiV-602, con 844 incisioni 7 60
騸 aclnulone — vedi Industrie del molini ― PaniflcaBlone.
Magnetismo ed elettricltk. Principl e applicazioni esposti
elementannente, del Prof. P. Grassi. 8* ediz. completa-
mente rifatta del mannale di POLOWI e Gbabsi, di pa-
gine xvi-508, con 280 figure 6 tavole fuori testo . . . 6 60
Magnetismo ed ipnotismo, del Dottor G. Belfiore, 2» ed.
nfatta pag. vni-896 8 50
Maiale (II). Razze, metodl di riproduzione, di allevamento,
ingrassamento, commercio, salnmeria, patologia snina e
terapeutica, tecnica operator! a, tossicologia, dizionario sui-
no-tecnico, del Prof. E. Marchi, 2» ediz., pag. xx-786,
con 190 incisioni e una Carta 6 60
Maioliche e porcellane (L'amatore di), di L. De Mauri, ii-
Instrato da splendide incisione in nero^ da 12 superbe
tavole a colori e da,3000marche. - Gontiene: Tecnica della
fabbricazione - Sgnardo generale sulla storia delle Cerami-
che dai primi tempi fino ai giorni nostri - Cenni storici ed
artistici su tatte le fabbriche - Eaccolte di 8000 marche cor-
redate ognnna di notizie relative, e coordinate ai Cenni Sto-
rici in modo che le ricerche riescano di esito inwiediato -
Dizionario di termini Artistiei aventi relazione coll'Arte Ce-
ramica e di oggetti Ceramici special!, coi prezzi correnti.
BibliQgrafla ceramica, indici vari, pag. xn-650 12 50
Mais (II) granotnrco, o formentone, o granone, o melgone,
melica, o melicotto, o carlone, o polenta, ecc. Norme
per una buona coltivazione, di E. Azimonti, 2* edizione
rifatta dal Mannale " Frnmento e Mais „ di B. Cantoni,
di pag. xn-196 con 61 incisioni nel testo 2 60
Malattie del paesi caldi, del Dott. c. Muzio. (in lavoro). ，
Malattie crittogamiche delle piante erbacee ooltivate, del
Dott. K. Wolf, tradnzione con note ed agginnte del Dott.
P. iiACCARiNl, pag. x-268, con 50 incisioni 2 ―
Malattie ed atte'razione del vini, del Prof. 8. Cettolini, di
pag. xi-138, con 13 incisioni 2 ―
Malattie della vite ― vedi Filossera ― Malattie crittogamiche.
Mammiferi ― vtdi Zoologia.
Mandarini ― vtdi Agmmi.
Malattie del sangue. Manuale d'Ematologla del Dott. E. Re-
BUSCHINI, pag. vm-432 . . 8 50
Mandato commnrciale, di E. Vidart, pag. vi-l60. . . . l 60
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI 41
- ―
Mandolinista (Manuals del), di A. Pisani, pag. xx-140, con
18 figure, 3 tavole e 89 esempi 2 一
' Manioomio ― vedi Assisten^a pazzi ― Psichiatria.
Manzoni Alessandro. Cenni biografici^ di L. Beltrami, di
pag. 109, con 9 autografl e 68 incisioni 1 60
Marche dl Fabbrica ― vedi Anuitore oggetti d'arle ― Leggi suUe
propriety ― Majoliche.
Mare (II). v. Bellio, pag. iv-140, con 6 tav. lit. a colon. 1 50
Marine (Le) da guerra del mondo at 1897, diL. D'Adda,
pag. xvi-820, con 77 illnstrazioni 4 50
Marino (Manuals del) militare e mercantile, del Contr'am-
luiraglio De Amezaga, con 18 xilografiie, 2* edizione,
con appendice di Bucci Di Santafiora 6 ―
Marmista (Manuale del), di A. Ricci, 2* edizione, pag. xn-
154, con 47 incisioni 2 —
騸 armo — vedi Imitazioni.
Massaggio, del Dott. B. Majijoni, p. xn-179, eon 51 inc. . 2 一
Mastici ― vedi Ricettario industriale ― Vemici, ecc.
Matematica (Complement! di) ad uso dei chimici e del na- ,
turalftti, di G. ViVANTi, di pag. x-381 3 ―
Matematiche superior! (Repertorio di). Deflnizioni, formole,
teoremi, cenni bibliografioi, del Prof. E. Pascal.
Vol. I. Analisiy pag. XVl-642 6 ―
Vol. II. Geometria, e indice gen. per i 2 vol. pag. 950 9 50
Materia inedicainoderna(Man.di), g.Malacrida, p.xi-76i 7 50
■ateilali artificial i ― v. Ricettario indnst. ― Imitaz. e succedanei.
Meccanica, del Prof. S. 8TAWELL Ball, tradnzione del
Prof. J. Benetti, 4* edizione, pag. xvi-214, con 89 inc.. 1 50
1 Meccanica (La) del macchinista di bordo, per gii iMciaii
f macehinisti della R. Marina, i macchinisti delle Compa-
[ gnie di navigazione, i Costruttori e i Periti meccaniei, gli
； Allievi degli Istitati Tecnici e Nautici e delle Scuole Indn-
striali e Professionali, dl E. GiOBLi, con 92 figure . . . 2 50
Meccanico (II), ad uso del capi teenici, macchinisti, elettri-
cisti, disegnatori, assistenti, capi operai, condattpri di cal-
' dale a vapore, alanni di Scuole industriali, di E. GiOBLi,
4» edizione ampliata, pag. xvi-424, con 204 Incisioni . . 多 一
、 Meccanismi (500)， scelti fra i piu importantl e recenti rife-
rentisi alia dinamica, idraulica, idrostatioa, pneumatic &，
maccMne a vapore, molini, torchi, orologerie, ecc, di H.
T. Brown, trad. d. Ing. F. Cerruti, 3* edizione italiana,
pag. vi-176, con 500 incisioni 2 50
Medaglie ― vedi Leghe metalliche ― Monete greche ― Monete
romftne ― Namiszaatica ― Vooabolarietto dei nuinisinatici.
Medicatura antisettica, del Dott. A. Zaubleb, con prefar
zione del Prof. E. TRI^ONI, pag. xvi-124. con 6 incis. . 1 50
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
48
L. c.
Misure ― vedi Avarie e sinistri marittimi 一 Codice del Perito Mi-
suratore ― Metrologia 一 Monete ― Btnimenti metrici.
■itillcoltura 一 vedi Oetricoltara 一 Piscicoltura.
Mitologia (Dizionario di), di F. Ramobino. (In lavoro).
Mitologia comparata, del Prof. A. De gubernatis, 2*
edizione, di pag. vin-150. (Esaarito).
Mitologia greca, di A. Pobesti:
Volume I. jbiviniihi di pag. vm-264 1 fiO
Volume n. Eroi, dl pag. 188 1 60
Mitologie orieotali, di D. Bassi:
Vol. I. Mitologia babihnese-assira, pag. xvi-219 . . 1 50
Vol. n. Mitologia egiziana e fenicia. (In lavoro).
鐘 nemotBcnIa — vedi Arte della memoria.
Mobili artlstioi ― V9di Amatore d'oggetti d'arte.
Moda ― wdi Abiti ― Biancheria ― Piori artificiali ― Trine.
Modellatore meccanico, falegname ed ebanista, del Prof.
G. MiNA, pag. xvn-428, eon 298 incisioni e 1 tavola . 5 50
Motini (L* Industria dei) e la macinazione del frumento，
di C. SiBER-MlLLOT, di pag. xx-259, con 108 incisioni
neJ testo e 8 tavole 5 —
Momenti resistenti e pesi di travi metalliche composte.
Prontuario ad nso degli Ingegneri, Architetti e costruttori,
con 10 figure ed una tabella per la chiodatura, dell'Ing.
E. BCHENCK, di pag. XI-188 8 50
Monete greche, di s. Ambbosoli, di pag. xiv-286, con 200
fotoincisioni e 2 carte geografiche 8 一
Monete (Prontuario delle), pesi e misure inglesiy raggua-
gliate a quelle del sistema decimale, dell'Ing. Ghebsi, di
pag. xn-196, con 47 tabelle di conti fatti e 40 facsimili
delle monete in corso 8 50
Monete romane. Manuals eiementare compil. da F. Gneo-
CHi, 2» edizione, riveduta corretta ed ampliata, di pag.
xxvn-870, con 25 tavole e 90 figure nel testo .... 8 —
Monogrammi, del Prof. A. Severi, 78 tavole divise in tre
serie, le prime due di 462 in dne cifre e la terza in 116
in tre cifre 8 50
Montatore (II) di maCChine, Opera arricchita da oltre 250
esempi pratici e problemi risolti, di 8. Dinaro, di pa-
gine xn-„68 4 一
Morfoiogia generate ― vedi Bmbriologia.
Morfologia greca, del Prof. v. Bettei, pag. xx-376 . . 8 —
Morfoiogia italiana, del Prof. B. (Jorra, pag. vi-i42 . . 1 &o
Morte (La) vera e la morte apparente, con appendice " La
ELENCO DEI MANUAU HOEPLI
LLETTI, 23 folulac, p. XX-2TZ . 2
[1>, del Dott K. QE8TR0, !• edi-
au del ATontMl* d^InOiilta-
l«I Proi
[ton 9
Prof. A. Ibbel e B. Qbstbo
plua dl r. TAm. dl pag.
lAPPBLLKTTI dl pag, xx-490 . *
into le TuM di nglatro, dl bollo
odali pel Debilo pabbUoo, dl A.
a B ampllata, pag. Tro-SSO . . S
Ambrosoli, B.» eil%. rived utA,
ftotoine. c 4 lav 1
el Prof. P. Abho, dl pag. xii-
.llstcam. BBtuale ei utlflclals,
ig. XI-32(
pn。tl>mo ― -
T\*tk ― Otli»i.
Intnlli loto applieazioM dl C
ilMamente rffittM iti Dott C
eon 7 Inoialoiii
dflU'oUTO, Mtruloae, poriflM
I'oUo, del Prot A. Aloi, S» ed:
rats, di p. xn-t6B, oon S6 iia. 1
tradudoBe dl B. Paluhbo e
186
irnltori, fat ,
aggivstcttori e meccanlci d
mentat*. dt bie. xtt-MS ,
Is
二 li-M
£1
III
^^^^y^h^^^^ 續她
pr"^£t "-。
MM
jiilj^ 濯
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
4 &
L. C.
Operazioni doganali ― vedi Codice doganale ― Trasporti e tariflFe.
Oratoria ― vedi Arte del dire ― Rettorica ― Stillstica.
Ordinamento degli Stati liberi d'Europa, del l>ott. P. Ra-
CIOPPI, 2" edizione, di pag. xn-816 . , 8 —
Ordinamento degli Stati liberi fuori d'Europa, del Dott.
P. Kacioppi> di pag. vm-876 8 ―
Ordinamento giudiziarlo ― vedi Leggi suir.
Oreficieria ― vedi Qioielleria ― Leghe metal liche ― Metalli pre-
Biosi ― Saggiatore.
Organoterapia, di E. Kebuschini, pag. vm-482 . . . . 8 to
Oriente antico ― vedi Storia antica.
Ornatista (Manuale dell'), deU'Arch. A. Melani. Raccolta
di iniziali miniate e incise, d'inqaadratare di pagina, di
fregi e flnalini, esistenti in opere antiche di biblioteche,
mnsei e coUezioni private. XXIV tavole in oolori per mi-
niatori, calligrafi, pittori di insegne, ricamatori, incisori,
disegnatori di oaratteri, ecc, I* serie, in-8 4 50
Orologeria moderna, deiring. garuppa, di pag. yni-302,
con 276 incision! 5 —
一 *vedi ancke &noinonica.
Orologi artistic! ― vedi Amatore di oggetti d'arte.
Orologi solari 一 vedi Gnomonica.
OrtiCOltura del Prof. D. T AM ABO, 2» edizione rifatta, di
pagine xvi-676, con 110 incisioni . . . 4 60
Ortocromatismo ― vedi Fotografia.
Ortofrenia (Mannale di), per L'educazione dei fanciuUi fre-
nastenici o deficient (idioti, imbecilli, tardivi, ecc), del
Prof. P. Parise, di pag. xii-281 2 ―
Ortotteri 一 vedi Imenotteri ecc.
Ossldazlone 一 vedi Metallocromia.
Osteiricia (Manuale di) Ginecologia minore, per le leva-
trici di L. M. BOSSI, di pag. xv-493, con 113 incisioni 4 50
Ostricoltura e mitilicoltura, del Dott. D. Carazzi, con
18 fototipie, di pag. vni-202 . 2 50
Ottica, di E. Gelcich, pag. xvi-576, con 216 incis. e 1 tav. 6 一
Ottone ― vedi Leghe metaUiclie.
Paga giornaliera (Prontnario deiia), da cinquanta cente-
simi a lire cinque, di c. Negrin, di pag. 222. . . . 2 50
Paieoetnologia, del Prof. J. Regazzoni, di pag. xi-252,
con 10 incisioni 1 50
Paleografia, di E. M. Thompson, tradazlone daU'inglese,
con agginnte e note del Prof. G. Fumagalli, 2* edizione
rifatta, di pag. xn-178, con 30 inc. e 6 tav 2 ―.
Paleontologia (Compendio di), del Prof. P. ViNASSA De
RE(WY， di pag. xvi-512, con 356 figure intercalate . . 5 60
r
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
47
L. c.
2» edizione completamente rifatta, di pag. xxx-430 con
28 incisioni intercalate e 187 tavole 7 60
Ptattioa ― vedi Imitazioni.
PolllCOltura, del March. G. Trevisani, 5» edizione rifatta,
di pagina xvi-230， con 90 incisioai 2 60
Polveri pirlche ― vedi Espledenfci ― Pirotecnia.
Pomologia, descrizione delle migliori varietk di Albioocohi,
CUiegi, Meli, Peri, Peschi, del Dott. G. MOLON, con 86
incisioni e 12 tavole oolorate, di pag. xxxn-717 . . . 8 60
Pomologia artfficiale, secondo il slstema Garnier-Valletti,
del Prof. M. Del Lupo, pag. vi-182, e 34 incisioni . . 2 —
Poponi ― vedi Frntta minori.
Poroellane ― vedi Maioliche ― Rioettario domestico.
Porco (Allevsmento del) ― vedi Maiale.
PortI di mare 一 vedi Lavori marittimi.
PoMlogia 一 v»di Impiego ipodermico.
Posta. Mannale Postale di A. Palombi. Notizie storiche
snlle Poste d'ltalia, organizzazione, legislazione, posta
militare, nnione postale nniverss^le, con una appendice
contenente le norme relative ad alcuni servizi accessori
della posta, di pag. xxx-809 3 一
PratO (11), del Prof. G. CANTONI, di pag. 146, con Ih inc. 2 ——
Prealpi bergamasche (Gaida-iUnerario alle), compresa la
Valsassina ed i Passi alia Valtellina ed alia Valcamonica,
oolla prefazione di A. Stoppani, e cenni geologici di A.
Taramelli, 3» edizione rifatta per cura della Sezione
di Bergamo del C. A. I., con 15 tavole, dae carte topo-
grafiche, ed una carta e profllo geologico. Un volume di
pag. 290 e un vol. colle carte topografiche in busta . . 6 50
Pregiudizi 一 vedi Errori e pregindizi. Leggende popolari.
Previdenza ― vedd Assicuraz. ― Cooperaz. ― Societk di M. B.
Privative industriaii ― vedi Leggi salle ― Ingegneria legale.
Problemi di Geometria elementare, deiring. I. ghersi,
(Metodi facili per risolverli), con circa 200 problemi ri-
solti, e 119 incisioni, di pag. xn-160 ， 1 60
Prooedura civile e procedura penaie ― vedi Codice.
Procedura privileQiata fiscale per la riscossione delle imposte di-
rette ― vedi Esattora
Proce88i fotomeccanici (I modemi). Potocollografia, fototi-
pografla, fotocalcografia, fotomodellatnra, tricromia, del
Prof. R. Namias, p. vni-816, 58 fig., 41 illnstr. e 9 tav. 8 60
Prodotti agricoti del Tropico (Mannale pratico del pian-
tatore), del Cav. A. Gaslini. (U eaffe, la canna da zuo-
ELENCO DEI MANUALI HOJEPLl 49
L.C.
Ragioneria delle cooperative di consumo (Manaaie di),
del Rag. G. Rota, di pag. xv-408 3 —
Ragioneria industriale, del Prof. Bag. Oreste Bergama-
SCHI, di pag. vn-280 e molti moduli 8 ―
Ragioniere (Prontuario del). (Manaaie di calcolazioni mer-
cantill e bancariG), di E. Gaqliabdi, pag. xil-603 . . 6 50
Ramatura ― vedi Galvanostegia.
Razze bovine, equine, suine, ovine e caprine di P. Paelu,
di pag. xx-372, con 75 illustrazioni delle quali 16 colorate 5 50
Rebus ― vedi Enimmistica.
Reotami ferroviaril ― vedi Trasporti e tariffe.
Regittro e Bollo ― vedi Leggi solle tasse di.
Regolo calcolatore e sue applicazioni nelle operazionU
topogratiche, deiring. G. Pozzi, dl pag. xv-238, con 182
incisioni e 1 tavola , .... 2 60
Religioni e lingue deH'Indla inglese, di K. cust, tradotto
dal Prof. A. De Gubebnatis, di pag. iv-124 . . . . 1 60
Resistenza det material i e stability delle costruzioni, di
P. Gallizia, pag. x-836, con 286 inc. e 2 tavole . , . 5 50
Retponsabilltii 一 vedi Ingegneria legale.
Rett I II 一 vedi Zoologia.
Rettorica, ad 請 delle Seuole, di P. Capello, p. vi-122. 1 60
Ribes 一 vedi Frutta minori
Rioami 一 vedi Biancheria ― Macchine da cucire ― Monogrammi
一 Piccole indastrie ― Bicettario domestico ― Trine.
Ricchezza mobile, deii'Aw. E. Bruni, pag. vm-2i8 . . i so
Rioettario domestico, dell'Ing. I. Ghebsi. Adomamento
della casa. Arti del disegno. Giardinaggio. Gonservazione dl
animali, frutti, ortaggi, piante. Animali domestici e nocivi.
Beyande. Sostanze alimentari. Combastibili e illaminazione.
Detersione e lavatura. Smacchiatnra. Vestiario. Profumeria
e toeletta. Igiene e medicina. Mastici e plastica. CoUe e
gomme. Vernici ed encaustici. Metalli. Vetrerie, di pag. 550
con 2840 consign pratici e ricette accuratamente scelte. . 5 &C
Ricettario industriale, deiring. I. Ghersi. Procedimenti
utili nelle arti, Industrie e mestieri, caratteri; saggio e con-
servazione delle sostanze natnrali ed artificial! d'uso comu-
ne; colori, vernici, mastici, colle, incMostrl, gomma ela-
stica, mnterie tessili, carta, legno, fiammiferi, faochi d'arti-
fieio, vGtro ； metalli, bronzatara, nichelatara, argentatura,
doratnra, galvanoplastica, incisione, tempera, leghe ； filtra-
^ zione; material! impermeabili, incombustibili, artificial! ； ca-
Bcami, olii, sapoai, profumeria, tintoria, smacchiatnra, im-
biancblmento; agricoltura, elettrUiti; 2* edizione,rifatta e
60
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
L. c.
anmentata, di pag. vn-704, con 27 inc. e 2886 ricette . . 6 60
Riceftario fotograflCO. Terza edizione riveduta e notevol-
mente ampliata di nuove formole e procedimenti, del Dott.
L. Sassi, di pag. xxiV-229 2 —
Rillevi ― vedi Carto^afia ― Compens. error! ― TelemetrU.
Risorgimento italiano (Stona del) 1814-1870, con i，ag-
giunta di nn sommario degli eventi posteriori, del Prof.
P. Bertolini, 2» ediz,, di pag. vm-208 1 60
Ristauratore dei dipinti, del Conte G. Secco-Suardo, 2
volumi, di pag. xvi-269, xii-862, con 47 incisioni . . . 6 —
Ritmica e metrica razionale italiana, del Prof. Eocco
MURARI, di pag. xvi-216. . . • 1 50
Rivo 疆 UZione francese (La) a789-1799), del Prof. Dott. QlAN
Paolo Solerio, di pag. iv-176 i 60
Roma antica ― Mitologia ― Monete ― Topografia.
R5ntgen (I raggi di) e le loro pratiche appiicazioni, di
ITALO TONTA, pag. vm-160, con 65 incis e 14 tavole , 2 60
一 ved4 anche ― Fototerapia e radioterapia.
Rhum ― vedi Liqaorista.
Saggiatore (Manaale del), di P. Buttari, di pag. vin-245,
con 28 incisioni 2 50
Sale (II) e le Saline, di a. De Gasparis. (Processi indn-
striali, usi del sale, prodotti chimici, industria manifatr
turiera, industria agraria, il sale neU'economia pubblica
e nella legislazione), di pag. viii-858, con 24 incisioni . 8 50
Salumiere ― vsdi Majale.
Sanatorii ― vedi Tisici e sanatorii.
Sanita e 8icurezza pubblica. ― Vedi Leggi sulla.
SanscritO (Awiamento alio studio del), del Prof. P. G. PUMI,
2» ediKione rifatta, di pag. xii-254 8 -
Saponi (L'industria saponiera), con alcuni cenni suU'indu-
stria della soda e della potassa. Materia prima e fabbri-
cazione in general e. Guida pratica dell'Ing. B. Mabazza,
(esaurito, e in lavoro la 2* edizione).
Sarta da donna ― vedi Abiti 一 Biancheria.
ScaCChI (Manuale del giuocM degli), di A. 8EGHIERI, 2»
ediz. ampliato da E, OnsiNl, con una appendice alia se-
zione delle partite ginocate e una nuova raccolta di 52
problemi di autori ital., di pag. vi-810, con 191 incis. . S ―
Scaldamento e ventilazione degli ambienti abitati, di R.
Pebrini, 2» ediz., di pag. viil-300, con 98 incisioni. . . 3 一
Scenografia (La). Cenni storici daU'evo classico ai nostri
giorni, di G. Ferrari, di pag. xxiv-827, con 16 inci-
^\om nel testo. 160 tavole e 5 tricromie . . . . 12 ―
KLENCO DEI MANUALI HOEPLI
51
L c
Scherma italiana di J. Gelli, 2» ediz., di pagine vi-25i,
con 108 figure 2 50
Sotarada ― vedi Enimmistica.
Scienza deile finanze, di T. carnevali, pag. iv-i40 . . i 50
Scritture d'affari (Precetti ed esempi dl), per nso delle
Scaole tecniche, popolari e commerciali, del Prof. D. Maf-
FIOLI, 8» ediz. ampliata e corretta, di pag. vni-221 . . 1 50
Sconti 一 vedi Interesse e sconto.
Scope rte geograflche 一 vecU Cronologia.
SCUltura italiana autica e moderna (Manuals di), dell' Arch.
A. Melani. 2* edizione rifatta con 24 incisioni nel testo
e 100 tavole, di pag. xvil-248 5 ―
Scuole industriaii ― vtdi Industrie (Piccole).
Segretario comunale ― vedi Esattore.
SeiviCOltura, dl a. Santilli, di pag. vm-220, e 46 inc. . 2 ―
SemBiotica. Breve compendio dei metodi flsici di esame
degll infermi, di U. Gabbi, di pag. xvT-216, con 11 inc. 2 50
Sericoltura 一 vedi Bachi d& seta ― Filatnra 一 Oelsicultnra 一
Indnstria dells seta ― Tintura della seta.
Servitu ― vgdi Ingegneria legale.
Shakespeare, di dowden, trad, di a. Balzani, p. xu-242 1 so
Seta (Indnstria della), del Prof. L. Gabba, 2» ed., p. iv-208 2 ―
Seta artifloiale 一 vedi Imitazioni.
Slourezza pubblica ― v«di Leggi di sanita.
Siderurgia (Mannale di), dell'Ing. V. Zoppetti, pubblicato
e completato per cura dell'Ing. B. Garupfa, di pag. iv-
368, con 220 incisioni 5 50
Sieroterapia, del Dott. E. Rebuschini, di pag. vni-424 • 8 ―
Sigle epigraflche ― vedi Dizionario di abbreviature.
Sinistri marittimi 一 vedi Liquidatore di avarie.
SintaSSi francese, razionale pratica, arricchita della parte
storico-etimologica, della metrica, della fraseologia com-
mercial e， ecc, del Prof. D. EODARI, di pag. xvi-206 . 1 50
― (Bsercizi relativi alia) del Prof. D. RODARI. (in lavoro).
Sintassi latina, di T. G. Per as si, di pag. vii-168 . . . 1 50
Sismologia, del Capitano L. Gatta, di pag. viii-175, con
16 incisioni e 1 carta 1 50
Smacchiature ― v»di Ricettario domestico.
Smaiti 一 vedi Amatore d'oggetti d' arte ― Fotosmaltografia ―
Ricettario indnstr.
SoccorsI d'urgenza, del Dott. c. Galliano, 4* edizione
riveduta ed ampliata, di pag. XLVl-852, con 6 tav. litogr. 3 ―
Socialismo, di g. Biraghi, di pag. XV-285 3 ―
Societa di mutuo SOCCOrSO. Nome per I'assicnrazione delle
pensioni e dei susssidi per malattia e per morte, del Dott.
G. Gardenqhi, di pag. VI-152 1 50
Societa industriaii Italiane per azioni, del Dott. P. Pic-
CIXELLI, di pag. XXXVI-r)34 5 50
EI.ENCO DEI MANL'ALI BDEPLI
Soclologta generals (ElemeDti di). del DoM. BHILIO MOR-
izione del vino e dell'aoeto di
IstrazfoRB. UannMe per gU al-
MARi, dl pag. vni-2BS, eoe II Ine. 2
i. Scnole normali, n
ConservjiTione delle.
iiceii' e la dfcorazione del vetro
, legale. Studio crltico Hperi-
uii, di pag. XIX-89B, con 92 taoi-
ipplkdU a】U iJWmki llsiologica.
Iclna legi ~
ERi
aloni a tre tsvole
Spetfrosco|rio (Lo) o |e «ae mpllcazioni, di a. a. Pro
CTOR, tradniione ood BOle ed AggianK di P. Porro, >l
pag, vi'I79, eon "l incia. e nna cam di spetCrl . ,
Splrltismo, di A. Pappalabdo. Seconds edUlone, oon 9
tavole, di pag. xvi-316
― anehe MtL^Detiemo ― TeTepalin.
S|HrltO dl vino - . t Aloool ― Cognsc -- DIsHUia. ― LiqaariaU
StAgDO fVHBellftme df} ― vedi Arq&tnre d【 oggMti d'arte « dL c。
rJoalth ― h^fftie metal llcbe.
Stalin* ― tidi" MetrologiB 一 Btranentl mo (rid.
Statlstlca. del Pr. F. ViRQiLii, 3' ed., lifatta pag. ux-226 1
Steariiwria (L'indngiria awatioa). Uaanale ptaUtc del ring.
~ —― 1, dl pagine xi-8g4, con 70 IncidoDi s molte
B. Mabazza, i
label 1e
一 p
j 靈
.1"
一： 卷
SIf IJi
s】i
Fir",
Sri
二，
up™ =
ELEXCO DEI MANUALI HOEPLI
58
L.c
Stilistica, del Prof. P. Capello, di pag. xn-164. . . . 1 50
' Stilistica latina， di A. Bartoli. (In lavoro).
Stimatore d'arte 一 vedi Amatore di oggetti d'arte e di curiosity
一 Amatore di maioliche e porcellane 一 Ami antiche
Storia aniica. Vol. I. VOrimte Antico, del Prof. 1. GEN-
TILE, di pag. xn-282 1 50
Vol. II. La Qreda, di G. TONIAZZO, pag. iv-216 . . 1 60
Storia dell'Arte, del Dott. G. Carotti. (in lavoro).
storia deirarte militare antica e moderna, del Cap. v.
BOSSETTO, con 17 tav. illustr., di pag. vm-504. . . . 5 50
一 fdi anche Ami antiche.
Storia e cronologia medloevale e moderna, in cc tavoie
sinottiche, del Prof. V. Casagrandi, 8» edizione, con
nuove correzioni ed aggiunte, di pag. vm-254 . . . . 1 50
Storia della ginnastica. ― Vedi OinnasHca,
Storia d'ltatia (Breve), di p. Orsi, 2» ed. rived., p. xn-276 . 1 50
Storia di Francia, dai tempi piU remoti ai giorni nostri,
di Gt. Bragagnolo, di pag. xvi-424, con tabelle crono-
logiche e genealogiche 8 —
Storia Ital. (Man. di), di C. Cantu, pag. lv-160 (esaurita). '•
Storia d'Inghilterra dai tempi piii remoti ai giorni nostri,
del Prof. G. Bragagnolo, di pag. xvi-867 8 —
Storia della mu8lca, del Dott. Untersteiner, 2* edizione
ampliata, di pag. xil-380 8 —
Strnmentazione, per E. Prout versione Italiana con note
di V. Ricci, 2* ediz. rived., di p. xvi-214, 95 incis. . . . 2 50
Strumenti ad arco (Gii) e la musica da camera, del Duca
di Cafparelli, di pag. x-2S5 2 50
Strnmenti metrici (Principl di statica e loro applicazione
alia teoria e costruzione degli), dell'Ing. E. Bagnoli, di
pag. vni-252, eon 192 incisioni 3 50
Stufe ― vedi Bcaldamento.
SiiORO ― vedi Luce e snono.
Siiocedftnei ― vedi Ricettario indastriale ― ImitaKioni.
Sughero ― vedi Imitazioni e succedanei.
Surrogati ― vedi Ricettario mdnstriale 一 Imitazioni.
Sussidi ― vedi Society di mntuo soccorso.
TabaCCO, del Prof. G. Cantoni, di pag. IV-176, con 6 inc. 2 一
Tabacchiere artittlche ― vedi Amatore di oggetti d'arte.
Tacheometria ― vedi Celerimensnra ― Telemetria 一 Topografia
― Triangolazioni.
Tamarindo ― vedi Prodotti agricoli.
Tappezzerie ― vedi Amatore di oggetti d'arto e di cnriusitk.
Tariffs ferrovlarle ― vedi Codice dog. ― TraRporti e tariffe.
(力 r
&LEHGO LEI HANUALI HOEPLI
Tartalfl ([) ed I fuilQhl, loro naturs, gtoria, coltura, oonser-
vitzione e oaolnatura, di FOLCO Bruni, dl pag, vni-184
Tuie dl reglitro, bollo, eca, ― «A Codica dl l)allo ― Bsaltore
― ImpoBla ― Leggi Tuia Rag. s BoUtt ― Hotalo 一 Blccb. noli.
Taialdamlita ― uM lubaliuaaMre ― SktimliiM Tii^tUton.
TatHagii* ― mU CU'oaaui, • MHunlo.
n - FrodDM (grlooli.
TmIm ― **df IiatteMoni drMiraatiM ― Codiss da! tsKro.
Tm'Io* ■loNimpIra ― ADBlomlK ulcrossoplea.
Tavole d'alUgazione per I'oro e per t'argento con nnme-
roai ea. piatici per il loro uso, P. Bcttahi, p. III-220 -
T,val， logarltnilshs ― unji Logarltml.
Tavole schenaticbe della DIvina Commedia dl Dante All-
ghfer), dl L. FOLACCO, sepiite da sel tavote topogr. In
eromollL diiegn. dal HaeaCro G. Aqnelli, fag. x-lSB .
'. L. HAaai, pag.
― ttM ModeU&tDie uescuico.
iwlo^a WHMttaria, di a. Bacchetti,
PiCOOu, dip. IT-ISO, eon B8 inoia., b. 1.
u,61nlaT. laS' edit, oomplet. rifotia da 0. Uotta).
；. Pebkihi, 3' edlilone eorrotu ed
TWMriogl
XVI-I91 .
dl pag. TJtI-ai6, con 10
tr&to senza All e Qnde Hertziane di o. murani, lii
:. iv-S", COD m inoisioQi
netria, mtsura delle dlstanze In guerra, del (
BSRT&LLI, dl pag. xru-146, aoa IS zlnuotipie .
~ Blepatia iTrasmissioDe del penatero), dl A. Pafpalabdo,
3' edlz. d【 （tag. xvi-3'9
»A a»ait IdigbeUiimo ― Ipnotluno ― SplrlliaiBO.
empen e ementailaM, deU'lnge^ef Padda,
Tin-lOS, oon SO iQclstooi
eoria dei ■umeri (Prlml elementi dells), per 1：
E. BONOI,
Teoria delle ombre, eon un csnna snl CUarMenra e sal
colore dai oorpi. del Prof. B. BoNOI, dl p^. vm-lBl, eon
Sd tavole e 62 flgare
Terapia delle malattle dell'infoinla, del Dott. a. catta-
NEO, di pag. xn-506
TerModlmmlea, Prof. g. Cattaneo, pag. z-i96, 4 ig. .
Ttmmotl ― ixtt Blunologla ― Vii)ojuil8mo.
TirrMi ― inU Cblmica acrarii ― Coodmi ― HtUBOt.
Teasifore (Uannale del), del Prof. P. Pmchbtti, 2- ediz.
rivedite, di pag. xvi-SlS, con lllnstmioni . , . .
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI 56
-. ^
Tessuti di lana e dl COtone (Analisi e fabbricazione dei).
Manuale pratico razionale di 0. GIUDICI, di pag. xii-864
con 1098 incisioni eolorate ， • 16 50
Testament! (Mannali dei), per cnra del Dott. G. Sebina,
. di pag. Vl-238 2 50
Tigr^-italiano (Manuale), con dne dizionarietti italiano-tigre
e tigrMtaliano ed una cartina dimostrativa degli idiomi
parlati in Eritrea, del Cap. M. Camperio, di pag. 180 . 2 50
TIntore (Manuale del), di B. Lepetit, 8» edizione, di par
gine x-279, con 14 incisioni 4 一
Tintura dei la seta, studio chimico tecnico, di T. Pascal,
di pag. xvl-482 5 —
Tipografia (Vol. I). Guida per chi stampa e fa stampare. -
Compositori, Correttori, Revisori, Autori ed Editori, di 8.
Landi, di pag. 280 2 60
Tipografia (Vol. II). Lezlonl di composizione ad nso degli
alliGYi e di quanti fanno stampare, di S. Landi, di p. vm-
271, corredato di figure e di modelli. . ...... 2 60
― vedi ancht Vocabolario tipografico.
Tisici e i Sanatorii (La cura razionale dei), del Dott. A.
ZUBIANI, prefaz. del Prof. B. SiLVA, p. XLl-240, 4 incis. 2 ―
Titoli di rendita ― vedi Debito pubblico 一 Valori pnbblici.
Topografia e rillevi ― vedi Cartografia 一 Catasto ― Gelerimen-
snra 一 Compensazione errori 一 Curve 一 Disegno topografico
一 Estimo terreni 一 Estimo rarale ― Potogrammetria ― Geo-
iuetria pratica ― Prospettiva ― Regolo calcolatore ― Tele-
metria ― Triangolazioni.
Topografia di Roma antica, di L. borsari, di pag. vm-
486, con 7 tavole . . . . ， 4 60
Torn! tore meccanico (Guida pratica del), owero sistema
unioo per calcoli in generale suUa costruzione di viti e
raote dentate, arricchita di oltre 100 problemi risolti, di
8. DiNARO, 2» edizione, di pag. xn-175 2 ―
Traduttore tedesco (II), compendio delle principall diflB-
coita grammaticali della Lingua Tedesca. del Prof. E.
MiNUTTI, di pag. XVl-224. . • I 50
Trasporti, tarifTe, reclami ferroviari ed operazioni do-
ganali. Manuale pratico ad uso dei commercial! ti e pri-
vati, colle norme per rinterpretazione delle tariff e vigenti,
di A. BiANCHi 2» edizione rifatta. di pagine XVI-208 , . 2 一
Travi metallici compost! ― Vedi Momenti resistenti.
Trianpolazioni topografiche e triangolazioni catastali,
dell Ing. 0. Jacoanqeli. Modo di fondarle sulla rete geo-
detioa. di rilevarle e calcolarle. di pag. xiv-340, con 82
ELKMUO UEI UANUAJ,! UUliPU
ELENCO DEI MANUALI HOEPLI
67
L. c.
Vetro (II). Fabbricazione, lavorazione meccaaica. applica-
zionl alle eostrnzioni, alle arti ed alle Industrie, dell' Ing.
G. D'Angelo. di pag. xix-527, con 325 figure intercalate,
delle qnali 25 in tricromia 9 50
Vini bianchl da pa8to e Vini mezzo colore (Guida pratica
per la fabbricazione, raffinamento e la conservazione del),
di G. A. Pbato, di pag. xn-276, con 40 inc 2 —
Vino (II), di G. Gbassi-Soncini, di pag. xvi-152. ... 2 —
Vino aromatizzato ― vedi Cognac ― Liqnorista.
VitiOOltura. Precettl ad nso dei Viticoltori italiani, del Prof.
0. Ottavi, 5* ed. riveduta ed ampliata da A. Strucchi,
di pag. xvi-227, con 80 inclsioni . . . , 2 ―
Vocaboiarietto pei numlsmatici (in 7 Ungue), del Dott. s.
Ambrosoli, di pag. vin-184 1 50
Vocaliolario araldico ad uso degli italiani, del Conte G.
GUELFI, di pag. vm-294, con 856 ineisioni 3 50
Vooabolario compendioso delta lingua russa, del Prof.
VomoviCH, di pag. XVI-238 . . . . , 8 —
Vocaliolario tipograflco, di s. Landi. (In lavoro).
Volapiik (Dizionario italiano-volapiik), precednto dalle No-
Eioni eompendiose dl grammatica della lingua, del Prof.
C. Mattei, seeondo i principii deU'inventore M. Schleyer,
ed a norma del Dizionario Volapiik ad nso dei francesi,
del Prof. Kerckhoffs, di pag. xxx-198 2 50
Volapiik (Dizion. volapiik-itaL), Prof. C. Mattei, p. xx-204. 2 50
VolapHk, Manuale di conversazione e raccolta di vocaboli
e dialoghi italiani-volapiik, per cnra di M. Rosa, Tom-
MASI e A. Zambelli, di pag. 152 2 50
Vulcanismo, del Cap. L. Gatta, di pag. VIll-268 e 28 inc. . 1 50
Zeoche 一 vedi Terminolog'ia monetaria.
Zolfo (Le miniere di) di" G. Caqni. di pag. xii-275, con 84
ineisioni e 10 tabelle 3 50
Zoologia, dei Prof. B. H. GiGLlOLl e G. Cavanna :
1. Invertebrati, di pag. 200, con 45 figure . . . . 1 60
II. Vertebrati, Parte 1, Generality, Ittiopsidi (Pesci ed
Anfibi), di pag. xvi-l 56, con 88 ineisioni . . . 1 60
III. Vertebrati. Parte II, Sanropsidi, Teriopsidi (Rettili,
Uccelli e Mammiferi), di pag. XVl-200, con 22 incis.. 1 50
Zoonosi, del Dott. Bi (jALLI Valerio, di pag. XV-227. . 1 60
Zootecnia, del Prof. G. Tampelini, p. VIll-297, 52 incis. 2 60
ZuocherO (Indnstria dello) :
I. Coltivazione della barbabietola da suecherOj dell'Ing.
B. R. Debakbiebi, di pag. XVl-220, con 12 inc.. . 2 50
II. CommerciOi importanza economica e legislaaione
doganaU, dl L. Pontana-Russo, di pag. xiI-244 . 2 60
III. FabhriccLzione dello zucchero di barbabietola del-
l'Ing, A. Taocani, di pag. xiI-228, con 71 incis • . 8 50
per aatori M Mannali Hoepli
(I Humeri indicano le pagitie).
Abbo P. Nuotatore 44
Acqua C, MicroBCopio 42
AdierG.Eserc. di lingua tedesca 28
Aducco A. Chimica agraria. . . 17
Agnelli 8. Tav. Div. Commedia 54
Airy Q. B. Gravitazione 34
Aiasta C. Eserc. Trigon. piana 28
― Complementi di geomet. elem. 20
― Geometria della sfera ... 32
Albert! F. II bestiame e ragricol. 15
AlbicinI G. Diritto civile . ... 23
Albini G. Fisiologia 29
Aiessandri P. E. Analisi chimica 11
― Analisi volumetrica 11
― Chimica applic. alPIgiene . 17
― Disinfezione 24
― Farmacista (Manaale del). 29
― Sostanze alimentari 5
Ailorl A. Dizionario Eritreo . . 25
Alol A. Olivo ed olio 44
― Agrumi 10
― Soflsticazione vino 52
Ambrosoil S. Atene 14
― Monete greche 43
― Namismatica 44
一 Vocabolarietto pei numism. 57
Antlili A. Disegno geometrico. 24
Antonini E. Pellagra 46
Appiani G. Colori e vernici . . 19
Ariia C. Dizionario bibliogr. . 25
Arrighi C. Dizionario milanese 25
Art! grafiche, eco 13
Aschlerl F. Geom. anal. d. spazio 32
一 Geometria anal, del piano 32
― Geometria deacrittiva ... 32
一 Geom. proiettiva del piano
e della Stella B2
Geom. projett. dello spazio 32
Azimonti E. Frumento 31
― Gampicello scolastico . ... 16
一 Mais 40
AzzonI F. Debito pubb. italiano 23
BaocarinI P. Malatt. crittogam. 40
Baddeley V. Law-Tennis . ... 37
Bagnoil E. Statica 53
Rail J. Alpi (Le) 11
Bali R Stawell. Meccanica ... 41
Bailerini 0. Fiori artiflciali . . 29
BaizanI A. Shakespeare 51
BaroschI E. Fraseologia franc. 30
BarpI U. Igiene veterinaria . . 34
― Abitaz. degli anim. domest. 10
Bartti 麵. Analisi del vino ... 11
Bartoli A. Stilistica latina . . . 53
BassI D. Mitologie orientali . . 43
~ F, Lavori marittimi . 36
Belfiore 6. Magnet, ed ipnot . 40
BelllW A. Igiene della pelle . . 84
― Luce e salute, Fototerapia
e radioterapia. 39
Bellio V. Mare (II) 41
― Cristoforo Colombo 22
Bellotif G. Luce e colori . ... 39
Beliuomini G. Galderaio prat . 16
一 Cubatura dei legnami ... 22
― Fabbro ferraio 28
― Falegname ed ebanista ,. . 28
一 Fonditore 30
― Operaio (Manaale tiell') . . 44
― Peso dei metalli . 46
Beltrami L. Aless Manzoni , . 41
Benetti J. Meccanica 41
Bergamaschi 0. Contabilitadom. 20
― Kagioneria industriale . . . 49
Oernardi G. Armonia 13
Bernhard. Infortunii di mont. . 36
Bertelli Q. Disegno topografico 24
一 Telemetria 54
Bertollnl F. Risorg. italiano . . 50
Bertolini G. Unita assolute. . . 56
Bertolio S. Coltiv. delle min. . 42
Besta R. Anat. e fisiol. compar. 11
Bettei V. Morfologia greca. . . 43
Bettoni E. Piscicoltura 46
BiagI G. Bibliotec. (Man. del). 15
Blanch i A. G. Trasporti e tariffe
ferroviarie 55
Bignami-Sormani E. Dizionario
alpino italiano 26
Biraghl Q. Sociaiismo 51
Bisconti A. Eaercizi greci . . . 28
Boccardini G.L'Eaclide emendate 28
Bock C. Igiene privata 34
Boito C. Disegno (Prime, del) . 24
Bombicoi C. Mineral, generate 42
― Mineralogia deacrittiva. . . 42
Bonaoini C. Fotografia ortocr. 30
Bonci E. Teoria delle ombre . 54
Bonelli L. Grammatica turca . 34
BonettI E. Biancheria (Disegno,
taglio, eco 15
Bonino Q. B. Dialetti greci. . . 23
Bonizzi P. Animali da cortile. 12
― Colombi domestici 19
Borgarelio E. Gastronomia, Ter-
minologia italiana e franc. 31
Borletti F. Celerimensura. . . . 17
― Form, per il calc. d. risvolte 30
Borsari L. Topog. di Roma ant. 55
Boselii E. Gioielleria e orefic. 32
Bossi L. M. Ostetrioia 45
Sragagno'.o 6. Storia di Prancia 53
r
INDICE ALFABETICO PER AUTORI
59
Bragagnolo 6. Storia dlnghiit. 53
Brigiuti L. Letterat egiziana - 38
Brocberei 6. Alpinismo 11
Brown H. T. Meccanismi (500) 41
Bruni F. Tartufl e funghi ... 54
BrunI E. Catasto italiano. ... 17
― Codice doganale italiano. . 18
一 Contabilit^ dello Stato. . . 21
一 Imposte dirette 85
― Legislazione mrale 37
一 Bicchezza mobile 49
Bruttini A. U libro deiragricol. 10
Bttcoi di Santaflora. Marino • . 41
一 Flotte moderne (Le) 29
Budan E. Antografl (Am at. di). 14
Barali-Forti C. Logica mateni. 39
Buttarl F. Saggiatore (Man. d.) 50
一 Tav. per I'ailig. oro e arg. 54
Caffarelli F. Stramenti ad arco 53
Cagni G. Le miniere di zolfo . . 67
Caltiano C. Soccorsi d'nrgenza 51
一 Assistenza degli infermi. . 13
Calzavara V. Industria del gas 31
C 氣 mperlo 鬭. Tigre-italiano . . 55
CampI C. Campicello scolastico 16
Canestrini E. Fulmini e paraf. 31
Canestrlnl Q. Apicoltura 12
一 Antropoiogia 12
Canettrini C, e R. Batteriologia 15
CAntamessa F. Alcool 10
CAntonI C. Logica 39
Cantoni C. Psicologia 48
Cantoni G Prato (11) 47
― Tabacco (II) S3
Cantoni P. Igroacopi, igrome-
tri, amidita atmosf erica. . . 35
Cantii C. Storia Italian a . ... 53
Capello F. Rettorica 49
一 Stilistica 53
Cipilupl A. Assiouraz. e stima 13
Capelletti L. Napoleone I. ... 44
一 Letterat. spagn. e portogh. 38
Gappelletti L. Nevrastenia . . . 44
Cappelli A. Diz. di abbreviat. . 25
Carazzi D. Ostricoltura 45
一 An at. microsc. (Teen, di) . 11
Carega di 黼 uricce. Agronomia 10
一 Eatimo rurale 28
Cftrnevali T. Scienza finanze . 51
Carotii S. Storia deirarte . . . 53
Carraroll A. Igiene rurale. ... 34
Casaorandl V. Storia e cronol. 53
Casatl A. Humns (L') 34
Clistellani L. Acetilene (L,. . . 10
― Incandescenza 35
Casilglioni L. Beneflcenza ... 15
Cdttaneo C. Dinamica element. 23
― Termodinamica 54
Cattaneo C. Terapia infanzia . 54
Cattaneo Q. Embriolog. e morf. 27
Cavalleri D. Legist, delie acque 37
Cavanna 6. Zoologia 57
Cavara F. Fanghi mangerecoi. 31
Celoria 8. Astronomia 14
Cencelll-Perti A. Macch. agric. 39
Cerchlari G. L. Chiromanzia e
tatuaggio 18
Cereti P. E. Esercizi iatini. . . 28
Cerruti F. Meccanismi (500) . . 41
Cerutti A. Fognat. domestica . 30
CettolinI S. Malattie dei vini . 40
Ciapetti G. L 'alcool indnstriale 10
Chiesa C. Logismografia . ... 39
Ciitmpoll D. Letteratnre slave. 38
Clgnoni A. IngegDere navale . 36
Ciaudi C. Prospettiva 48
Cierioo G. vedi Mfiller, Metrica 42
CollamarinI 6. Biologia 15
Colombo Q. Ingegnere civile. . 36
Colombo L Nutriz. del Bamb. 44
Comboni E. Analfai del vino. . 11
Conoari T. Gramm. italiana . . 33
Consoli S. Fonologia latina . . 30
― Letteratnra norvegiana • • 38
Conti P. Giardino infantile . . 32
Contuzzi F. P. Diritto costituz. 23
― Diritto internaz. privato. . 24
― Diritto internaz. pabblico. 24
CorsI E. Codice del bollo . ... 18
Cossa A. Elettrochimica . ... 26
Cossa L. Economia politioa . . 26
Cougnet.Pugilato antico e mod. 48
Coulliaux L Igiene della bocca. 34
Cova E. Confez. abiti signora. 10
Cremona 1. Aipi (Le) 11
Cristofoii L. Stenografo pratico 52
Crollalanza Q. Araldica (Gr.). . 12
Croppi G. Canottaggio 16
CrottI F. Conipens. degli errorl 20
Ciirti R. Infortuni della mont. 36
Cust R. Belig. e lingne d. India 49
一 Lingne d'Africa 39
D'Adda L Marine da gnerra . 41
Dal Piaz. Cognac 19
Damiani Lingne straniere ... 39
D'Angelo 8. Vetro 57
Da Ponte M. Distillazione ... 24
De Amezaga. Marino militare . 41
De Barbleri R. Zucohero (Ind. d.) 57
De Brun A. Oontab. comunale. 20
De CI Ills E. Mosti (Densita dei) 44
Do Gasparls A. Sale e Saline . 50
De Gregorio Q. Glottologia . . . 33
De Qubernatis A. Lett. Indiana 38
― Lingue d'Afr 39
― Mitolo^ia coinparata . ... 43
60
INDiCE ALFABETICO PER A U TORI
De Gubernatis A. Uelig e lingue
dell* India 49
Oell'Aoqua F.Morte vera e appar. 43
Del Lupo 鼴. PomoL artificiale. 47
Oe Marchf L. Meteorologia. . . 42
一 Ciimatologia 18
De Mauri L. Maioliche (Amatore
di) 40
一 Amatore d'oggetti d*arte . 11
Oessy. Elettrotecnica. 27
Di Maio F. Pirotecnica 46
Dinaro S. Tornitore meccanico 56
― Montatorc di macchiue . . 43
― Atlante di niacchine . ... 39
Oizfonarlo universale in 4 lingue 26
Domp6 C. Man. del Commerciante 20
Oowden. Shakespeare SI
Doyen C. Litografla 39
Enclclopedia Hoepli 27
Erede G. Geometria pratica . . 32
Fabris 6. Olii vegetali 44
Fadda. Tempera e cementaz. . 54
Faelli F. Raz^se equine 49
Falcone C. An at. topografica 12
Faraill G. Ig. deilavita pub. epr. 34
Fenini C. Letteratura italiana 38
Fenizia C. Evoluzione 28
Ferrari 0. Arte (L，） del dire . . 13
Ferrari Q. Scenografia (La) . . 50
Ferrari V. Lett, moderna ital. 38
一 Letter, moderna e contemp. 38
Ferrario C. Curve circolari . . . 23
Ferraris C. Veleni ed avvelen. 56
Ferrini C. Digesto (II) 23
― Diritto penalc romano. . . 24
― Diritto romano 24
Ferrini R. Elettricita 26
― Energia fisica 27
一 Oalvanoplastica 31
― Scaldamento e ventilaz. . . 50
一 Tftlegrafla 54
FilippinI P. Estimo dei terreni 28
Finzi J. Psichiatria 48
Florilli C. Omero 44
Fiorl A. Dizionario tedesco . . 26
― Conversazione tedesca ... 21
Fontanfl-Russo. Zucch. (Comm.) 57
Forest! A. Mitologia greca . . . 43
Formentano A. Giarisdizione
voloiitaria 33
Formenti C. Allnminio 11
Fornari P. Sordomuto (II) ... 52
Fornari U. Vernici e lacche . . 56
― Luce e suouo 39
一 Galore (II) 16
Foster H. Fisiologia 29
FranceschI G， Cacciatore . ... 15
一 Corse 22
FranceschiG Giuoco delPallone 33
FranceschI G. B. Concia pelll . 20
― Conserve aiimentari 20
Franceschini F. Insetti utili . . 36
― Insetti nocivi ,36
Franchi L. Godici 18-19
一 Leggi sui lavori pubblici . 37
― Legge s. tasse di reg. e bollo 37
一 Legge soirOrdin. giudiz. . 37
一 Legge aanitk e sicur, pubbl. 37
― Leggi salle privat. industr. 37
― Leggi diritti d'antore 18-19^
Friedmann S. Lingua gotica . . 38
Friso L Filosofia morale . . . . 29
Frisoni G. Gramm. port.-bras. 34
一 Corrispondenssa italiana. . 21
一 ， spagnuoia 22
― , francese . . 22
一 Gramm. Danese-Norveg. , • 33
Fumagalli G. Bibliotecario ... 15
― Paleografia 45
FumI F. Q. Sanscrito 50
Funaro A. Gonoimi (I) 20
Gabba L Chimico (Man. del) 17.
― Seta (Indastria della). ... 51
― Adult, e falsific. degli alim. 10
Qabbi U. Semeiotica 51
Qabelsberger-NoS. Stenografia. 52
Qabrielll F. Giuochi ginnastici 33
Gagiiardi E. Interesse e sconto 36
一 Ragioniere Front, del). . . 49
Qalassini A. Mace. cuo. e ricam. 40
Gallerani 6. Spettrofotometria 52
Galletti E. Geografia 31
Qalli Q. Igiene privata 34
Qalll Valerlo B. Zoonosi 57
― Immunity e resist, alle mal. 35
QalliziaP. Resistenza dei mater. 49
Gardenghi G. Soc. di mutuo soc. 51
Garetti A. Notaio (Man. del). . 44
Gardini A. Chirurgia operat . . 18
Garibaldi C. Econ. matematica 26
Garnfer-Valletti Pomologia ... 47
Garollo G. Atl. geog.-st. d'ltal. 14
― Dizionario biograf. univ. . 25
― Dizionario geograf. univ. . 25
― Prontuario di geografla . . 48
Garuffa E. Orologeria 45
― Siderurgia 51
GasHni A. Prodotti del Tropico 47
Qatta L Sismologia 51
― Vulcanismo 57
Gautero Q. Macch. e fuochista . 40
Qavina F. Ballo (Manuale del) . 14
Geikle A. Geografla fisica. ... 32
― Geologia 32
Qelcich E. Cartografia 17
― Ottica 45
INDICE ALFABETICO PER AUTORl
61
Qelli J. Armi uuiiche 13
― Biliardo- 15
一 Codice cavalleresco 18
― Disionario flLatelico 25
一 Duellante 26
一 Ginnastica madchile 32
一 Scherma 51
一 11 raccoglitore 48
Bentlls I. Archeologia dell'arte 12
― Qeografia classica • ' 27
― Storia antioa (Oriente) - . . 53
Gernetio 6. Imitaz. di Gristo . 35
Bettro R. Natural, viaggiat.. . 44
一 Naturalista preparatore . . 44
Qberti I. Ciclista 18
― Gonti fatti 21
― Qalvanostegia 31
― Imitazioni e succedanei . . 35
― Industrie (Picoole) 35
一 Leghe metalliche 37
― Metallocromia 42
― Monete, pesi e mis. ingl. . 43
― Problem! di geometria ... 47
― Ricettario domeetico . ... 49
― Ricettario industriale. ... 49
Gibelll 8. Idroterapia 34
aigUoll E. H. Zoologia 57
Sloppi L. Crittogratia 22
― Dizionario fotografico . . . 25
― PotograJTa industriale ... 30
Giordanl Q. Proprietario di case 48
Qioraetti 8. Stenografia . . ... 52
Glorli E. Disegno industriale . 24
― Disegno e costraz. Nave. . 24
― Aritmetica e Geometiia . . 13
― Meocanico (II) 41
― Meccanica (La) del mac -
chinista di bordo 41
Bin: V. Compntisteria 20
― Ragioneria 48
GiudicI 0. Tessuti di Ian a e cot. 55
Gladstone W. E. Omero 44
Gnecchi F. Monete romane. . . 43
― Guida numismatica 34
BobbI U. Assicuraz. generale . 13
GoffI V. Disegnat. meccanico . 24
Gorini 8. Colori e vernici ... 19
― Concia delle pelli 20
― Conserve alimentari 20
一 Metalli preziosi 42
一 Olii ； 44
― Piante indastriali 45
一 Pietre preziose . . ^ 45
GorrA E. Lingue neo-latine . . 39
― Morfologia italiana 43
Grawinkel, Elettrotecnica . ... 27
8ra88i F. Matjnetismo e elett. 40
Qrazzi-Soncini G. Vino (II) ... 57
arifnnl A. Coleotteri italiani. , 19
― Ittiologia italiana 36
― Lepidotteri italiani 37
― Im en otter i italiani 35
Orothe E. FUatura, tessitura. . 29
Qi'ove G. Geografia 31
Qmita L. Colori e la pittura . 19
8uasti C. Imitazione di Cristo 35
Quelfl G. Vocabolario araldico 57
Quetta P. II Canto 16
Quyon B. Grammatica Slovena 34
Haeder H. Costr. mace, a vap. . 39
Hoepll U. £nciclopedia 27
Hooker I. Bocanica 15
Hubert 1. C. Aotich. pubbl. rom. 12
Hugues L Esercizi geografioi . 27
― Cronologia scop, geogr. . . 22
Imitazione di Cristo 35
Imperato F. Attrezz. delle navi 14
Inama V. Antichitk greche . . . 12
一 Letteratura greca 38
― Grammatica greca 33
― Filologia claesica 29 、
― Plorilegio poetico 29
― Esercizi greci 28
Issel A Natnralista viaggiat.. 44
Jacoangeli 0. Triangol. topog.. 55
Jenkin F. Elettricitk 26
Jevons W. Stanley. Econ. polit. 26
― Logica 39
Jona E. Cavl telegr. sottomar. 17
Jones E. Calore (11) 16
― Lace e suono 39
Klepert R. Atl. geogr. nnivers. 14
― Esercizi geografici 27
Kopp W. Antich. priv. dei Bom. 12
La Leta B. M. Gosmografia. • . 22
― Gnoraonica ... 33
Land I D. Dis. di proiez. ortog. 24
Landi S. Tipografia (I*) Gaida 55
― (IP) Compositore-tipogr. . 55
一 Vocabolario tipograiico . . 57
Lange 0. Letteratura tedesca - 38
Lanzoni P. Geogr. comm. eoon. 32
La rice R. Storia del commercio 20
Leoni B. Lavori in terra . ... 37
Lepetit R. Tintore 55
Levi C. Fabbricati civ. diabitaz. 28
Levi C. Letterat. drammatica , 38
Levi I. Gramm. lingua ebraioa . 33
LIbrandi V. Qxamra. albanese . 33
Licciardelll Q. Goniglicoltura . 20
Lic5 N. Protez. degli animali . 48
Lignarolo 讓. Doveri del macch . 26
― Macchinista navaie . ... 40
Lion A. Tngegneria legale ... 36
Lioy P. Ditteri italiani 25
Livi L. Antropometria 12
62
INDICE ALFABETICO PER AUTORl
Lockyer I. N. AsiroDomia. . -. 13
Lombard inl A. Anat. pittorica. 12
Lombroso C. Orafologia 33
Lomonaco A. Igiene deila vista 34
Loria L Macchinista e faochis. 40
Lorlt. Diritto amministrativo. 23
― Diritto civile 23
Lovera R. Gramm. greca mod. • 83
― Grammatica rumena . ... 34
Luxardo 0. Merceologia 42
Mtffioli D. Diritti e dov. dei citt. 23
一 Scrittnre d'affari 51
■agai L Protistologia 48
― Tecnica protistologica ... 54
Magrini E. In f or tun 1 sal lavoro 36
一 Case operaie 17
■tinardi Q. Esattore 27
Mainoni R. Massaggio 41
Maiaorlda 8. Materia medica . 41
一 Impiego ipodermico e la
dosatnra dei rimedi 35
■alfatti B. Etnografla 28
Manolni P. La rachitide 48
ManettI L. Gaseiflcio 17
M&ntovani 8. Psicolog. fisiolog. 48
讕 arazza E. Stearineria 52
― Saponi (Industria dei) ... 50
■arcel C. Lingue straniere . . 39
Marchi E. Maiale (II) 40
Maroillac F. Letterat. francese 38
Marro A. Corr. elettr. alternate 21
■arzorati E. Godice peri to mis. 18
Mastrigli L Cantante 16
― Pianista 46
讓 attel C. Volaplik (Dizlon.) . . 57
■azzocchi L. Caloi e cementi . 16
一 Cod. d. peri to misuratore . 18
Mazzoccolo E. Legge com an ale 37
Melani A. Architett. italiana . 12
― Decoraz. e Industrie artist. 23
― Ornatista 45
― Pittura italiana 46
― Scultura italiana 51
Melli B. Ii， Eritrea 27
Menozzi. Alimentaz. bestiame 11
•eroanti F. Animal! parassiti . 12
■ezzanotti C. Bonifiche 15
Mina Q. Modellat. meccanlco . 43
鬭 Inozzi A. Fosfati 30
鬭 InuttI R. Letterat. tedesca . . 38
― Tradnttore tedesco 55
Molina E.AntoIogiastenograflca 12
Molina. Caratore dei falllmenti 22
Molina R. Esplodenti 28
■olon Q. Pomologia 47
■ondini. Produzione dei vini . 48
Montagna A. Kotosmaltogratla 30
Montemartini L. Fiaiol. veget. . 29
■oreschi N. Antichita. private
dei Romani 12
Moroana G. Gramra. olandese . 33
Morini U. Ufflc. (Man. per 1') . 56
■orselli E. Sociologia generale 52
Motta Q. Telefono 54
Mttffone 8. Fotografia 30
驪 ifUer L. Metrica Greci e Rom. 42
■Ulier 0. Logaritmi , . 39
■urani 0. Fiaica 29
一 Telegrafla senza flli 54
Murarl R. Bitmica 50
黼 usatti E. Leggende popolari. 37
Muzio C. Medico pratico .... 41
一 Malattie dei paesi caldi . . 40
Naccarl Q Astronornia nautica 14
Naliino A. Arabo parlato . ... 12
Namias R. Fabbr. degli specchi 52
― Processi fotomeccanici . • • 47
Nazari 0. Dialetti italici . ... 23
Negrin C. Paga giornaliera. . . 45
•end T. Bachi da seta 14
Niccoli V. Alimentaz. bestiame 11
― Cooperative rarali 21
― Costruzione ed economia
dei fabbricati rarali 28
一 Prontuario deiragricoltore. 10
Nicoletti A Stenogaafla 52
― Esercizi di stenografia . . . 52
Noseda E. Legislaz. aanitaria 37
一 Lavoro delle donne e fane. 37
Nuyens A. Diz. italiano-oland. 25
Olivari Q. Filonaata 29
Oimo C. Dirito ecclesiastico. . 23
Orlandl Q. Celerimensnra. ... 17
OrsI P. Storia d'ltalia 53
Orsini E. Scacchi 50
08twal(i'Boti». Chi mica analitica 17
Ottavl 0. Enologia 27
― Viticoltura 57
Ottino Q. Bibliografia 15
P&gani C. Assicuraz. suUa vita 13
Paganini A. Letterat. francese 38
PaganinI P, Fotogramnietria. . 30
Palombi A, Manuale postale . . 47
Palumbo R. Omero 44
Panizza F. Aritmetica razion. 13
一 Aritmetica pratica, 13
一 Esercizi di Aritmetioa raz. 13
PaolonI P. Disegno assonom. . 24
Pappalardo A. Spiritismo . ... 52
― Telepatia 54
Parise P. Oftofrenia 45
P^oli E. Grammatica svedese 34
Pascal T. Tintura della seta . 55
Pascal E. Calcolo differenziale 16
一 Calcolo integrale 16
一 Calcolo delle vanazioni . . 16
INDICE ALFABETICO PER AUTORI
6»
Pascal E. Esercizi di calcoio . 16
一 Determinanti 23
― Fanssioni eliittiche 31
一 Gruppi di trasformazioni . . 34
― lyiatematiche superiori ... 41
Pattacini Q. Conciliatore .... 20
Pavanello F A. Verbi latini . . 56
Pavia L. Grammatica tedesca. 34
― Qrammatica inglese 33
― Grammatica spagnuola . . 34
Pavollni E. Bnddismo 15
Pedicino N. A. Botanica 15
Pedretti G. Automobilista (L,). 14
Pedrini. Casa deir avvenire • • 17
Peglfon V. Filossera 29
Perassi T. 8. Sintassi latina. • 51
PercossI R. Calligrafia 16
Perdoni T. Idranlica 34
Petri L. CompntiBteria agraria 20
Petzholdt. Bibliotecario ...... 15
Piazzoll E. Illuminaz. elettrica 35
Piccinelli F. Societa Ind. p. az. 51
一 Valori pubblici 56
Plcciniiii P. Farmacoterapia . . 29
Piccoll D. V. Telefono 54
PleraocinI A. Assist, dei pazzi 13
Pilo M. Estetica 28
― Psicologia musicale 48
PIncherle S. Algebra element. 11
一 Algebra complementare . . 10
― Esercizi di algebra elem. . 11
-— Esercizi di geometria. ... 27
― Geometr. metr. e trigono-
metria 32
― Geometria para 32
PinchettI P. Tessitore 54
Pini P. Epilessia 27
Pisani A. Mandolinista 41
― Chitarra 18
PIzzinI L Disinfezione 24
― Microbiologic 42
Pizzi I. Letteratnra persiana . 38
― Islamismo 36
― Letteratnra araba 37
Plebani B. Arte della memoria 13
Polacco L. Tav. Div. Comm. . 54
Polonl 8. Magnet, ed elettricit^ 40
Pomplllo. Panificazione 46
Porro F. Spettroscopio 52
― Gravitazione 34
Portigliotti G. Psicoterapia ... 48
Pozzi Q. Begolo calcolatore . . 49
Prat 8. Grammatica francese. 33
― Esercizi di tradazione ... 28
Prato B. Cognac 19
一 Vini bianchi 57
Ppocstop R. A. Spettroscopio . . 52
Prout E. Stramentazione , ... 53
Puoci A. Frutta minori 31
― Piante e fiori . 46
Rabbeno A. Mezzeria 42
― Ipoteche (Manuale per le) 36
Racioppi F. Ordinamento degli
Stati liberi d'Europa 45
― Idem, fuori d'Europa . ... 45
Ralna 黼. liOgaritmi 39
Ramorino F. Letterat. romana. 38
― Mitologia (Dizionario di) . 43
Rebuschini E. Mai. del sangue. 40
― Orgaaoterapia 45
一 Sieroterapia 51
Regazzoni J. Paleoetnologia . . 45
Repossi A. Igiene scoLastica. . 34
Restori A. Letterat. proven zale 38
一 Letter atura catalana . ... 37
Revel A. Letteratnra ebraioa . 38
Ricci A. Marmista 41
RIcci E. Chimica ......... 17
Ricoi S. Epigrafia latina . ... 27
― Archeologia. Arte greca . . 12
― „ Arte etr. e rom. 12
Ricci V. Stramentazione . ... 53
Righetti E Asfalto 13
Rivellt A. Stereometria 52
Rodfi F Hi. Ploricoltura 29
Rodari D. Sintassi francese ... 51
一 Esercizi relat. a sintassi ..51
Romanein-H. 8. Trine alfusello 56
RonchettI 8. Pittura per dilett 46
一 Grammatica d. disegno . . 24
Roscoe H. E. Chimica 17
Rossetio V. Arte militare. . . . 53
一 Avarie e sinistri marittimi 14
Rossi A. Liquorista 39
― Prof umi ere 48
Rossi Q. Costruttore navale . . 22
RossottI M. A.Formnl. di matem. 30
Rota Q. Bagioneria delle coo-
perative di consumo 49
一 Contabilita《v.Beiieflcenza) 15
Ruata G. Ufftciale sanitario . . 56
Saccherl P.G.L'Enclide emendato 28
Sacchetti Q. Tecnologia e ter-
minologia monetaria 54
Salvatore A. Infort. sal lavoro 37
Sanarelll. Igiene del lavoro . . 34
Sanson! F. Cristallografia. . . . 22
Santi B. Diz. dei Comuni ital. 25
Santilli. Selvicoltura 51
Sanvisenti B. Letteratura spag. 38
Sartori 6. Latte, burro e oacio 36
一 Caseificio 17
Sartori L. Carta (Indnstr. della) 17
Sassi L. Carte fotografiche . . 17
一 Ricettario fotografico ... 50
― Fotocromatografia 30
64
INDICE ALFABETICO PER AUTORI
Sassi L. Proiezioni (Le) 48
Sftvorgnan. Coltiv.d. pi ante teas. 46
Scarpis U. Teoria dei nnmeri . 54
Scartazzini G. A. D&ntologia. . 28
SctWHick E. Resist, travi metal. 43
Schiaparelli 8. V. L'astronomia
II. antico testaraento 14
Schiavenato A. Diz. stenogr. . 25
Sooidri C Dizionario alpino. . 25
Secco-Suardo. Ristau. dipinti . 50
Seghieri A. Scacchi 50
Sella A. Fisica cristallogrrafica 29
Serlna L Testamenti 55
Sernagfotto R. Enol domestica 27
Sessa Q. Dottrina popolare . . 26
SettI A. Man. del Giurato . . . 33
Severl A. Monogrammi 43
Siber-Millot C. Molini (Ind. dei) 43
Solazzi E. Letteratura inglese. 38
SoidanI G. Agronom. modern a 10
Solerio G. P. Rivoluz. francese 50
Soli Q. Didattica 2-5
SpagnottI P. Verbi greci . ... 56
Spataro D. Fognat. cittadina . 30
Stecchi R. Chirurgia operat. . 18
Stoppani A. Geografia fisica . 32
一 Geologria 32
一 Prealpi bergamasche . ... 47
Stoppato A. Diritto penale ... 24
Stoppato L Fonolo^a italiana 30
Strafforello 6. Alimentazione . 11
一 Errori e pregiudizi 27
一 Letteratura americana ... 37
Stratic6 A. Letterat. albanese. 37
Streker. Elettrotecnica 27
Strucchi A. Cantiniere 16
― EnoloRfa 27
一 Viticoltura 57
Supino R. Chi mica clinica ... 17
Tflbanelli N. Codice del teatro 19
Taccani A. Zucchero (Fabbr. d.) 57
Tacchini A. Metrologia .42
Tamaro D. Frntticoltura . ... 31
― Gelsicoltura 31
一 Orticoltura 45
一 Uve da tavola 56
T4mi F. Nautica stimata. ... 44
TampelinI Q. Zootecnia . ... 57
Taramelli A. Prealpi bergaraas. 47
TelonI B. Letteratura assira . . 3S
Thompson E. H. Paleogrrafia . . 45
Tloll L Acque minerali e cure 10
Tognini A. Anatomia vegetale. 12
Tolesani D. Enimmistica . ... 27
TommasI H. R. Con vera, volaptik 57
Toniazzo Q. St. ant. (La Grecian 53
Tonta I. Rapgi ROntgen . , . . 50
Tonzig C. Ufficiale sanitario. . 5G
Tozer H. F. Geografia classica. 32
Trabaiza C. Insegn. deJl'ltaliano 36
Trarabusti A. Ipiene del lavoro 47
Trasporti e tariffe ferroviarie . . 55
TrevlsanI Q. Poilicoltura . ... 47
Tribolati F. Araldica (aramm.) 12
TriconI E. Medicat. antisettica 41
Trlvero C. Classiflc. d. scienze 18
Ulivi P. Indiistria frigorifera . 35
Untersteiner A. Storia mnsica . 53
Untersteiner L. Uccelli canori . 56
Vaccheili 8. Calcestruzzo . ... 16
Valentf A. Aromatici e nervini 13
ValentinI N. Chimica legale . . 17
VallettI F. Ginnast. femminile . 32
― Ginnastica (Storia della). . 32
Valmaggi L. Gramm. latina. . . 33
VanbianchI C. Autograft 14
Vecchio A. Cane (11) 16
Vender V. Acido solforico, ecc. 10
Venturoli Q. Concia pelli .... 20
一 i.'onserve alitnentari . ... 20
Vid&ri E. Diritto commerciale. 23
一 Mandate commerciale . . . 40
VIdari Q. Etica ... 28
Vlilani F. Prodotti della distil-
lazione del legno 24
Vfnassa P. Paleontologia. . . . 45
Virgllll F. Cooperazione 21
一 Economia roatematica ... 25
一 Statistica , .... 52
Vlterbo E. Gramniatica e di-
zion. Galla (Oromonica). . , 33
Vitta C Qiiistizia amministr. . 33
Vivdnti G. Funzioni analitiche 31
一 Comp. roatematica 41
Volgt W. Fisica cristallograf. . 29
Voinovich. Grammatica rusaa . 34
一 Vocabolario rnsso . . . ... 57
Volpini C. Cavallo. . . '• 17
一 Proverbi sul cavallo . ... 48
Webber E. Macchine a vapore 39
― Dizionario tecnico italiano-
tedesco-francese-inglese. . . 26
Werth F. GaWanizzazione ... 31
Will. Tav. analit. (v. Chimico) . 17
WUtgens A. Antic, pubbl . rom. 12
W' If R. Malattie crittogam.. . 40
Zambelli A. Manuale di con-
versas!. Italian o-volapuk . . 57
Zambler A. Medicat. antiaett. . 41
ZampinI Q. Bibbia (Man. della) }^
― Imitazione di cristo 35
ZIg&ny-Arp&d. Lett, ungherese. 38
Zoppetti V. Arte mineraria. 13-42
一 Siderurgia 51
Zobianf A. Tisici e sanatorii . 55
Zucca A. Acrobatica e atl etica 10
r
Live Music
Archive
Librivox
Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland
Museum of Art
Internet
Arcade
Console Living Room
Open Library
American
Libraries
TV News
Understanding
9/11